1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 5

Однако нгггегрированне такой системы обычно весьма затруднено из-за большого числа уравнений. Поэтому уравнения Лагранжа первого рода практически мало применяются. В З 6 и З 10 мы получим уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы и уравнения Аппеля для неголономной системы; в этих уравнениях число неизвестных скалярных величин (и, следовательно, число уравнений) равно З2Л1 — 11, т. е. на 2а1+ д единиц меньше, чем в системе уравнений (8) и (9). — [(хг — х1) + (уг — у1) — 1 ) = О, 1 2 г 2 (10) (хг — Х1) (уг + У1) — (хг + Х1) (уг — уг) = О. Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями Л и д имеют внд х, = -Л(хг — х,) — н(уг — у,), У1 = — д — Л(уг — уг) + 11(хг — хг) хг = Л(хг — хг) — д(уг — уг), уг = — д + Л(уг — У1) '- Н(хг — Х1).

(12) Из уравнений (11) с учетом первого уравнения (10) определим Л н р: Л = — — (Уг — У1) — — [(хг — х1)х1 ц- (Уг — У1)угв (13) д 1 Ц = (Х2 — Х1) — [(У2 — У1)Х1 — (Х2 — Х1)У1). 12 12 Пример. Две весомые материальные точки ЛХ1 н ЛХ2 с одинаковой массой нг = 1 соединены стержнем неизменной длины 1 с пренебрежимо малой массой. Система может двигаться только в вертикальной плоскости и только твк, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек М1 и ЛХ2.

Пусть хг, у1 н хг, уг — координаты точек М1 и ЛХ2. Запишем уравнения связей: 27 у 3. Общее уравнение динамики Заметим, что уравнения [12) получаются из уравнений [1Ц, если в последних заменить Л на — Л и хы уй - на хг, уг. Поэтому, определяя Л и д из уравнений [12),находим д 1 Л = — [уг — уг) + — [[хг — хг)хе+ [уг — уг)уг,'', 1г = 1 (хг — ' ) — 1 [[Уг — Уг)хг — [х — х )Уг) [14) Приравняв между собой соответствующие выражения для р и Л в формулах [13) и [14), после элементарных преобразований получим [аг — хг)[уг — Уг) — (Уг — Угйхг — хг) = О, [15) [хе+ хг)[хг — хг) + (уз + уЗ)[уг — уг) + 2д[уг — уг) = О. Введем сокращенные обозначения: и=хе — хы е=уг — уы Р=хг+хг, Я=уг+уг.

[16) Тогда уравнения [10) и [15) перепишутся так: и+и =1, йи — ий = О, Ри — (ги = О, Ри + 1„)и + 2де = О. [17) [18) [19) и = 1 сов гг, и = 1 в|п р, Вг = о = сопвЦ Вг = ов -'; Д. [20) Согласно равенству [18) можно положить Р= — и, ее'= — и. К 1 ' 1 [2Ц Подставляя эти выражения в равенство (19) и учитывая равенства [17) и [20), найдем 2д 7 + — е = О, т. е. 7 = — 2д яп вг. Тогда е[7 1 2д 2д — = — 7 = — — яп р и 7 = — соь ег + 2 у.

дгг о и о Следовательно, в силу равенств [20) и [2Ц, имеем Р = 2 ("Е + — сов Вг) сов Вг, Я = 2 [ 7 -ь — сов ег) яп ег. [22) Равенства [17) показывают, что в плоскости [и, с) точка с координатами и, и движется по кругу радиуса 1 с центром в начале координат, причем ее ускорение все время направлено к центру. Но тогда движение этой точки будет равномерным. Поэтому 28 Гл. й Дифференциальные уравнения движения Интегрируя, находим хг + хг =~Рд! = — ~ Рбр = — яп р+ — магг соь р+ — р+ 26, 1 Р 2у, д д О О , г ог 2у д уг + уг = — — соь гг — — соь р+ 2ь.

О ог (23) Из равенств (16), 120) и (23) окончательно получим у д д хг = — яп чг+ яп р соь р+ — »г — — соь гг -~- б, о 2ог 2ог 2 7 д уг = — — соь гг — — соь чг — — ь|п ы+ е, Я 2аг 2 хг = — ып р+ ' ып р соь Ьг+ — р+ — соь Ьг+ Б, д д Ж О 2ог 2аг 2 7 д г 1 уг = — — соь р — — соь р -~- — яп»г+ е, о 2,г 2 р = о!+,9 (о,,д, у, 6, ь - произвольные постоянные). 34. Принцип виртуальных перемещений.

Принцип Даламбера Положением равновесия называется такое положение системы, в котором система будет находиться все время, если в начальный момент времени она находилась в этом положении и скорости всех ее точек были равны нулю. Положение системы го (и = 1, ..., гч!) будет положением равновесия в том и только в том случае, когда «движение» г,(!) = г, е (и = 1, ..., Дг) удовлетворяет общему уравнению динамики, т.

е. когда в этом положении системы У,бг, = О. я=г Равенство (1) выражает собой принцип виртуальных перемещенийк Длл того чтобы некоторое (совместимое со связ ми) положение системы было положением равновесиль необходимо и достаточно, чтобы в этом положении сумма работ активных сил на любых виртуальных перемещениях системы равнялась нулю. 29 бб. Принцип виртуальных перемещений Обычно принцип виртуальных перемещений применяют к стапиопарным связям. если связи стационарны, то термин «совместимое со связями» означает, что положение системы удовлетворяет конечным связям. Дифференциальные же связи, будучи линейными и однородными относительно скоростей, автоматически удовлетворяются, поскольку мы полагаем ч = О (и =- 1, ..., Х).

Если связи нестационарны, то термин «совместимое со связями» означает, что они удовлетворяются при любом 1, если в них положить г, = ге и ч, = О (и = 1, ..., Х). Заметим, что в этом случае при различных 1 могут быть различными и виртуальные перемещения бг, (и=1, ..., А7). В общем случае силы Е зависят от 1, г,,„ч,„(1» = 1, ..., Х): Е„= =- Р„(1, гп,чр) (и —. 1, ..., Х). Тогда предполагается, что равенство (1) имеет место при любом значении 1, если в выражении для Е, положить все гп = г и все ч„= О. е В простейших частных случаях принцип виртуальных перемещений (илн, как его иногда называют в применении к склерономным системам, принцип возможных перемещений) был известен еще во времена Галилея под названием «золотого правила механики» '). Пусть на концы невесомого рычага, находящегося в равновесии, действуют силы Р«н Рг Тогда, обозначая через Р,' и Рг касательные (к возможным траектория»«) составляющие этих сил., а через б1« и б1г — величины соответствующих элементарных возможных перел«ещепий, мы в силу равенства (1) с точпостькг до знака будем иметь: Р«б1« = Рг б1г, т.

е. б1« Р,' б1г (еы««ярыш е силе комиенсируетсл проигрышем е перемещении, и наобо- рот †. «золотое правило механики»). Принцип виртуальных перемещений представляет собой самый общий принцип аналитической статики. Из него можно получить условия равновесия любой конкретной механической системы. Примеры. 1. Выведем из равенства (1) условия равновесия свободного твердого тела, обычно получаемые в курсах механики из соображений геометрической статики.

Обозначая через чо скорость какой-либо точки твердого тела, через иг -- угловую скорость тела, через Р и Ьо -- главный вектор н главный момент относительно полюса О для системы внешних сил, Галилей приписывал обоснование «эолотого правила ыехапякп» Арпстотелю. В общей формулировке прппппп епртуельвых перемещений встречается впервые у Иоганна Бернулли в 1717 г. зо Гл. Ь Дифференциальные уравнения движения действующих на твердое тело, мы приравниваем нулю вырапсение ) для элементарной работы сил, приложенных к твердому телу на произвольном бесконечно малом перемещении этого тела: 6А = )Рчо + Ьош) Ж = О. (2) В силу произвольности векторов чо и ш равенство (2) может иметь место тогда и только тогда, когда Р=О, 1о=О.

Эти равенства представляют собой необходимгле и достаточные условия равновесия свободного тела. Аналогично получаются условия равновесия несвободного твердого тела. 11усть, например, точка О закреплена. Тогда чо = О и равенство (2) имеет вид бА = ЬоогМ = О, откуда, в силу произволыюсти вектора ог, получаем искомое условие равновесия: Ьо = О. Если тело может только вращаться вокруг неподвижной оси и (с ортом е), то равенства (2) принимакэт форму бА = Ьоогедй = О, откуда, в силу произвольности величины ог, следует условие равновесия Ь„= О; здесь Ь„= 1 ое — главный момент внешних сил относительно оси и.

2. Выведем условия равновесия произвольной несвободной системы твердых тел, находящихся оод действием силы веса. Обозначим через М сумму масс всех тел и через г, . вертикальную координату центра тяжести системы тел (считаем ось г направленной вертикально вниз). Тогда, согласно равенству (1), получим: бА = ЛХд бг, = О., и, следовательно, условия равновесия системы имеют внд бг,=О. Таким образом, положениями равновесия системы тяжелых тел будут положения, в которых центр тяжести занимает наинизшее, наивысшее или э) Равенство 6А = (Рчо Э Ьоы) Ж может быть получено следующим образоею Обозначим через Р, силы, действующие на точки твердого тела, через г, и ч, — радиусы-векторы (проведенные из точки 0 тела) и скорости точек приложввяя сял Р, (1 = 1, 2,...) соответстьепво.

Тогда,обоэвэчэ» эяэком х векторное умножение, найдем 6А = ~ Р, 6г, =-. ~ Р,», дг = ~ Рдч -~- ы х г,) 61 =- = [(~ Р,) чо В ы ~ г., х Р,~ де 1замева 6г, на дг, = ч, дс законна в силу того, что твердое тело является склерономной системой; см. с, 14), Но в силу третьего закова Ньютона главный вектор в главный момент внутренних сил в твердом теле равны нулю.

Поэтому 2;, Р, = Р я~„г,хР,=Ьо 31 Д, Принцип виртуальных перемещений какое-либо другое «стационарноее положение по вертикали («принцип Торричеллиь). 3. Форма равиовес л тяжелой однородной цепи, заире ленной в двух точках. Пусть цепь длины 1 имеет форму кривой х = х(х), соединяющей две заданные точки А«н Аз (см, рис, 9, где Охх - вертикальная плоскость, а Ох — нертикаль).