1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 5

8.3. Найти все векторы пространства 2", переходящие в вектор 5 6 К при линейном отображении й" — з К, заданном матрицей А: — 5 — 9 7 9 8 12 3 2 а) Л= 3 4 8 1 1 — 3 б)А= 2 — 6 3 — 9 — 3 — 3 — 5 Л,+х +х Хз+ лх2+ Хз = 1, хз+хг+Лхз = 1; =Я З 8. Системы линейных ураененнй 1 — 2 — 1 — 2 3 — 6 — 2 — 4 3 — 6 — 4 — 8 2 — 4 — 1 — 1 — 13 Ь= — 2 в) А= 1 9 4 — 5 3 2 2 5 2 3 2 2 1 7 6 — 1 2 2 3 4 г) А= 1 1 3 — 2 2 2 4 — 1 3 3 5 — 2 2 2 8 — 3 3 3 е)А= 1 — 2 — 3 7, Ь= — 5 21 рб Ь= 8 15 18 8.4. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы уравнений: хь + хз — 2хз + 2х4 = О, Зхь + 5хз + бхз — 4х4 = О, 4хь + 5хз — 2хз + Зх4 = О, Зхь + 8хз + 24хз — 19х4 = О; б) а) 3 АЗК Кострикии 2 1 3 4 2 2 8 6 5 3 3 2 з)А= 4 2 3 3 5 1 7 4 5 — 2 1 — 4 3 — 4 1 -3 3 2 1 1 1 2 4 5 ь= 11 6 хь — хз = О, хз — х4 = О, — хь + хз — хз — — О, — хь+х4 — хе =О, — хе+ха = О, — хе+хе =О; 34 Гл.

11. Арифлсеп1ричесние нросспранс1пеп и линейные уравненил х1+хз =О, т1 — хе+хе =О, х1+хз+хз = 0 хз + хз + хл — — О, хз — ха+хе = О, х1 — ха+ха — хв = О, г) в) Хп — 2+ Сп — 1+ Сп — О~ х„1+ х„= О. 8.5. Найти какой-нибудь базис ядра линейного отображения, заданного матрицей: 3 5 3 2 1 3 5 — 4 2 а) 2 4 — 6 3;. б) 7 9 5 11 17 — 8 4 4 8 3 2 0 5 7 6 — 2 2 8 9 9 — 3 4 7 1 6 — 2 6 4 — 1 3 — 1 4 3 4 1 2 3 5 7 1 3 4 4 5 2 1 5 7 10 1 6 5 8.6.

С помощью правила Крамера решить систему уравнений: < 2х1+ 5хз = 1, б) Зхс+ 7хз —— 2; и 2х1 — хз = 1, а) х1+ 16хз — — 17; Т1 СОВ О + Хз В1П О = СОВ Д, с в) — х1 вша+ ха сова = в1п,8 2х1+ Зхз+ 52:з = 10 Зхс+ 7хз+ 4хз = 3, х1+ 2хз+ 2хз = 3 х1 — хз + хз = 2 8.7. Найти многочлен Д(х) второй степени с вощественными коэффициентами, для которого Д1) = 8, у( — Ц = 2, Д(2) = 14.

8.8. Найти многочлен 7'(х) третьей степени, для которого Д( — 2) = 1, Д( — 1) = 3, Д(1) = 13, Д(2) = 33. '< хз — хз+хе = О, х1 — ха+ха = 0; 6 9 2 — 4 1 1 5 7 4 2 5 3 5 6 — 2 7 4 2 3 — 1 4 2 7 9 — 3 5 6 5 9 — 3 1 6 ;11+х2+хе =6, — х1+ хе+ хз = 0 '( 2х1 + хз + хз = 3 х1+2хз+хе =0 х1+ ха + 2хз = 0 у 8. Системы линейных уравнений 8.9. Найти многочлсн 1(х) четвертой степени, для которого с"( — 3) = — 77, с"( — 2) = — 13., 7'( — 1) = 1, 7(1) = — 1, 7(2) = — 17.

8.10. Решить систему сравнении: 2х+ у — е: — 1, х + 2у + е: — 2, (спос1 5):, х+д — е = — 1 Зх+ 2у+ 5е = 1, 2х+ 5у+ Зе: — 1, (шос1 17). бх+ 3у+ 2е = 4 8.11. Доказать, что если определитель квадратной матрицы (а,.) порядка п с целыми коэффипиентамн взаимно прост с натуральным числом т, то система сравнений (ассхс + ася+... + пса) а Ьс (шос1 ш), 1 = 1,2,...,п, имеет единственное решение по модулю сп. 8.12. Пусть А целочисленная матрица и д наименьший иэ модулой ее элементов.

Доказать, что если при целочисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов матрицы А число д не уменьшается, то ас делит все элементы этой матрицы А. 8.13. Доказать, что с помощью элементарных преобразований строк и столбцов над кольцом л. любую целочисленную матрицу мож- с'А 0'с но привести к виду ( ), где А=с11а8(с1с, .;с1с) и с1с~с1се-ы (1 = 1,2,...,г — 1). 8.14. Доказать, что если квадратная целочисленная система линейных уравнений является определенной по модулю любого простого числа р, то она является определенной и над кольцом целых чисел. 8.15.

Выяснить, будет ли квадратная целочисленная система линейных уравнений, совместная по модулю любого простого числа р, совместной над кольцом целых чисел. 8.16. Доказать, что следующие системы уравнений имеют единственное решение по модулю всех простых чисел, кроме конечного их числа.

Решить эти системы по модулю остальных простых чисе.т: Зб Гл. П. Арифиетричеение нроеелранетел и линейные уриененил б) хз + хз + хз + хл = 1, хь + хз — хз — хл в) хз + хз + хз — хл х1 — хз — хз + хл = О. 8.17. Доказать, что всякую систему линейных уравнений с вещественными коэффициентами можно привести к ступенчатому виду, используя лишь элементарные преобразования 11 типа. 8.18. Доказать, что при целочисленных элементарных преобразованиях строк и столбцов целочисленной матрицы наибольший общий делитель ее миноров фиксированного порядка Й не меняется. 8.19. Доказать, что если целочисленная матрица с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов приве- (А 01 дена к видУ ~ /, где А = с)1а81аы дз,..., Д„), д, Р'= О и 6,'Д.ьы то числа А, Дз, ..., И„определены однозначно (с точностью до знака).

8.20. Два набора неизвестных называются нелочиеленно энеиеаленганьзмщ если они связаны соотношением где Г целочисленная матрица с определителем, равным по модулю единице. Доказать, что система уравнений и Е аох = 6„1 = 1, 2,..., т., з=1 где аио о, целые числа, эквивалентна над кояьцом целых чисел системе уравнений вида енуз = с,, 1= 1,2,...,т, причем набор неизвестных (уы..., у„) цешчисленно эквивалентен на- бору ~хм..., хн). х1+2хз+2хз = 2, < а) 2х1+хе — 2хз = 1, 2х1 — 2хз + хз = 1; х1+хз+хз = 1, хз+хз+ха = 1, хз+хз+хе =1, хе+хе+ха = 1; у 8.

Системы линейных уравнений 37 8.22. Доказать, что целочисленная система уравнений имеет целочис.ленное решение в том и только том случае, когда она имеет решение по любому модулю р. 8.23. Обосновать следующий практический способ нахождения всех целочисленных решений системы уравнений а,.и =Ьо 1=1,2,...,т, Е 7=1 7А Ь\ с целыми коэффициентами. Построим матрицу ~ ( размера и ( п -Ь ш) х (и+ 1) . Затем, используя лишь целочисленные элементарные преобразования первых т строк и п столбцов, приведем эту матрицу (Р С'1 к виду , ,где о ... о о ...

о Од,...00...0 с~ С =:, ! с1е1Г( = 1, В = Сае 0 0 ... д„О ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 е1,~А+, А у'=О, .... е1е Ф О Тогда система совместна, если д,(с, при е = 1,...,г, сь=О при Ь>г, а общее решение дается формулой с1 Я~ с„7'Н„ Уе-е1 И= уп где уе ее, у, з, ..., Уа - — любые целые числа. 8.21.

Доказать, что целочисленная система уравнений имеет целочисленное решение в том только том случае, когда для любого натурального числа й наибольшие обшие делители всех миноров порядка й в матрипе системы и в ее расширенной матрице совпадают. 38 Гл. П. Арифметричесние пространства и линтгньт уравнения 8.24.

Найти все целочисленныо решения следукгщих систем уравнений: а) 2хг+ Зхг+4хз = 5 8.25. Пусть А и  †. матрицы одинаковых размеров, причем однородные системы линейных уравнений с матрицами А и В эквивалентны. Доказать, что от А к В можно перейти элементарными преобразованиями строк. 8.26. Пусть задана система линейных комплексных уравнений АХ = Ь с квадратной невырожденной матрицей А. Предположим, что сумма модулей элементов каждой строки матрицы Е + А меньше 1. Пусть Хе произвольный столбец и индуктивно определим Х 44 — — (А+ Е)Хт — Ь.

Тогда последовательность столбцов Х„с сходится к решению уравнения АХ = Ь. б) ( 2хс + Зхг — 11хг — 15хл = 1, 4хс — бхг + 2хз + Зхл = 2, 2хс — Зхг+ 5хз + 7хл = 1. Глава П1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 3 9. Определители второго и третьего порядков 9.1. Вычислить определители: аЬ ас сов о Ь!1 са ' япо — в!по сов о вша яп3 1о8ва 1 г\ сова сов!3 ' д) 1 1о8, Ь сова+ !вша 1 е) ж) 1 сова — !вша 9.2. Вычислить определители: 0 2 2 и) 2 0 2 2 2 0 б) е) 1 0 1+! 0 1 г 1 — ! — ! 1 сова сов 8 ж) сов 7 в = — — +!— и) с 4, 4 в = сов — и+ вяп — !г). 3 3 ) в- к) 3 5 3 ' 1 2 3 5 1 4 3 2 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 вша вш 1Ф вш у 1 в в в вв 1 1 1 е 1 вв — 1 5 4 3 — 2 0 — 1 3 6 а Ь с Ь с а с а Ь а+ Ь! — с+А 0 а.

0 Ь с д 0 е О с+Й а — Ь! Гл. 111. Определиепелп 40 3 10. Выражение определителя. Индуктивное определение 10.1. Выяснить, какие из следующих произведений входят в развернутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками: а) а,заггадгадеиддаш; б) адгагдаегаддигз, в) азеаггадеаггагзадеаег. 10.2. Выбрать значения 1, 1, й так, чтобы произведение аюажи, аздаезазе входило в развернутое выражение определителя шестого порядка со знаком минус. 10.3. В развернутом выражении определителя найти члены, содержащие х~ и хд. 10.4.

Пользуясь определением, вычислить следующие определители: а11 О и21 и22 аз1 азг а 3 0 5 О Ь 0 2 1 2 с 3 О 0 0 в) апи а ег апз .. апп О О О О О аг„ агп б) ап1 ... ап п 2 Егп,п — 1 ипп а,1 1 аш агз а15 а15 агг игд иге и25 изг 0 0 0 О О О адг 0 О О д) аг1 аз1 а51 5151 х 1 2 3 х х 1 2 1 2 х 3 х 1 2 2х 0 ... О 0 ...