1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 10

в) Система консервативная, т. ез 1) система склерономная; 2) все силы потенциальные и 3) потенциальная энергия П не зависит явно от времени. Для консервативной системы, согласно равенству (10)г 55 г" б. Теорема об изменении полной энергии и диссипативными, если их мои!ность!) отрицательна или равна нулю; и (18) Если потенциальная энергия не зависит явно от 1, то из равенств (14) и (17) следует дЕ(д( = О и, таким образом, длл склерономной система! при гироскопических силах также имеет место интеграл энергии Е = сопг1. Если же на такую систему действуют диссипативные силы, то при движении системы дŠ— <О, д( т. е. полная энергия убывает во время движения г).

В этом случае са- му систему мы будем называть дисгипативной. В случае склерономвой системы =! =1 откуда после почлепного деления на бг находим в' ч, = 2 гг',4!. (») =! =! Поэтому равенство (17) выражает условие гироскопичиости М и ч =О, =! а равенство (18) — условие диссвпативности М 2 ' Г.ч, < О.

В случае реономной системы равенство (*) может не иметь места. В этом случае бг = дг — (дг /д!) д! в иэ равенства и бг .=~ !г,бд, следует г (ч — — ) = !»гд,. =! =! При диссипативных силах происходит рассеивание (диссипапия) энергии. Отсюда и термин»диссипатнвные силы».

56 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения В соотношениях (17) и (18) обобщенные силы «У«в общем случае зависят от обобщенных скоростей. Рассмотрим важные частные щ1учаи, в которых эта зависимость линейна и однородна. 1'. Пусть (1=1, ..., и) (19) и матрица коэффициентов %ь являегся кососимметрической ): у«ь= — уы (г,а=1,,п). (20) Тогда силы (19) являются гироскопическими. Действительно, в этом случае 1г Чг = ~ ~у ЧА = ~~ уидг + ~~ (у, +уьг)дА, =О. Е х-Л ' -Л ' Л.

2 Последнее равенство показывает, что кососимметричность матрицы коэффициентов %ь является не только достаточным, но и необходимым условием для того, чтобы приложенные к склерономной системе силы (19) были гироскопическими. Примеры. 1. Кориолисовы си ы инерции для склерономной системы лвляются гироскопическими силами. Действительно, кориолисова сила инерции, прикладываемая к точке Р„системы, определяется формулой Е, = — 2т,0о х и,).

Здесь «и„— масса точки Рю и, — ее скорость в рассматриваемой неинерциальной системе осей координат, а ы — угловая скорость вращения этой системы относительно некоторой инерциальной системы координат (о = = 1,..., !У). Но тогда Л 2. Пусть на твердое тело с неподвижной точкой 0 действуют силы с главным моментом Ьо = 1(!о! х !ог), где 1 — скаляр, и пусть !о = !о! + + ы — угловая скорость тела.

Тогда приложенные к телу силы явля!отся гироскопическими, твк как их мощность раппа пул«о: 1оы= О. Если твердое тело обладает динамической симметрией, 1 момент инерции относительно оси симметрии, ыг — угловая скорость «чистого вращения», направленная по оси симметрии, а ы! — угловая скорость прецессиоппого движения, то момент Ьо = Д!о! х и!2) называется гироскопическим. Таким образом, силы, создающие гироскопический момент, являются гироскопическими ). !) У кососпмметрнческой матрицы %1 всегда у„= О !г = 1, ..., и).

) Отсюда и пропсхождепие термина «гироскоппческпе силы». г" о. Теорема об изменении полной энергии 2'. Пусть © = — ~ ~б,йф,. (1=1, ...,и), й=1 (21) где матрица коэффициентов (г,й является симметрической (21') б!й=Ьй, (1=1,...,п), и пусть квадратичяая форма 2 ',. О!й!)1дй положительна: ьгййгу, > б. ь й=1 (22) Тогда для склерономной системы мощност| сил равна ~ 44! = — ~ Ь, й!д < о 1=1 цй=! (23) и силы О! являются диссипативными. В этом случае квадратичная форма 1 11= - ~ бгйд,дй 2, Ц й=1 (24) называется диссипативной функцией Релея.

Легко видеть, что обобщенные силы (21) получаются из диссинативной функции Релея с помощью формул дЛ вЂ” — (1=1, ..., п). (25) дд! Если система склерономна и потенциальная энергия не зависит явно от времени, то в силу равенств (14), (23) и (25) ЫŠ— Ч,д! = — 2В. д! (26) г =-! Последняя формула указывает на физический смысл функции Релея: удвоенная функция Релея равна скорости убывания полной энергии. Если функция Релея (24) является положительно определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей, то говорят о пол,- ной диссипоции энергии. В этом случае систему мы будем называть определенно-диссипативной.

У такой системы, согласно формуле (26), полная энергия строго убывает. (27) В качестве примера рассмотрим приложенные к точкам системы силы сопротивления среды, пропорпиональные первым степеням скоростей точек; 58 Гл. й Дифференциальные уравнения движения В этом случае Е,у = — 2В, (28) я=1 где Х В = — Р'~~ ит. (29) $ 9. Электромеханические аналогии Рис. 25 Если в контуре имеется еще внешний источник э.д.с. е(г), то, записывая, что по закону Кирхгофа величина э.д.с. равна сумме напряжений для отдельных элементов, будем иметь йг 1  — -~- В1+ — /1е)1 = е(1), д1 С/ (2) илн Ь вЂ” +  — + — = е(1).

йтд дд д п12 д1 С Это уравнение является аналогом уравнения механических коле- баний о — + Ь вЂ” + сд = ц)(1). 412 Щ (4) При этом индуктивности Ь отвечает инерционный коэффициент (обобщенная масса) а, омическому сопротивлению  — днссипативный коэффициент 6, коэффициенту 1/С, где С емкость, отвечает приведенный коэффициент упругой силы с, заряд д соответствует обобщенной координате у, э. д, с, еф —. обобщенной силе ь)1е). В этом параграфе мы покажем, каким образом уравнения аналитической механики могут быть применены не только к механическим, по и к электрическим и электромеханиче- С ским системам.

Рассмотрим контур, в котором индуктивность А, омическое сопротивление В н конденсатор с емкостью С соединены последов вательно (рис. 25). Для этих элементов связь между напряжением и (разность между значениями потенциала на концах элемента) н величиной тока 1 (г = — Й~(Й, где д заряд) будет соответственно равна Э 9. Электромеханические аналогии С другой стороны, в контуре, изображенном на рис. 26, по закону Кирхгофа складываются токи, проходящие через индуктивный элемент, сопротивление и конденсатор,поэтому и 1 йи — + — ( наг+ С вЂ” = г(е). (5) В А/ д1- Почленно дифференцируя, получаем; лги 1 Ни 1 И1 С + — — + — и= —.

,Ц2 Я Щ 7, дг' Л = — Ьйэ, 2 Т = — ад, 2 2 П = — со~, Я =- Я(1) в первой системе аналогий соответствуют величины т= -Тл)', 2 П= — 9, е=е(е), а во второй ° 2 В= — и, 2Л Т = — Си, 2 2 П= — и, 2Ь Таким образом., системы электромеханических аналогий определяют- ся следующей таблицей: Рассмотрим в качестве более сложного примера электрическую цепь, изображенную на рис.

27. Здесь мы имеем другую систему аналоРис. 26 гий, в которой координате 9 соответствует напряжение и и механические коэффициенты а, 6, с заменяются на С, 1/В, 1/Ь, :обобщенной силе Я(г) здесь отвечает величина й/й. Две электрические системы, имеющие одинаковые (с точностью до обозна гений) уравнения, предспшвляют собой две раэаые электрические модели одной и той же механической системы. Кинетической и потенциальной энергиям, функции Релея, обобщенной силе у механической системы с одной степенью свободы ОО Гл. й Дифференциальные уравнения движенил Рис.

27 Составим уравнения Лагранжа, придерживаясь первой системы аналогий; предварительно вычислим Т = — Е1Ч1 + — Егз(Ч2 — ЧЗ) 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ь1Ч1 + ьгЧ2 + ьЗЧЗ~ 2 2 2 2 1 2 П= Чз+ 1Ч1 — Чг) . 3 12 Кроме того, ег = ез = О. Положим е1 = А 31п Ж. Теперь выпишем уравнения Лагранжа 1 1 71Ч1 + В1Ч1 + — Ч1 — — Чг —— А юп йс, С12 С12 1 1 Ь23Ч2-Егзчз+Кгдг+С Ч2-С Ч1=0 12 '12 1 723Чз — 723Ч2+ ЛзЧз+ — Чз = О. С Эти уравнения и будут уравнениями состояния электрической цепи, изображенной на рис. 27.

3 10. Уравнения Аппеля для неголономных систем. Псевдокоординаты В этом параграфе мы выведем уравнения Аппеля, определяющие движение неголономной системы. Пусть на неголономную систему наложены д конечных н Ч дифференциальных связей (см. 3 1). Использовав сначала только Н конечных связей, мы выразим радиусы-векторы 61 уе10. Уривненпл Аппе я точек системы через т = ЗХ вЂ” а1 независиътых координат дт, ..., д,в н время й г„= г (1, дт, ..., д ) (и = 1, ..., Х).

(1) Отсюда г,=~ д,+ (и=1,...,Х) дг,, дг, дд1 ' д1 (2) и (4) Функции (1), будучи подставлены в уравнения конечных связей, обращают их в тождества. Поэтому при использовании представления (1) нужно учитывать только дифференциальные связи. Нам удобно обозначать линейные комбинации (5) через й„хотя сам символ х, может ве иметь смысла, так как правая часть равенства (5) может ие быть полной производной. бг,=~ "бд; (2') ;=- ~% Однако г, и г„(и = 1,..., Х) удовлетворяют еще дифференциаль- ным связям ) 15 Г„+ Рд =- 0 (д ап 1а ..., д), (3) =1 где 1л, и РЗ являются функциями от 1 и г, (и = 1,..., ата'). Подставив выражения (1) и (2) для г и г„в уравнения связей (3), мы представим эти уравнения в виде т Ал1да + Ал = О (д = 1, ..., д), а=1 где коэффипиенты Аде при д, и свободные члены Ал являются функ- циями от1и дт,..., д Таким образом, для неголономной системы координаты дт, ..., дю могут принимать произвольные значения, но при этом обобщенные скорости дт, ..., д уже не могут быть произвольными; они связаны между собой соотношениями (4).

Считая д связей (4) независимыми, мы можем из уравнений (4) выразить д обобщенных скоростей, напри- мер, д„, 1,..., д через остальные дт а ..., дв (и = гп — д = Зата — а( — д число степеней свободы системы; см. с. 18). Скоростяйт дт, ..., д„мож- но давать произвольные значения, и тогда уже определятся значения остальных скоростей. Однако мы пойдем по более общему пути и в качестве независи- мых величин возьмем не п (и . число степеней свободы) обобщенных скоростей, а некоторые п независимых линейных комбинаций этих скоростей ') н,=~,(„дт (в=1,...,п), (б) а=1 где 1м функции от 1 и д„..., д 62 Гл.