1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 8

Свободное твердое тело. В качестве независимых координат возьмем три координаты хл, ул, гл какой-либо точки А тела и три угла Эйлера ф, В, сс (сьь пример 2 на с. 39). Тогда, согласно равенству (9), бА = 42, бх+ Е2ь бу+ Я, бг+ Яв бф+ Е2вбВ+ Я, бр. (15) Для определения Ц, сообщим телу элементарное перемещение вдоль оси х.

Тогда бул = бгл = О и бф = бВ = бр = О. Поэтому бА = Я, бхл. Сопостав- ление с равенством (11) дает сг, = Х. Аналогично Я» = У, О, = У. Здесь Х, У, Я - проекции на неподвижные оси х, у, г главного вектора всех активных сил, действующих на тело. Дадим теперь нашему телу такое элементарное перемещение, при котором изменяется только угол ф, а величины хл, ул, гл, В и р остаются неизменными. Тогда бА = сэоб15. Заметим, что на практике при нахождении величины Щ далеко не всегда пользуются формулой (10); вместо этого системе дают такое элементарное виртуальное перемещение, при котором только 1-я координата ц; получает некоторое приращение, а остальные независимые координаты не изменяются.

После этого вычисляют работу активных сил бА; на таком специально выбранном перемещении. Тогда бА, = =фбд,и 66. Голономневе системы С другой стороны, рассматриваемое элементарное перемещение тела представляет собой поворот вокруг оси Азь Поэтому в соответствии с форлвулой (13) где Ьв -- суммарный момент всех активных сил относительно оси Азы вокруг которой совершается поворот на угол ву. Совершенно аналогично Яв = Ьв и 16 = Ь, где Ьв и Ь - суммарные, моменты активных сил относительно осей Ао' и АС К тем же выражениям для обобщенных сил можно прийти, если воспользоваться выражением для элементарной работы активных сил, приложенных к твердому телу ) (см.с.

30): (16) бА = К бгл -~- Ьлы дй бА=Хбтл+Убул+абел+ Ьв,бвб+ЬвбВ+Ьтйр. (17) Сопоставление выражений (17) и (15) дает нам выражения для обобщенных сил. Пусть теперь некоторое положение системы является положением равновесия. Согласно принципу виртуальных перемещений это возможно тогда и только тогда, когда бА = ~~ с6, бов = О. э=1 (18) Но приращения бо, независимых координат д, могут быть совершенно произвольными. Поэтому равенство (18) эквивалентно системе равенств Щ=О (з=1,...,н). (19) Таким образом, положение голономной системы лоллетсл положением равновесия а том и только а гпом случае, когда а этом полооюении все обобщенные силы равны нулю. Примеры. 8. В соответствии с равенствами (19) условия равновесия свободного твердого тела запишутся так; Х=У=г=о., Ьв =ба =Ь,=0 (20) (см.

предыдущий пример). Здесь Х, У, У -- проекции на оси координат главного вектора К внешних сил, действующих на тело, а Ьоп Ьв, ܄— Так как мы здесь имеем дело со склеровомвой системой, то вместо знака 6 можно писать знак ф и наоборот. Поэтому агл =- бгл и 6Ю = Ит = ф Ж, 6В = В ив и бв» = Р да Здесь К и Ьд главный вектор и главный момент системы сил относительно полюса А. Поскольку (см. формулу (4)) ав = авв, + ввв и'- ы„, где аве = гв, ыв = В, вв = ф,и проекции вектора Ьл на направления векторов вве, авв, ав равны соответственно Ьв„ Ьв, Ьг,из формулы (16)находим 44 Гл.

й Дифференциальные уравнения движения проекции главного момента Ьл этих сил на три некомпланарных направления. Поэтому скалярные равенства (20) эквивалентны двум векторным: Ьл =О. й 6. Уравнения Лагранжа второго рода в независимых координатах Приступая к выводу дифференциальных уравнений движения голономной системы в независимых координатах г11, ..., у„, мы будем исходить из общего уравнения динамики (Г, — т,ни) бг, = О. и=1 Вспомним полученное в предыдущем параграфе выражение для элементарной работы активных сил М п бА=~ г,вг =~~ сдвиг, (2) и=1 г=1 где г,)1=~~ г' (1=1г...,п).

(2) дЧг Совершенно аналогично можно представить элементарную работу сил инерции — т иг, (гг = 1, ..., Х): лг и бАд = — ~ ~т,иг бг, = — ~~г У,К„ (4) и=1 где по аналогии с выражением (3) лг дг, — гггигии дг1г 11г, дг М вЂ” ггги гй дуг д, дг, ддг. — пг,ги — ~~~ пг,г, — (1 = 1,..., и). (5) и=1 и=-1 Но скорость дг,, дг, д д1 в=- (6) Это необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела, которые уже были установлены иа с. ЗО. 16. Уравнения Лагранжа второго рода линейно зависит от дг (Й = 1,..., и).

Из этой формулы находим дг„дг (1=1,...,п; и=1,...,Х). дуг д; (7) С другой стороны, из того же равенства (6) получаем и=1 дг, М ьпевг ду, ы=1 дг, т,г,, дуг е( дТ дТ вЂ” — — — (1=1,..., п), (9) е1г дд; дц, где Т кинетическая энергия системы: И Т= — ~ т„г,. г=! (10) Общее уравнение динамики (1) нам дает (и) бА+бАг =О, или, в силу равенств (2) и (4), Я, — Я,) бц, = О (1 = 1, ..., п). (12) и=1 Так как д, независимые координаты и поэтому бц, совершенно произвольные приращения координат (1 = 1, ..., п), то равенство (12) может иметь место тогда и только тогда, когда все коэффициенты при бун в уравнении (12) равны нулю. Поэтому общее уравнение динамики (12) эквивалентно системе уравнений Уг=Яг (г=1,...,п), которые, согласно соотношениям (9), могут быть записаны в следую- щем виде: (13) — — — — (г=1, ..., п).

б дТ д'Т (14) 41 ду, Уравнения (14) носят название уравнений Лагранз со второго рода или уравнений Лагранжа в независимых координатах. Величины д; (1 = 1, ..., п) называются обобщенными скоростями. Скорости точек системы ч, = г, выражаются через обобщешгые скорости (а также через независимые координаты и время) с помощью дг " дгг, , д'г, 4 дг де+ = — (г=1,...,п; и= — 1,...,Х).

,, дугду, ду,д1 б1 ду, (8) Поэтому выражение (5) для Я, может быть записано и так: 46 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения формул (6). Величины у', (т = 1, ..., и) называются обобщенпмми ускорениями. В левые части уравнений Лагранжа (14) после выполнения операции фсМ входят время 1, обобщенные координаты ум обобщенные скорости ое и обобщенные ускорения д, (т = 1, ..., и). Обобщенные силы Щ (т = 1, ..., и), стоящие в правых частях уравнений Лагранжа, обычно задаются ') как функпии от 1, оы оь ()г =- 1, ..., и): 64, = Щ(1,дюдь) (т = 1,..., и). Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из и, обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с и неизвестными функциями д, от независимого переменного й Порядок этой системы равен 2и.

Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голопомной системы с и степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2и, так как в силу произвольности начальных значений величин дг и у, (т = 1, ..., и) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2и произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагра жа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок. В случае несвободной системы подлежат определению еще реакции В. (и = 1, ..., Х). Реакции не входят в уравнения Лагранжа. Это существенное преимущество уравнений Лагранжа. После того как уравнения Лагранжа проинтегрированы и найдены функции д,(4) 1т =.

= 1, ..., и), определяют (подстагтовкойт этих функций в формулы (2') на с. 88) г = г (1) и, следовательно, у =- г, щ —.— г и Р (1, г, г ) (и = 1, ..., Х). После этого неизвестные реакции определяются из формул К,=т,ту — Р, (и=1,...,Х). (16) В случае свободной системы материальных точек уравнения Лагранжа представляют собой компактную запись уравнений движения в произвольной системе координат. Примеры. 1. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и. В качестве независимой координаты берем угол поворота р.

Соответствующая обобщенная сила О (см. пример 6 на с. 42) равна вращающему моменту Ь . С другой стороны, Т = -' 1„ф~, где 1 — момент инерции тела относительно оси вра|цения. Уравнение Лагранжа Н дТ дТ вЂ” — — — =Я сЫ дф др после подстановки ОТ ОТ дф " ' др — — =0, д=1„ ~) См.формулы (3) и (6) этого параграфа, а также формулу ПО) па с,19 и формулу (2') ла е,38. 47 6 б.

Уравнения Лагранжа второго рода принимает вид Это дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. 2. Двойной математический маятник, движущийся в плоскости (рис. 24). Составим выражение для элементарной работы бА = тгд бег + гпгд бег, где 21 = 11 сов р1, гг = 11 сов 221 т 12 сов рг.