1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 3

в=1 (2) Заменим конечные связи вытекающими из них дифференциальными: и,+ =-О (о=1,...,д). ду ду (3) в=1 дг, = у ~й (и — -- 1, ..., Х), где тт, (р = 1, ..., йт) возможные скорости, будем называть возможными бесконечно малыми первмещениами или, для сокращения, В урвввеииях диффврввциввъимх связей мм вместо г нижем и . Систему векторов тв будем называть ввзможпыми скоростями для некоторого момента времеяи 1 и для некоторого возможного в этот момент положения системы, еыи векторы ив удовлетворяют Ы + д линейным уравнениям (2) и (3).

Таким образом, возможные скорвстпи зтпо сквростпи, допускаемые связями. Для каждого возътозкного положения системы в момент времени 1 существует бесчисленное множество систем возможных скоростей. При действительном движении системы в втолтент 1 реализуется одна из этих систем скоростей. Систему бесконечно малых перемещений 16 Гл. й Дифференциальные уравнения движения просто возможными перемещен ми. Умножив уравнения (2) и (3) почленно на д1, получим уравнения, определяющие возможные перемещения: дг,+ д1=0 „=1 ~ 1д. дг. + Пд ду =- О (о=1, ...,д), (5) Р=-1 ",д).

Возьмем две системы возможных перемещений для одного и того же момента времени и для одного и того же положения системы: дг, = ц„д1 и д'г, = /„д1 (и = 1, ..., Х). Как дг„так и д'г„удовлетворяют уравнениям (5), а разности бг, = д'г„— дг„(и = 1, ..., Х) (6) удовлетворяют однородным соотношениям: (ее = 1, ..., д), (7) 0=1,.",д). Разности бг„= д'г, — дг будем называть вирту льньми перемещениями.

Всякая система векторов бг„удовлетворяющая уравнениям (7), представляет собой систему виртуальных перемещений. Уравнения (7) для виртуальных перемещений отличаются от уравнений (5), определяющих возможные перемещения, отсутствием членов (д1„/дг) д1 и 11удй Поэтому говорят, что виртуальные перемещения совпадают с возможными перемещениями при «замороженных» связях. Действительно, при «замораживании» время 1, входящее в уравнения конечных связей, фиксируется, т.

е. связь как бы застывает в той конфигурации, которую она имела в момент 1. Тогда при дифференцировании функций з" члены (д7'„/д1) д1 не появляются и первые д уравнений (5) совпадают с соответствующими уравнениями (7). Для дифференциальной связи «замораживаяие» означает придание ей стационарного характера, т. е. отбрасывание Вд в левой части уравнений связи и фиксирование 1, явно входящего в коэффициенты 1у . После этого н последние д уравнений (5) совпадают с соответствующими уравнениями (7). бй.

Возможные и виртуальные перемещения Можно еще сказать, что виртуальные перемещения представляют собой перемеп1ения точек системы из одного возможного положения системы в момент 1 в другое бесконечно близкое, возможное для шоео же самого моменгаа времени 1 положение системы. При стационарных связях виртуальные перемещения совпадают с возможными.

Рис. 2 Рис. 1 Примеры. 1. Точка движется по неподвижной поверхности (рис. 1). В этом случае любой вектор ч, построенный из точки Р и касательный к поверхности в этой точке, будет представлять собой возможную скорость. Соответствуя>щее возможное перемещение аг = ч ае также лежит в плоскости, касательной к поверхности в точке Р. Разность бг = а'г — Нг двух касательных векторов в свою очередь представляет собой вектор, касающийся поверхности в тон же точке.

Таким образом, любой вектор, построенный из точки Р и лежащий в касательной плоскости, можно рассматривать как некоторое Нг и как некоторое бг. В данном примере связь стационарна и виртуальные перемещения совпадают с возможными. 2. Связь представляется поверхностью Я, которая сама движется (как твердое тело) с некоторой скоростью и относительно исходной системы координат (рис. 2). В этом случае возможная скорость ч получается из произвольного вектора чи касательного к поверхности. прибавлением к нему скорости и: ч = ч~ -, 'и.

Поэтому дг = ъ <И = че бе + и сЫ. Аналогично для другого возможного перемещения и виртуальное перемещение бг = д'г — 4г = (ч~ — ч~) бе 18 Гл. й Дифференциальные уравнения движения представляет собой, в отличие от аг, вектор, лежащий в плоскости, ка- сательной к поверхности в точке Р 5 )рис.

З). Вектор бг представляет собой возможное перемещение для «остановленнойь поверхности о'. В декартовых координатах век- тор бг характеризуется тремя проекциями на оси бт„ бу„, бд, (и = 1,...,Х), и уравнения (7), определяющие виртуальные перемещения, могут быть записаны в следующем виде: 6„«уу,й Б )= ° ( =1,...,«), «г ду ду дуо тв уг Зг в=1 (Ад,бт +В11 бд +Сд Бд ) =О ()3=1,, д). Если зти а1+ д уравнений независимы, то среди ЗХ виртуалы«ых приращений координат бк, бу, бд будет п = 31"ч' — а — д независимых.

Число п называется числом степеней свободы данной системы материальных точек. Пусть в точках Р„системы приложены соответственно силы У„ (и = 1,..., Х) '). Если бы связи отсутствовали, то, согласно второму закону Ньютона, между массами т„, ускорениями чг и силами Е, имели бы место соотношения гп,и, = Е, (и = 1, ..., Х). При наличии связей ускорения иг .= (1/т )Е, могут оказаться (в данный лгомент времени 1, в данном положении точек системы г, и при заданных скоростях гв) несовместимыми со связями. Действительно, продифференцировав почленпо равенства (3) и (2) по времени, мы получим аналитическое выражение для ограничений, накладываемых связями па ускорения чн точек системы ): 2 (о = 1, ..., «1), «=1 «=1 (8) 1д,ьу +~ и + =О рхх1,...,д). д1,, <Ш, г.=1 ы=-1 1 ) Под В' мы понимаем равнодействующую всех снл, приложенных непосредственно к материальной точке Р (в = 1, ..., Х).

Левые части в соотношениях (8) линейно зависят от ускорений ч«, Этн левые части, как легко усмотреть после выпоявеяия дифференцирования, занисят еше и от й г, ч 1в = П ..., й'). 19 у 2. Возможные и виртуальные перемещения Ускорения ьн, = (1,1т,)Е, л1огут пе удовлетворять этим соотношениям. Тогда материально осуществленные связи действуют на материальные точки системы Р, с некоторыми дополнительными силами К (р = 1, ..., Х); эти силы воздействия связей К носят название реакций, связей ') Возникающие реакции таковы, что ускорения, определяемые из уравнений т„ъ', = Ея+ В., (9) уже допускаются связями.

В отличие от реакций В, (р = 1, ..., Х) заранее заданные силы Е, 1р = 1, ..., Ас) называются актпивными силами. Активные силы обычно задаются как известные функции от времени, положения и скоростей точек системы ): Е, =- и',1ь, гл,чд) (Р =- 1, ..., Ас). (10) Основная задача динамики несвободной системы состоит в следующем. Заданы активные силы Е, = Е,(г,г „и '), и даны совместимые со связями начальные положения гв и начальные скорости н~ точек системы (р = 1, ..., М).

Требуется определить движение системы и реакции связей К, (и = 1, ..., Х) ). Если относительно характера связей ничего не известно, кроме определяющих уравнений (1) и (2), и, следовательно, ничего не известно относительно вызываемых этими связями реакций В.„то сформулированная выше задача является неопределенной, так как число ПОдЛЕжащИХ ОПрЕдЕЛЕНИЮ СКаЛярНЫХ ВЕЛИЧИН Х„уь~ гя~ '1 *; )Гкш В„больспе числа имеющихся скалярных соотношений -. уравнений пс хя Рья+Вык~ тыды = Рея+Воя~ т„г„= Р„+В„, и УРавнений связей (1) и (2) )6Х > ЗХ+ д+ д). Для того чтобы основная задача динамики стала определенной, необходимо иметь какие-то дополнительные 6Х вЂ” (31У+ д+д) = ЗзУ— — д — д = и независимых соотношений между искомыми величинами. Эти соотношения мы получим, если ограничимся важным классом идеальных связей.

Связи называются идеальными, если сумма работ реакций этих связей на любых виртуальных переме1цениях всегда равна нулю, п1. е. если М (11) В,бг, = О. ь=.1 При наличии нескольких связей (И Ь д > 1) В. есть равнодействующая всех реакций связей для точки Р 1и = 1,..., Х). В общем случае правые части в равенствах (10) зависят помимо 1 от всех тя и ч~ 1и =- 1, ° ° ., М). В случае свободной системы задача определения реакций отпадает н остается только задача определения движения системы. 20 Гл. й Дифференциальные уравнения движения Это равенство можно переписать и в развернутом виде: (11') (Л,б:е + К,обу„+ В„бго) = О.

Среди ЗХ величин дх, бу„бг имеется п независимых (п = ЗХ— — п — д число степеней свободы данной системы). Поэтому в равенстве (11') можно выразить ЗХ вЂ” и зависимых приращений Бх, бу, бг, через и независимых приращений и приравнять нулю коэффициенты при этих независимых приращениях. Тогда мы получим недостающие и соотношений, благодаря которым основная задача динамики несвободной системы становится определенной. Естественность и практическая важность выделенного нами класса связей станут ясными после рассмотрения следующих примеров идеальных связей.