1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 9

DJVU-файл 1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 9 Теоретическая механика (3721): Лекции - 3 семестр1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu) - DJVU, страница 9 (3721) - СтудИзба2021-01-26СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Лекции Гантмахерu", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 9 - страница

Вычисляя 621 и 622, находим 6А = — (тг+ тг)д11 вгп р1 61р1 — тгд12 21п 222 брг и ьг1 = — (ш1 + ш2)Д11 21п д11, 1е2 = — гп2Д12 21п д22. С другой стороны, 1 2 .г 1 2 .2 2 .2 Т = — т11,,Р, + — тг(11 Р, 4-12|Р2 -~- 21112 сов (221 — 222)ф21222) = 2 2 1 2 2 2 ° 2 2 (Ш1 + Ш2)11ф1 + п121112ф1ф2 Сое (д21 рг) + гп212ф2. 2 Первое уравнение Лагранжа « дт дт д1дфг д„- ' имЕет вид 2.

((гп1 -1- тг)111Р1 + т2111гфг соь (221 гг))ч 61 +т21112фг фг 21п (121 'гг) = (ш1 1 т2)Д11 в Ф1 ' Предоставляем читателю составить второе уравнение, соответствующее координате у22. 3. Требуется определись дифференциальные уравнения движен я свободной магаериальной точки в сферических координатах (см. пример 3 на с.

40 и рис. 22). Скорость точки равна векторной сумме скоростей: Ц радиальной; 2) вращательной от вращения радиуса в плоскости меридиана и 3) вращательной от вращения плоскости меридиана. Слагаемые скорости попарно ортогоналыгы,и потому Т= — ти = — гл(г +г ф +г вш рф ). 21222,22 2 2 Рис. 24 Для нахождения обобгценной силы 1 >, дадим точке перемещение вдоль радиуса. Тогда 6А, = Р, бг, где Р, — проекция приложенной силы г на направление радиуса. Отсюда 16, = Е,. 48 Гл. й Дифференциальные уравнения движения Теперь дадим точке элементарное перемещение по меридиану. Тогда 6Ат = Гтт бр, где Г„проекция силы Р на касательную к меридиану ').

Поэтому сг'„= Г„т. Анююгично Я„= Гет яп ~р, где Ге — проекция силы Р на касательную к параллели. Уравнение Лагранжа для координаты г 4 От ат Ж дт От принимает вид т(т — т~р — т з!п р у) ) = Г„. 3, 2 '2 Для координат р и й находим уравнения т(тф+2тр — т яп ьз сов зз ф~) = Гэь т(т яп АРГО+ 2 яп угу+ 2т соз дунй) = ГВ. Мы получили три дифференциальных уравнения движения свободной ма- териальной точки в сферических координатах.

'й 7. Исследование уравнений Лагранжа Для того чтобы составить уравнения Лагранжа, нужно предварительно найти выражение для кинетической энергии в виде функции от времени 2, обобщенных координат д; и обобщенных скоростей д; (з = 1,..., и).

Сделаем это в общем виде: т„" д;+ и=1 Здесь коэффициенты аим а,, ао — функции от 1, ды ..., д„, определяемые равенствами Ю (2) ) Касательные к меридиану и параллели направляем в сторону возрастания соответствующих координат м в Е. ) Из формул ~2) ввдво, что в,ь = аь, (й в, = К ..., и). м т,г, = — ~~~ и=1 в в — ьт ' а;И',Ф, + ~ ~аль + ао. (1) 2 ьь — 1 *'=1 17. Исследование уравнений Лагранжа Я о д (4) Формула (1) показывает, что кинетическая энергия голономной системы представляет собой функцию (многочлен) второй степени относительно обобщенных скоростей: Т.=Т, +Т, +Т„ где 1~ Тг = — 7 агьоеф;, 2,' Ой=1 Тг = ~ ~ал)н То = ао (6) т=1 В случае склерономной системы, как было выяснено в з 1, время 1 явно не входит в зависимость между г, и йо и потому дг, д1 ' =О (о=1,...,К).

Но тогда, согласно равенствам (3) и (4), а,=О (1=1,...,п) аа =О, 1 Т = 7г — — — З аыЧАь 2 ~- ьь=1 (7) с1ей(а,я)гя 1 у. -О. Действительно, пусть с1ес (агь),".ь 1 = О. Таким образом, кинетическая энергия склерономной системы представляется, в виде однородной функции второй степени (квадратичной формы) от, обобщенных скоростей. Заметим, что у произвольной (склерономной или реопомной) голономной системы форма Тг является всегда невырожденной, т. е. определигелгч составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля: 50 Гл.

й Ди44еренциальние уравнения двилеения Тогда система однородных линейных уравнений аыЛь = 0 а=1 (1=1,...,п) (8) имеет вещественное ненулевое решение. Умножая систему (8) почлепно па Л,, суммируя по г от 1 до и и используя формулы (2), получаем: 0 =- ~~~ а ьЛ,ЛУ =- ~~~ ~ ти ЛеЛь = дг, дг,1 г,у=3 г,у=3 а=1 'дЧ, дЧь) . ~ л, '" Отсюда и Л, =О (и=-1,...,Х). * дЧ, (9) Эти Х векторных равенств можно заменить ЗХ скалярными; е=1 п Л— дЧ, Равенства (9') показывают, что в якобиевой функциональной ма- трице (10) дх1 дЧ1 ' ду1 де1 дЧ1 ' дхн дЧ1 ' дул дЧ1 ' дзи дЧ1 ' п О, ~ ~— Ле =О (и=1,..., Х).

(9') дЧе дх1 дЧь ду~ дЧп дя1 дЧп дхн дЧп дул дЧп дел дЧв 2" 7. Исследование уравнений Лаграяжа 51 а» а12 ... а1„ а21 а22 а2 аы>О, >О, а21 а22 > О. (11) а,„1 апг .. ано Подставив выражение (1) Лагранжа 11 дТ д'Т для кинетической энергии в уравнения (1=1,...,п), (12) получим а,ьс(ь+ (в*) = 141(1,уг,гд) (1= 1,, п), (13) Здесь через (ек) обозначена сумма членов, не содержащих вторых производных от координат по времени. Правые части также не содержат вторых производных, так как представляют собой в общем случае функции от величин 1, угз г), (1 = 1, ..., п). Поскольку Йе1 (ага),".ь ф О, то уравнения (13) можно разрешить относительно вторых производных и представить в виде а, = С,(1,дюдя) (1= 1, ..., и).

(14) Ранг функциональной матрицы (10) может быть ьгеньпге и в отдельных (особых) точках. В этих особых точках возможно равенство де1 (а,ь), ь 1 — — О. В дальнейшем мы такие особые положения системы исключаем из рассмотрения. См., например: 1ангалшхер Ф.Р.

Теория матриц. -- э1., — - 1983. —. С.248. столбцы линейно зависимы, т.е. ранг р этой функциональной матрицы меньше и. Тогда среди ЗХ функций хг, у1, 21, ..., ти, у1у, агу От П арГуМЕНтОВ 01, ..., да (1 раССМатрИВаЕтея КаК Параметр) имеется р независимых, через которые могут быть выражены все остальные декартовы координаты точек системы. Мы пришли к противоречию, так как минимальное число независимых координат системы равно числу степеней свободы п, а р < и. Неравенство (7) установлено ). Свойство коэффициентов квадратичной формы Т2, выражаемое неравенством (7), очень существенно и будет нами неоднократно использоваться в дальнейшем.

Заметим, что поскольку всегда Т2 > О (Т2 . кинетическая энергия при «замороженных' связях!), то из неравенства (7) следует, что квадратичная форма Т2 — — (1/2) 2 '„"., агьу,дь является положительно определенной, т.е. Т2 > О, причелг Т2 =- О только тогда, когда все 01 (1 = 1, ..., и) равны нулю. Поэ"гому для коэффициентов а,ь имеют место детерминантные неравенства Сильвестра ): 52 Гл. й Дифференциальные уравнения движения Но тогда, как известно из теории дифференциальных уравнений, при некоторых предположениях относительно правых частей Со которые в механике всегда предполагаются выполненными ~), существует одно и только одно репгение уравнений Лагранжа при произвольных наперед заданных начальных данных де, 1)о для 8 = 1а (1 = 1, ..., и).

Таким образом, движение голономной системы однозначно определяется заданием начального положения (д~) и начальных скоростей (д~). й 8. Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы Если обобщенные силы не зависят от обобщенных скоростей Я; =1),(г, аы..., д„) 1з = 1, ..., и) и существует функция П(г, ды ..., 4 ) такая, что дП вЂ” — 1т=1, ...,и), дд; (2) го силы Я, называются попгенциальнылеп, а функция П патлснциалом сил или потенциальной энергией.

Равенства (2), определяющие потенциал П, можно записать так 1): 5А = ~~ сзг Баг = — бП. ю=1 Рассмотрим теперь общий случай, когда помимо потенциальных сил, определяемых потенциалом П, на систему действуют еще непотенци- альные силы Щ = Щ(1, ам ф) (т' = 1, ..., и). (4) Тогда дП ~. =- — +О, дг)1 и уравнения Лагранжа принимают вид (5) с1 дТ дП дП вЂ” — — — = — — +Де (т'=1, ...,и). (6) с)1 да, дд, да, Введена в рассмотрение полную энергию Е, равную сумме кинети- ) Например, при существоваиии непрерывных частяых производных первого порядка у функций С, П =-.

1, ., ., и). ) При вычислении виртуальвого дифферепциала БП время 1 предварительно фиксируется. Поэтому БП =. г „" г (дП/дд,) 4Ч,. 53 1о. Теорема об изменении полной энергии ческой и потенциальной энергий (7) Е=Т+П, и вычислим производную с)Е!й. Для этого сначала найдем г=г аг " дТ, " /дТ е) дТхг, дТ й, дд, ',, ~хдд„й дд,( ' д1 Замечая, что Т = Тг + Тг + То, и используя уравнения Лагранжа (6), получаем ) МТ е) дТ ГдП вЂ” — — РТг + Т,) + — + ~ ' ~ — — 4~ д, —.

й й ' д1,)д9, е)Т Н дТ ИП дП = 2 — — — (Тг + 2То) + — + — — — — ~~, Ю 9г (9) й й д1 й д1 Отсюда с учетом равенства (7) окончательно находим ИŠ—, аг дТ дП вЂ” = ~', гагу + — (Тг + 2То) — — + —. й, ' ' й д1 д1 ' (10) Стоящее в правой части выражение ~.",", 4Щ 5А й й' (11) где 5А - элементарная работа непотенциальных сил Яе, представляет ) Для однородной функции Ляг, ..., я„) т-й степени имеет место формула ЭйлеРа 1„г 'ГЭТ/дк,)и, = тпд ПРименЯЯ этУ фоРмУлУ к линейной фоРме Тг и квадратичной форме Тг,находим: дТг 'дТг 'г — г 45 =- 2тг, ~ — 1 Ч, = Тг . 9*,1 4 Справедливость этих тождеств следует также непосредственно иэ выражений для Тг н Тг, приведенных на с.

49. 54 Гл. й Дифференциальные уравнения движения собой мощность непотепциальных сил Щ (т' = 1, ..., и). Слагаемое в правой части И дТ вЂ” (Тт + 2То) —— д1 дг (12) отлично от пуля лишь для реономной системы (для склерономной системы Т, =- То =- 0 и дТ(д1 =- О). Последнее же слагаемое отлично от нули только тогда, когда потенпиальная энергия П зависит явно от времени. Формула (10) определяет изменение полной энергии при двисснии произвольной голономной системы. Рассмотрим частные случаи.

а) Система склерономная. Тогда дЕ " †, дП вЂ” =~ гй + —. д1, ' д1 (13) б) Систслга склсрономн я, и потенциальная энергия не зависитп явно от времени. Тогда ВŠ— д ч,. д1 (14) — =О, дЕ д1 (15) т. е. при любом движении системы (16) Е = сопвс = 6. Полная энергия консерватпивной системы не изменяетпся при движении системы. Равенство (16), не содержащее д; н включающее произвольную постоянную Ь, определяет первый интеграл уравнений движения. Оно называется интегралом энергии. Непотенциальные силы называются гироскопическими, если их мощность равна нулю: (17) Для такой системы производн я от полной энергии по времени равна мощности, непотенциальных сиа.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее