1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 4

Найти все базисы системы векторов: а) а~ = (1, 2, О, 0), ое = (1, 2, 3, 4), аз = (3, 6, О, 0); б) а1 = (4, -1, 3, -2), ае = (8, -2, 6, -4), аз = (3, -1, 4, -2), ав = (6, -2, 8, -4); в) а1 = (1, 2, 3, 4), ае = (2, 3, 4, 5), ав = (3, 4, 5, 6), ов — — (4,5,6, 7); г) а~ = (2, 1, — 3, Ц, аи = (2, 2, — 6, 2), ав = (6, 3, — 9, 3), а4 = (1, 1, 1, 1); д) а1 = (3, 2, 3), аз = (2, 3, 4, ), аз = (3, 2, 3), аа = (4, 3, 4), ав = (1, 1, 1). 6.12. Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить че- рез этот базис остальные векторы системы: а) о~ = (5, 2, -3, Ц, аз = (4, 1, -2, 3), ав = (1, 1, -1, -2), аа — — (3, 4, — 1, 2), ав = (7, — 6, — 7, 0); б) ов = (2, — 1, 3, 5), аи = (4, — 3, 1, 3), ав = (3, — 2, 3, 4), ав = (4, — 1, — 15, 17); в) ен = (1, 2, 3, — 4), аз = (2, 3, — 4, 1), аз = (2, — 5, 8, — 3), ав = (5, 26, — 9, — 12), ав = (3, — 4, 1, 2); г) а1 = (2, 3, -4,.

— 1), ав = (1, -2, 1, 3), аз = (5, -3, -1, 8), аа = (3, 8, -9, -5); д) ае — †(2, 2, 7, — 1), ат = (3, — 1, 2, 4), из = (1, 1, 3, Ц; е) а1 — †(3, 2, — 5, 4), пе — †(3, — 1, 3, — 3), ав —— (3, 5, — 13, 11); ж) а1 = (2, 1), ии = (3, 2), ав = (1, 1), а, = (2, 3): з) а1 = (2, 1, -3), аз = (3, 1, -5), аз = (4, 2, -1), аа = (1, О, -7); и) а1 = (2,3,5,— 4,Ц, аз = (1,— 1,2,3,5), ив = (3., 7,8, -11, -3), а4 = (1, -1, 1, -2,3); 6.11. В каком случае система вокторов обладает единственным базисом'? 26 Гл. П. Арифзсетрииесние нросслранствл и линейные уравнения к) ас = (2,-1,3,4,-1), аз = (1,2,-3,1,2), оз = (5, — 5,12,11,— 5), оз = (1,— 3,6,3,— 3): л) аз = (4, 3, -1, 1, -1), аз = (2, 1, -3, 2, -5), аз = (1, — 3, О, 1, — 2), п1 = (1, 5, 2, — 2, 6).

6.13. Пусть векторы аы аз,..., аь линейно независимы. Найти все базисы системы векторов Ь1 — аз аз Ьз = аз — анн Ьз = аз — аз, Ьь з =аз з — аю Ьь =аз — аг 6.14. Пусть дана система векторов а, = (ац, п,з,...,а,и) где 1 = 1,2,..., з; з < п. Доказать,что если )а «) ) ~ )оз ! для всякого у = 1,..., з, то данная система векторов линейно незави- сима.

6.15. Доказать, что если целочисленные векторы вы аз,..., аь Е Е Хи линейно зависимы над полем О, то найдутся такие целые числа Лы Лз, ..., Ль, взаимно простые в совокупности, что Лспз + Лзоз +... + Ляль = О. 6.16. Доказать,что если система целочисяенных векторов линейно независима над полем вычетов по модулю р для некоторого простого числа р, то данная система векторов линейно независима и над полем рациональных чисел.

6.17. Пусть система целочисленных векторов линейно независима над полем Я. Доказать, что найдется лишь конечное число (возможно, нуль) простых чисел р таких, что векторы данной системы линейно зависимы по модулю р. 6.18. Для данных систем целочисленных векторов указать все простые числа р, по модулю которых зти системы линейно зависимы; а) аз — †(О, 1, 1, 1), аз = (1, О, 1, 1), аз = (1, 1, О, 1), ав = (1,. 1, 1, 0); б) аз = (1, О, 1, 1), аз = (2, 3, 4, 3), аз = (1, 3, 1, 1).

~ 7. Рина матрицы 9 7. Ранг матрицы 7.1. Найти ранг следующих матрип с помощью окаймления миноров и элементарных преобразований; 8 2 2 — 1 а) 1 7 4 — 2 — 2 4 2 — 1 1 5; б) 4 1 7 Π— 7 1 3 4 5 2 5 3 9 — 7 г) в) 8 — 1 4 1 4 1 8 — 7 4 — 5 е) 1 1 2 — 1 3 2 9 8 — 5 — 8 ж) О О О 1 О О 1 1 О О 1 1 О О 1 О О О к) и) О О ... О О 1 О ...

О О О О ... 1 1 О О ... О 1 7.2. Найти ранг следующих натрии при различных значениях параметра Л: — 12 — 19 — Л вЂ” 24 — 6 4 — 5 2 7 2 2 4 3 2 3 О 4 12 — 12 1 1 О 1 О О О О О О 1 О 1 1 О 1 л) О О 1 Π— 5 — 3 — 3 — 1 1 — 5 2 3 2 — 1 1 2 — 1 1 — 7 3 5 лл - л) 1 7 7 9 4 2 — 1 — 3 — 1 1 3 5 8 — 4 5 5 1 — 3 — 5 О 7 — 5 1 4 3 — 1 3 2 77 32 6 5 3 32 14 3 2 1 6 3 1 О О 5 2 О 1 О 4 1 О О 1 1 1 О О О О 1 1 О О з) О О 1 1 О О О О 1 1 1 О О О 1 1 1 1 1 4 3 2 1 1 4 1 1 5 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 28 Гл.

11. Арифлсеп~ринесние нросспринсспвп и линейные уравнен л 3 4 2 2 3 17 7 1 1 Л вЂ” 1 2 в): г) 2 -1 Л 5 1 10 — 6 1 Л 1 1 1 1 Л 2 ... п — 1 1 2 Л ... и — 1 1 1 2 3 ... Л 1 2 2 2 ... 1 1 2 3 ... п 1 7.3. Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется при добавлении к ней любого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется при добавлении к А всех столбцов матрицы В. 7.4. Доказать, что ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой матрицы-сомножителя.

7.5. Доказать, что ранг матрицы (А~В), полученной приписыванием к матрице А матрицы В, не превосходит суммы рангов матриц А и В. 7.6. Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов этих матриц. 7.7. Доказать, что всякую матрицу ранга т можно представить в виде суммы г матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы меньшего числа таких матриц. 7.8. Доказать, что если ранг матрицы равен г, то минор, стоящий на пересечении любых в линейно независимых строк и линейно независимых столбцов, отличен от О. 7.9. Пусть А - квадратная матрица порядка п ) 1 и е се ранг.

Найти ранг присоединенной матрицы А = (А, ), где А; алгебраическое дополнение элемента а, матрицы .4. 1 — Л О О О 0 1 — Л 0 0 О О 2-Л 3 0 0 0 3 — Л 1 1 2 3 1 2 — Л- '2 3 2 3 1 5 2 3 1 9 — Лз — Л 1 2 3 1 1 — Л 3 2 1 2 3 — Л 1 1 3 2 1 — Л 1 1 Л Л' ... Л" 2 1 Л ... Л" ' з) 2 2 1 ... Л" г 7. Рина матрицы 7.10. Пусть А и В матрицы с вещественными элементами с одинаковым числом строк. Доказать, что г1 / =г(А)+г(В). гА В 1 7.11.

Пусть А и В квадратные матрицы одного порядка. Доказать,что С~В В„В:) =СЮ+'СР) г'А АВ 7.12. Доказать, что каждая матрица ранга 1 имеет вил Ьгс1 Ьгсг ... Ьгси ЬвСг ЬвСг ... ЬгСн Ьн,сг 6~все ... Ьтсн где В = (Ьи Ьа,..., Ь„в), С = (си сг,..., си). 7.13. Пусть Аи Аг, ..., Аь матрицы с одинаковым числом строк, С = (с;г) — невырожденная матрица порядка 6. Доказать, что ранг матрицы с смА~ сьаАг ... сыАь ~ сыАг сьгАг . сяьАа) равен сумме рангов матриц Аи Аг, ..., Ав. /А В'~ 7.14. Доказать, что прямоугольная матрица ~ (, где А невырожденная матрица порядка и, имеет ранг и в том и только том случае, когда Р = СА вВ: при этом в) = ф (в„в 'в).

7.15. Доказать, что каждую невырожденную матрицу с помощью злементарнык преобразований П типа со строками можно привести к виду 30 Гл. 11. Арифлтептричесние првстпранстпвп и линейные уравнен л О...ОО О 1 ... 0 0 Оо ...10 ОО...О4 7.16. Доказать, что матрица с определителем, равным 1, является произведением элементарных матриц вида Е+ ЛЕ.т. 1 ф 11 7.17. Доказать, что если строки (столбцы) матрицы А линейно зависимы, то с помощью элементарных преобразований П типа со строками и столбцами матрицу А можно привести к виду (в„т) где Е„единичная матрица порядка г.

7.18. Пусть А и В матрицы размеров т х п, п х 1 и рангов г(А1, г1В1 соответственно. Доказать, что ранг матрицы АВ не меньше, чем г(А) + г(В) — п. 7.19. Доказать, что всякую матрицу элементарными преобразованиями над строками можно привести к виду 0 ... 0 1 * ... * 0 в .. * О в ... в 0 0 ... 0 0 0 ... 0 1 * ... * 0 * ... е 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 1 * ... е 0 0 0 ...

0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 .. 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 .. 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 и такой вид определен однозначно. 8 8. Системы линейных уравнений 8.1. Найти общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений, используя метод Гаусса: '( эехт + Зхз + 5хз + 12хл = 10., 2хт + 2тс'т + Зхз + 5хл = 4, хе + 7хз+9хз+ 4тл = 2; З 8. Системы линейных уриенений 31 12хг + 9хг + Зхз + 10хл = 13, < г) 4хг+Зхг+хз+2хл =3, 8хг + бхг + 2хз + 5хл = 7; е) 2хг + 5хг — 8хз = 8, 4х~ + Зхг — 9хз — — 9, ж) 2х| + Зхг — 5хз — — 7, хг + 8хг — 7хз = 12; бхг + 4хг + 5хз + 2хл + Зхз = 1, Зхг + 2хг — 2хз + хл = — 7, з) 9хг + бх. + хз + Зхл + 2хз = 2, Зхг + 2хг + 4хз + хл + 2хз = 3. 8.2.

Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра Л; б) ( ( — 9гн + бхг + 7хз + 10хл = 3, — бхг+4хг+2хз+Зхл =2, -Зхг + 2хг — 11хз — 15хл = 1; -9хг + 10хг + Зхз + 7хл = 7, -4хг + 7хг + хз + Зхл = 5, 7хг + 5хг — 4хз — бхл = 3;. — бхг+9хг+Зхз+2хл = 4, — 2хг+Зхг+5хз+4хл = 2, -4хг + бхг + 4хз + Зхл = 3; 8хг + бтг + 5тз + 2тл — — 21, Зх~ + Зхг + 2хз + тл = 10, 4х1+2хг+ Зхз+хе = 8, Зхг+Зхг+хз+хл = 15, 7хг + 4хг + 5хз + 2тл = 18; 18хг + бхг + Зхз + 2хл = 5, — 12хг — Зхг — Зхз + Зхл = — 6, 4хг + 5хг+ 2хз + Зтл = 3, Лхг+4хг+хз+4хл =2; 32 Гл. П.

Арифметричесние првстрансепва и линепнме уравнения -бхт + 8х — 5хз — хл = 9, -2хз + 4хг + 7хз + Зхл = 1, -Зхз + 5хг + 4хз + 2ха = 3, — Зх~ + 7хг -~- 17хз + 7хл — — Л; б) 2хз + 5хг+ хз+ Зха = 2, 4хз +бхг+ Зхз+ 5ха = 4, в) 4хз + 14тг + тз + 7тл = 4, 2хз — Зхг + Зхз + Лхл = 7; 2хз — хг + Зхз + 4х4 = 5, г) 4хз — 2хг + 5хз + бх4 = 7, бхз — Зхг + 7хз + 8хл = 9, Лхз — 4хг + 9хз + 10хв = 11; 2х1+ Зхг + хе + 2хл = 3, д) 4Х1 + бхг + Зхз + 4хл = 5, бхз+9х +5хз+бтл = 7, 8хз + 12хг + 7хз + Лхл = 9 Лх ~ + т2 + хз + Х4 = 1, х1+Лхг+хз+та = 1, ж) 21 + хг + Лхз + хл = 1,. хе+хг+хз+Лхл = 1; (1+Л)хз +хг+хз =1; з) х, +(1+Л)хг+ ., =Л, х1 + хг + (1 + Л)хз = Лг; (1+Л), + +х =Лг+ЗЛ, и) Х3 + (1+ л)Х2+Хз = Лз + ЗЛ2, х +х +(1+Л). =Л +ЗЛ.