1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 6

Поскольку длина однородной цепи при перемещениях не меняется,всякая кривая х = х(х), определягощая форму цепи, должна удовлетворять равенству О «««1«*~«Г«* Рис. 9 дуги, а( — длина цепи. Координата х, центра тяжести однородной цепи длины 1, имеющей форму кривой х = х(х), определяется равенством х« = 1э/1, где (6) Если рассмотреть совокупность всех возможных положений цепи (т. е. совокупность всех кривых х = х(х) длины 1, проходящих через точки А«и Аз), то форму равновесия цепи будет определять кривая, которая доставляет стационарное значение интегралу 1« при условии (б).

В этом случае центр тяжести цепи, закрепленной в точках А«и Аю будет занимать стационарное положение. Из вариационного исчисления известно: если кривая х(х) доставляет стационарное значение интегралу 1э при условии 1« = (, то существует такая постоянная Л,что эта кривая доставляет стационарное значение интегралу При этом оказывается, что кривая х = х(в)., проходящая через заданные две точки и доставляющая стационарное значение интегралу 1«, должна удовлетворять дифференциальному уравнению ) Это уравнение было получено еще Эйлером.

Относнтеныю его вывода см, с,93 и замечание на с.94. 32 Гл. й Дифференциальные уравнения движения г=а )ггг~й7ь~ т «ф «г дифференциальное уравнение принимает вид (7) Отсюда дх/аг (8) где с — произвольная постоянная.Интегрируя,получаем уравнение цепной линии г = — Л+ — (е~ П' -'; е 1' "П') = — Л+ сй 2 с (0) где значения постоянных Л, с н о определяются из условий закрепления концов и равенства (б), задающего длину цепи. Таким образом, форма равновесия однородной тяжелой цепи представляет собой цепную лиииюг). 4. Веизменная плоская фигура может скользить двумя своими тпочками А и В по неподвижным, кривым, лежащим в той же плоскости. Выясним, под действием какой силы Р фигура может нахо- А диться в равновесии (рис. 10). ъ',, о Помимо активной силы Р на фигуру действуют еще две реакции, направленные по нормалям к кривым, и линии действия этих трех сил должны пересекаться в одРис, 10 ной точке. Другими словами, линия действия силы Р должна проходить через точку пересечении нормалей к кривым в точках А и В.

т.е, линия действия силы Р должна проходить через мгновенный центр возможных скоростей С фигуры г). К этому же выводу можно прийти, исходя из принципа возможных перемещений. Действительно, обозначим через О какую-либо точку на линии действия силы Р. Тогда из условия бА = Рис д1 = 0 заключаем, что ие Л Р, г) Галилей считал, что такой формой равновесия является парабола. Ошибка Галилея была исправлена Гюйгенсом.

г) При этом величина и направление силы Р могут быть произвольными. Д. Принцип виртуальных перемещений откуда и следует, что мгновенный центр возможных скоростей фигуры рас- положен на линии действия силы Р. Рис. 12 Рис. 11 5. Некоторые геохлетричесние приложения. Начнем с предварительного замечания. Пусть в плоскости даны некоторая кривая С и точка Р 1в частнолл случае кривая С может выродиться в точку).

Проведем из точки Р нормаль к кривой С и обозначим через т расстояние по нормали от кривой С' до точки Р; таким образом, г = РеР (рис. 11). Приложим к точке Р некоторуго силу Р, направленную вдоль норллали РеР и будем считать Г ) О, если направление силы Р совпадает с направлением от Рс до Р, и Р ( 0 — в противном случае. Элементарная работа силы Р ранна дА = = Г(ггга + ггг).

Но дг складывается из двух элементарных перемещений: из перемещения вдоль прямой РаР 1величина этого перемещения равна аг) и перемещения точки Р, вызванного поворотом прямой РеР. Последнее перемещение, как и агс, перпендикулярно к прямой РсР, т. е. к липин действия силы Р.

Поэтому ) бА = Раг. (10) Пусть в одной и той же плоскости расположены и кривых Сл, Сг, ... ..., С„и точка Р. Обозначим через гл, гг, ..., г„расстояния 1по нормалям) от точки Р до этих кривых ) (рис. 12 соответствует случаю и = 2). В случае, когда кривая С вырождается в точку, формула (10) дает выражение для работы центральной силы. Некоторые (или все) крввые Сн Сг,, С могут выродиться в точки, 34 Гл. Р Дифференциальные уравнения движения Рассмотрим в той же плоскости кривую Р, задаваемую уравнением ) 1(гы гг, ..., г„) = О. ~ — с1г, = О. дф , аг, (12) Теперь приложим к точке Р силы Г, = д(/дги направленные вдоль норма- лей г, (1 = 1, ..., и).

Тогла равенство (12) запишется так: Е,дг,=О, =г а это согласно предварительному замечанию означает, что сумма работ сил Рг, Рг,..., Р„при произвольном перемещении точки Р вдоль кривой Р равна нулю. Но тогда несвободная точка, которая может перемещаться вдоль гладкой кривой Р, будет в равновесии под действием сил Ры Рг, ...,Р„. Поэтому равнодействующ я сил Ры Рг,..., Р направлена по нормали к кривой Р. Мы получили очень простой способ геометрического построения нормали к кривой Р,задаваемой уравнением (11).

Рассмотрим частные случаи: а) Р— эллипс. В этом случае С~ и Сев точки (фокусы эллипса), уравнение (1Ц имеет вид гг + гг — 2а = О, Я = 1, Гг = 1 и нормаль к эллипсу является биссектрисой угла между фокальными радиусами-векторами (рис. 13). б) Р— гипербола. Уравнение гиперболы: гг — гг — 2а = О, Ег = 1, Ег = — 1, и из построения легко усмотреть (рис. 14), что касательн и к гиперболе есть биссектриса угла между фекальны.ыи радиусами-векторами (а нормаль является биссектрисой смежного угла).

в) Р .- парабола (рис.15), Сг — прямая (директриса), а Сг — точка (фокус). Уравнение параболы: гэ — гг = О. Как и в случае гиперболы, из построения следует, что касательная к параболе является биссектрисой угла между фокалъньсм радиусом-вектором гг и перпендику яром гг, опущенным на директрису. ) Каждая из величия гэ, гг, ..., г„является функцией от двух декартовых координат точки Р.

Поэтому уравнение (1Ц является ураввепием некоторой кривой в плоскости. Покажем, как по уравнению (11) построить нормаль к кривой Р в точке Р. При любом бесконечно малаге перемещении точки Р вдоль кривой Р получим з 4. Принцип виртуальных перемещений Уравнение (1) для принципа виртуальных перемещений представляет собой частный случай общего уравнения динамики (см. уравнение (3) на с. 24). Однако общее уравнение динамики можно рассматривать как уравнение, выражающее принцип виртуальных перемещений и характеризующее положение равновесия системы, которое получается, если к активным силам Р„дополнительно причислить фиктивные силы инерции — гп,чу (о = 1, ..., Х).

Таким образом, мы приходим к принципу Даламбера. Рис. 15 Рис, 14 Принцип Даламбера. При движении системы любое ее положецие можно рассматривать как положение равновесия, если к активным сил м, действующи на систему в этом положении, прибавить фиктивные силы инерции. Принцип Даламбера позволяет перенести приемы и методы решения статических задач на задачи динамики. В частности, он позволяет статическими методами определять динамические реакции. Действительно, в положении равновесия реакции К отличаются только направлением от Р, — т,че,: Р— т ьу = — К (и=1, ..., 1'ч'), Но тогда течун =й +В (~ = 1, ..., чУ), т.е. определенные с помощью принципа Даламбера реакции В„являются искомыми динамическими реакциями.

Поэтому приведенную выше формулировку принципа Даламбера можно дополнить следующим положением: Рассматривая силы инерции в качестве дополнительных акпгивных сил, приложенных к точкам системы, мы заменяем данную динамическую задачу новой статической задачей. Птатические реакции в новой задаче совпадают с искомыми реакциями в исходной динамической задаче. 86 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения Применение статических методов к решению задач динамики проиллюстрируем на следующих примерах. Примеры. 1.

Тендер с водой движетсл с ускорением нг. Требуетсл. определить форму и положение поверливсгаи воды. При отсутствии ускорения поверхность воды— горизонтальная плоскость. Данная плоскость в каждой своей точке перпендикулярна к направлению объемных сил веса, приложенных к воде. Это статическое положение может быть применено и к случаю ускоренного движения тендера, если к каждому элементу массы дт приложить дополнительно фиктивную силу инерции дд — дтте. Поверхность воды будет плоскостью, перпендикулярной к равнодействующей двух объемных снл; вертикальной силы веса Ити н горизонтальной силы инерции — Итзи (рис.

16). ПоРис. 16 верхность воды будет наклонена к горизонту под углом уг, где 18:р = иг/д. 2. Напишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси и (рис. 17). К каждому элементу массы дт приложим фиктивную силу инерции — дигт. Вычислим главный момент Рис. 18 Рис. 17 сил инерции относительно осн вращения где 1„= 1'р дт — момент инерции тела относительно оси вращения и. Обозначим через Тт главный момент внешних сил, приложенных к телу, у б. Голономные системы относительно оси и '). Тогда, согласно принципу Даламбера, тело может находиться в равновесии под действием суммарного момента Ь вЂ” Х„ф.