1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 9

Вычисляя 621 и 622, находим 6А = — (тг+ тг)д11 вгп р1 61р1 — тгд12 21п 222 брг и ьг1 = — (ш1 + ш2)Д11 21п д11, 1е2 = — гп2Д12 21п д22. С другой стороны, 1 2 .г 1 2 .2 2 .2 Т = — т11,,Р, + — тг(11 Р, 4-12|Р2 -~- 21112 сов (221 — 222)ф21222) = 2 2 1 2 2 2 ° 2 2 (Ш1 + Ш2)11ф1 + п121112ф1ф2 Сое (д21 рг) + гп212ф2. 2 Первое уравнение Лагранжа « дт дт д1дфг д„- ' имЕет вид 2.

((гп1 -1- тг)111Р1 + т2111гфг соь (221 гг))ч 61 +т21112фг фг 21п (121 'гг) = (ш1 1 т2)Д11 в Ф1 ' Предоставляем читателю составить второе уравнение, соответствующее координате у22. 3. Требуется определись дифференциальные уравнения движен я свободной магаериальной точки в сферических координатах (см. пример 3 на с.

40 и рис. 22). Скорость точки равна векторной сумме скоростей: Ц радиальной; 2) вращательной от вращения радиуса в плоскости меридиана и 3) вращательной от вращения плоскости меридиана. Слагаемые скорости попарно ортогоналыгы,и потому Т= — ти = — гл(г +г ф +г вш рф ). 21222,22 2 2 Рис. 24 Для нахождения обобгценной силы 1 >, дадим точке перемещение вдоль радиуса. Тогда 6А, = Р, бг, где Р, — проекция приложенной силы г на направление радиуса. Отсюда 16, = Е,. 48 Гл. й Дифференциальные уравнения движения Теперь дадим точке элементарное перемещение по меридиану. Тогда 6Ат = Гтт бр, где Г„проекция силы Р на касательную к меридиану ').

Поэтому сг'„= Г„т. Анююгично Я„= Гет яп ~р, где Ге — проекция силы Р на касательную к параллели. Уравнение Лагранжа для координаты г 4 От ат Ж дт От принимает вид т(т — т~р — т з!п р у) ) = Г„. 3, 2 '2 Для координат р и й находим уравнения т(тф+2тр — т яп ьз сов зз ф~) = Гэь т(т яп АРГО+ 2 яп угу+ 2т соз дунй) = ГВ. Мы получили три дифференциальных уравнения движения свободной ма- териальной точки в сферических координатах.

'й 7. Исследование уравнений Лагранжа Для того чтобы составить уравнения Лагранжа, нужно предварительно найти выражение для кинетической энергии в виде функции от времени 2, обобщенных координат д; и обобщенных скоростей д; (з = 1,..., и).

Сделаем это в общем виде: т„" д;+ и=1 Здесь коэффициенты аим а,, ао — функции от 1, ды ..., д„, определяемые равенствами Ю (2) ) Касательные к меридиану и параллели направляем в сторону возрастания соответствующих координат м в Е. ) Из формул ~2) ввдво, что в,ь = аь, (й в, = К ..., и). м т,г, = — ~~~ и=1 в в — ьт ' а;И',Ф, + ~ ~аль + ао. (1) 2 ьь — 1 *'=1 17. Исследование уравнений Лагранжа Я о д (4) Формула (1) показывает, что кинетическая энергия голономной системы представляет собой функцию (многочлен) второй степени относительно обобщенных скоростей: Т.=Т, +Т, +Т„ где 1~ Тг = — 7 агьоеф;, 2,' Ой=1 Тг = ~ ~ал)н То = ао (6) т=1 В случае склерономной системы, как было выяснено в з 1, время 1 явно не входит в зависимость между г, и йо и потому дг, д1 ' =О (о=1,...,К).

Но тогда, согласно равенствам (3) и (4), а,=О (1=1,...,п) аа =О, 1 Т = 7г — — — З аыЧАь 2 ~- ьь=1 (7) с1ей(а,я)гя 1 у. -О. Действительно, пусть с1ес (агь),".ь 1 = О. Таким образом, кинетическая энергия склерономной системы представляется, в виде однородной функции второй степени (квадратичной формы) от, обобщенных скоростей. Заметим, что у произвольной (склерономной или реопомной) голономной системы форма Тг является всегда невырожденной, т. е. определигелгч составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля: 50 Гл.

й Ди44еренциальние уравнения двилеения Тогда система однородных линейных уравнений аыЛь = 0 а=1 (1=1,...,п) (8) имеет вещественное ненулевое решение. Умножая систему (8) почлепно па Л,, суммируя по г от 1 до и и используя формулы (2), получаем: 0 =- ~~~ а ьЛ,ЛУ =- ~~~ ~ ти ЛеЛь = дг, дг,1 г,у=3 г,у=3 а=1 'дЧ, дЧь) . ~ л, '" Отсюда и Л, =О (и=-1,...,Х). * дЧ, (9) Эти Х векторных равенств можно заменить ЗХ скалярными; е=1 п Л— дЧ, Равенства (9') показывают, что в якобиевой функциональной ма- трице (10) дх1 дЧ1 ' ду1 де1 дЧ1 ' дхн дЧ1 ' дул дЧ1 ' дзи дЧ1 ' п О, ~ ~— Ле =О (и=1,..., Х).

(9') дЧе дх1 дЧь ду~ дЧп дя1 дЧп дхн дЧп дул дЧп дел дЧв 2" 7. Исследование уравнений Лаграяжа 51 а» а12 ... а1„ а21 а22 а2 аы>О, >О, а21 а22 > О. (11) а,„1 апг .. ано Подставив выражение (1) Лагранжа 11 дТ д'Т для кинетической энергии в уравнения (1=1,...,п), (12) получим а,ьс(ь+ (в*) = 141(1,уг,гд) (1= 1,, п), (13) Здесь через (ек) обозначена сумма членов, не содержащих вторых производных от координат по времени. Правые части также не содержат вторых производных, так как представляют собой в общем случае функции от величин 1, угз г), (1 = 1, ..., п). Поскольку Йе1 (ага),".ь ф О, то уравнения (13) можно разрешить относительно вторых производных и представить в виде а, = С,(1,дюдя) (1= 1, ..., и).

(14) Ранг функциональной матрицы (10) может быть ьгеньпге и в отдельных (особых) точках. В этих особых точках возможно равенство де1 (а,ь), ь 1 — — О. В дальнейшем мы такие особые положения системы исключаем из рассмотрения. См., например: 1ангалшхер Ф.Р.

Теория матриц. -- э1., — - 1983. —. С.248. столбцы линейно зависимы, т.е. ранг р этой функциональной матрицы меньше и. Тогда среди ЗХ функций хг, у1, 21, ..., ти, у1у, агу От П арГуМЕНтОВ 01, ..., да (1 раССМатрИВаЕтея КаК Параметр) имеется р независимых, через которые могут быть выражены все остальные декартовы координаты точек системы. Мы пришли к противоречию, так как минимальное число независимых координат системы равно числу степеней свободы п, а р < и. Неравенство (7) установлено ). Свойство коэффициентов квадратичной формы Т2, выражаемое неравенством (7), очень существенно и будет нами неоднократно использоваться в дальнейшем.

Заметим, что поскольку всегда Т2 > О (Т2 . кинетическая энергия при «замороженных' связях!), то из неравенства (7) следует, что квадратичная форма Т2 — — (1/2) 2 '„"., агьу,дь является положительно определенной, т.е. Т2 > О, причелг Т2 =- О только тогда, когда все 01 (1 = 1, ..., и) равны нулю. Поэ"гому для коэффициентов а,ь имеют место детерминантные неравенства Сильвестра ): 52 Гл. й Дифференциальные уравнения движения Но тогда, как известно из теории дифференциальных уравнений, при некоторых предположениях относительно правых частей Со которые в механике всегда предполагаются выполненными ~), существует одно и только одно репгение уравнений Лагранжа при произвольных наперед заданных начальных данных де, 1)о для 8 = 1а (1 = 1, ..., и).

Таким образом, движение голономной системы однозначно определяется заданием начального положения (д~) и начальных скоростей (д~). й 8. Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы Если обобщенные силы не зависят от обобщенных скоростей Я; =1),(г, аы..., д„) 1з = 1, ..., и) и существует функция П(г, ды ..., 4 ) такая, что дП вЂ” — 1т=1, ...,и), дд; (2) го силы Я, называются попгенциальнылеп, а функция П патлснциалом сил или потенциальной энергией.

Равенства (2), определяющие потенциал П, можно записать так 1): 5А = ~~ сзг Баг = — бП. ю=1 Рассмотрим теперь общий случай, когда помимо потенциальных сил, определяемых потенциалом П, на систему действуют еще непотенци- альные силы Щ = Щ(1, ам ф) (т' = 1, ..., и). (4) Тогда дП ~. =- — +О, дг)1 и уравнения Лагранжа принимают вид (5) с1 дТ дП дП вЂ” — — — = — — +Де (т'=1, ...,и). (6) с)1 да, дд, да, Введена в рассмотрение полную энергию Е, равную сумме кинети- ) Например, при существоваиии непрерывных частяых производных первого порядка у функций С, П =-.

1, ., ., и). ) При вычислении виртуальвого дифферепциала БП время 1 предварительно фиксируется. Поэтому БП =. г „" г (дП/дд,) 4Ч,. 53 1о. Теорема об изменении полной энергии ческой и потенциальной энергий (7) Е=Т+П, и вычислим производную с)Е!й. Для этого сначала найдем г=г аг " дТ, " /дТ е) дТхг, дТ й, дд, ',, ~хдд„й дд,( ' д1 Замечая, что Т = Тг + Тг + То, и используя уравнения Лагранжа (6), получаем ) МТ е) дТ ГдП вЂ” — — РТг + Т,) + — + ~ ' ~ — — 4~ д, —.

й й ' д1,)д9, е)Т Н дТ ИП дП = 2 — — — (Тг + 2То) + — + — — — — ~~, Ю 9г (9) й й д1 й д1 Отсюда с учетом равенства (7) окончательно находим ИŠ—, аг дТ дП вЂ” = ~', гагу + — (Тг + 2То) — — + —. й, ' ' й д1 д1 ' (10) Стоящее в правой части выражение ~.",", 4Щ 5А й й' (11) где 5А - элементарная работа непотенциальных сил Яе, представляет ) Для однородной функции Ляг, ..., я„) т-й степени имеет место формула ЭйлеРа 1„г 'ГЭТ/дк,)и, = тпд ПРименЯЯ этУ фоРмУлУ к линейной фоРме Тг и квадратичной форме Тг,находим: дТг 'дТг 'г — г 45 =- 2тг, ~ — 1 Ч, = Тг . 9*,1 4 Справедливость этих тождеств следует также непосредственно иэ выражений для Тг н Тг, приведенных на с.

49. 54 Гл. й Дифференциальные уравнения движения собой мощность непотепциальных сил Щ (т' = 1, ..., и). Слагаемое в правой части И дТ вЂ” (Тт + 2То) —— д1 дг (12) отлично от пуля лишь для реономной системы (для склерономной системы Т, =- То =- 0 и дТ(д1 =- О). Последнее же слагаемое отлично от нули только тогда, когда потенпиальная энергия П зависит явно от времени. Формула (10) определяет изменение полной энергии при двисснии произвольной голономной системы. Рассмотрим частные случаи.

а) Система склерономная. Тогда дЕ " †, дП вЂ” =~ гй + —. д1, ' д1 (13) б) Систслга склсрономн я, и потенциальная энергия не зависитп явно от времени. Тогда ВŠ— д ч,. д1 (14) — =О, дЕ д1 (15) т. е. при любом движении системы (16) Е = сопвс = 6. Полная энергия консерватпивной системы не изменяетпся при движении системы. Равенство (16), не содержащее д; н включающее произвольную постоянную Ь, определяет первый интеграл уравнений движения. Оно называется интегралом энергии. Непотенциальные силы называются гироскопическими, если их мощность равна нулю: (17) Для такой системы производн я от полной энергии по времени равна мощности, непотенциальных сиа.