1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (Кострикин 2001 Сборник задач по алгебреu), страница 8

Пусть А --. матрица размера и х ш, причем т ф и. Доказать, что для любого натурального числа й существует такая матрица В размера и х к, что матричное уравнение АХ = В не имеет единственного решения. 18.7. Доказать, что система уравнений а, Х. = Вь г' = 1, 2,..., и, 1=1 где Ху и В;, -- матрицы порядка р х д, имеет единственное решение тогда и только тогда, когда самее(аб) ф О. 18.8. С помощью присоединенной матрицы найти обратную к матрице: О 1 ' ) 3 2 ' ) 3 г) , ; д) О 3 О ; е) О 1 О ж) О 1 2; з) 2 7 О; и) О 1 О к) 3 1 1 ; л) 18.9.

Найти с помощью элементарных преобразований обратную к матрице: 1 О О О О О 1 О О О 1 О 1 О О О О О О 1 ' ) О О О 1 О 1 О О О 1 О О 2 ΠΠΠΠΠΠ— 1 О О О 1 О О 2 О О 2 О О ' ) 1 О О О О О 1 О О 3 О О 4 18. Матричные уравнения. Обратная литарика 63 1 0 0 ... 0 0 1 1 0 ...

0 0 0 1 1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 1 1 -(. '" ".) и) 3 9 4 ; к) 1 2 3 4 2 3 1 2 1 0 — 2 — 6 18.10. Найти обратную к квадратной матрице; В С ' б) О С где А, С --. невырожденные матрицы. 18.11. Найти обратнук> к матрице: 1 2 0 0 2 3 1 2 2 3 0 0 1 1 2 0 1 — 1 1 3 ' ) 0 0 1 — 1 0 1 0 2 0 0 1 — 2 18.12. Пусть .4, В, С, Р— невырожденные матрицы. Доказать, что с А В'~ / (А — ВР 1С) ' (С вЂ” РВ 'А) С Р/ )е( — АС 'Р) ' (Р— С.4 'В)' ') ' 18.13. Какие значения может принимать определитель а) ортогональной матрицы; б) унитарной матрицы? 18.14.

Чему равен определитель целочисленной матрицы .4, если матрица А ~ также целочисленнану 18.15. Пусть А - квадратная матрица порядка н, элементы которой многочлены от переменной 1, и еЫ А ненулевой многочлен. Доказать, что существует единственная матрица В, элементы кото- Гл. Лл. Митричы рой — многочлены от 1, такая, что АВ = ВА = (с1е1 А)Е. Найти В, если: 1 /1 — ~ 1+й ~1+Ге 1з /' 18.16. Доказать, что в кольце матриц над полем: а) обратимая матрица не является делителем нуля; б) любая матрица либо обратима, либо является левым и правым делите чем нуля.

18.17. Доказать, что если матрица Е+АВ обратима, то матрица Е + ВА также обратима. 18.18. Пусть А и В -- матрипы размеров п х га и га х н, причем АВ и ВА единичные матрицы размеров ц и ш. Доказать, что т = и. 18.19. Пусть А — матрица размера т х п, имеющая ранг ьн Доказать, что существует такая матрица Х размера и х цц что АХ единичная матрица размера т. 18.20.

Как изменится матрица А ', если в А: а) переставить ~-ю и утк> строки; б) к г-й строке прибавить утю, умноженную на с; в) умножиты-ю строку на число с ф 0; г) преобразования а) в) совершить со столбцами? 18.21. Доказать, что (АВ) " = В зА 18.22. Пусть Х присоединенная матрица (см. 16.4) для квадратной матрицы Х.

Доказать, что АВ = ВА, А ' = (А) ', ('А) = '(А). 18.23. Пусть В и С -- строки длины и, причем С ~В ф — 1 и Е--- единичная матрица размера п. Доказать, что матрица Е+ 'ВС обратима. 18.24. Пусть В, С строки длины п,причем С 'В = — 1, и Е единичная матрица размера п. Доказать, что ранг матрицы Е + 'ВС равен в — 1. 1 19. Матрицьл специального вида 8 19.

Матрицы специального вида 19.1. Доказать, что Ен — Е. = [ЕО,Е,) при г, ф у. 19.2. 11редставить в виде произведения элементарных матриц матрицу: 0 1 1 1 2 б) 1 0 1 1 1 0 19.3. Используя свойства матрицы; 1 2 3 4 1 0 1 3 5 7 0 2 1 2 4 8 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2 3 4 0 2 0 0 1 3 5 7 0 0 3 0 1 2 4 8 0 0 0 4 1 1 1 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 3 5 7 0 1 0 0 1 2 4 8 2 0 1 0 1 1 1 1 — 3 0 0 1 1 2 3 4 1 3 5 7 1 2 4 8 1 1 1 1 19.4.

Доказать следующие свойства операции транспонирования: а) '(А+ В) = 'А+ "В; б) '(ЛА) = Л"А; в) е(.4В) еВ е 4. г) ('А) — ь = е(А-ь). д) е(еА) = .4 19.5. Доказать, что всякая матрица может быть единственным образом представлена в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц. 19.6. Доказать,что: а) если матрицы А и В ортогональны, то матрицы А 1 и АВ также ортогональны; б) если комплексные матрицы А и В у.янтарны, то матрицы А и АВ также унитарны. 5 Л.И. Кострикин 1 О 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 — 3 0 0 1 злегиентарных матриц, перемножить 0 0 0 0 3 0 0 4 19.7. Доказать, что: а) произведение двух симмотрических или кососиммотрических матриц является симметрической матрипей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны; б) произведение симметрической и кососимметрической матриц является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны. 19.8.

При каком условии произведение двух эрмитовых или косоэрмитовых матриц является эрмитовой матрицей? 19.9. Доказать, что для любой квадратной комплексной матрицы Х существует матрица У такая, что ХУХ = Л, УХУ = У, и матрицы ЛУ и УХ эрмитовы. 19.10. Доказать, что матрица, обратная к симметрической или кососимметрической, является симметрической или кососимметрической. 19.11. Доказать, что если матрицы А и В обе симметрические или кососимметрические, то их коммутатор [А, В~ кососимметрическая матрица. 19.12. Верно ли, что всякая кососимметрическая матрица является суммой коммутаторов кососимметрических матриц? 19.13.

Найти все симметрические ортогональные и кососимметрические ортогональные матрицы порядка 2. 19.14. Найти все нижние нильтреугольные матрицы, коммутирующие со всеми нижними нильтреугольными матрицами того же порядка. 19.15. Доказать, что сумма двух коммутирующих нильпотентных матриц является нильпотентной матрицей. Верно ли это у тверждение, если матрицы не коммутируют? 19.16. Доказать, что если матрицы А, В и ~А, В~ нильпотентные и матрицы А и В коммутируют с матрицей ~А, В~, то матрица А+ В нильпотентна. 19.17.

Доказать, что если матрица .4 порядка 2 нильпотентна, то Ав =О. 19.18. Доказать, что всякая нижнял нильтрсугольная матрица нильпотентна. б 79. Матпдицьл специального вида 67 19.19. Доказать, что если матрица А нильпотентна, то матрицы Š— А и Е+ А обратимы. 19.20. Доказать, что если матрица А нильпотентна и многочлен 7"ф имеет свободный член, отличный от О, то матрица 7'(А) обратима. 19.21. Решить уравнение АХ+ Х+А = О, где А нильпотентная матрица. 19.22. Доказать, что нильпотентная матрица порядка 2 имеет нулевой след. 19.23. Доказать, что произведение двух коммутирук>ших периодических матриц является периодической матрицей. Верно ли ото утверждоние, если матрицы не коммутирук>т? 19.24.

Доказать, что матрица САС л является нильпотентной или периодической тогда и только тогда, когда матрица А является нильпотентной или периодической. 19.25. Пусть и . —. перестановка на множестве (1, 2,..., и) и А = (б, ~ ~) (б, символ Кронекера). Доказать, что: а) матрица А, периодическая: б) для любых перестановок о. и т А , = А„А,; в) А, может быть представлена в виде произведения не более чем и — 1 злементарных матриц. 19.26. Доказать, что произведение верхнетреугольных матриц является верхнетреутольной матрицей. 19.27. Доказать, что матрица, обратная к унитреугольной, является унитреугольной. 19.28. Пусть А, В, С, Р квадратные комплексные матрицы разллера п, причем СР = РС.

Доказать, что бес ~ О а==» е1ес(АР— ВС) ~ О. Глава $$ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА а) (2 + $)(3 — $) + (2 + 3$)(3+ 4$): б) (2 + $) (3 + 7$) — (1 + 2$) (5 + 3$); в) (4 + $,)(5 + 3$) — (3 + $)(3 — $); г) (5+ $)(7 — 6$) 3+$ (5+$)(3+5$) (1+3$,')(8 — $) 2$ ' (2+ $)$ ж); з) (2 + $)(4 + $) (3 — $)(1 — 4$) 1+$ 2 — $ и) (2+$)$+(2 — $)$; к) (3+$)з — (3 — $)$; Д+ )' / 1 3.')' л) , и) ' . $' $1 $)$' ~ 2 2 ) 20.2. Вычислить $$$, $~$, $ $$, $", где и целое число. 20.3. Доказать равенства: а) $1 + )зи 2$п 6 У.

6) $1 + )4п $1)2$п 20.4. Решить систему. уравнении: (1+$)з$+ (1 — $)я = 1+$, а) (1 — $)я~ + (1+ $)зз — — 1+ 3$; б) з $и$ + (1+ $)зз = 2+ 2$, 2$з~ + (3+ 2$)$$ = 5+ 3$; (1 — $)я$ — 3$яз = — $, в) 2$$ — (3+ 3$)зз = 3 — $.'; 3 20. Комплексные числа в алгебраической форме 20.1. Вычислить выражения: й лу. Алгебраическая форели < 2г1 — (2+1)гг = — й г) д) (4 — 21)гг — 5гг = — 1 — 21: х+1у — 2г = 10, х — у+ 2ех = 20, гх -~- 31у — (1 + 1) г = 30. 20.5. Найти вещественные числа х и у, удовлетворяющие уравнению: а) (2+1)х+ (1+ 21)у = 1 — 40 б) (3+ 21)х+ (1+31)у = 4 — 9~:.

20.6. Доказать, что: а) комплексное число г является вещественным тогда и только тогда, когда г = ь5 б) комплексное число г является чисто мнимым тогда и только тогда, когда и = — г. 20.8. Найти все комплексные числа, сопряженные: а) своему квадрату; б) своему кубу. 20.9. Доказать, что если из данных комплексных чисел ..., г„при применении конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления получается число г, то из чисел ы гю... ..., га при применении тех же операций получается число г.

20.10. Доказать,что определитель а га Ь 'з хг с где гм гг, гз комплексные и а, Ь, с вещественные числа, является чисто мнимым числом. 20.11. Решить уравнения: а) -г=е; б) ге =3 — 41; в) гв = 5 — 120 г) г~ — (1+1)г+ 6+ 31' = 0; д) га — бах + 4+ 101 = 0; е) г" + (21 — 7)г + 13 — 1 = О. 20.7. Доказать,что: а) произведение двух комплексных чисел является вещественным тогда и только тогда, когда одно из них отличается от сопряженного к другому вещественным множителем; б) сумма и произведение двух комплексных чисел являются вещественными тогда и только тогда, когда данные числа или сопряжены, или оба вещественны.

1'л. 1с. Комплексные числа 70 8 21. Комплексные числа в тригонометрической форме 21.1. Найти тригонометрическую форму числа; а)5; б)2; в)-2; г) — 34; д) 1+4; е) 1 — 4; ж) 1+еч/3; з) — 1+еъ'3; и) -1 — 24/3: к) 1 — еи73; л) 4/3 + 2; м) — з/3 + 2; ,/3 н) -ъ'3 — 4; о) 4/3 — 4; п) 1+ 2 —; р) 2+ 043+ 22 3 ' с) 1 — 12+ уЗ)4; т) сова — 4 вша; у) айна+ в сова; 1+ 418а ф); х) 1+ совеа+4вшВ2, 02 Е ] — я,.г]; 1 — ес8а сов 02 + 1 вш 02 и) сов 40 -Ь 4 вш 21.2. Вычислить выражения; а) 11+ 4)4ооо. б) 11+ 24/3)2во, в) (ч/3+ 4)во. 24 1'1 1 — 2 ч/3 г) 1+ — + —; д) (2 — 4/3+ 2)42; е) 2 2/' ~ ") в ч/3 + 2 ~ (†1 + 44/3)20 (†1 — гч/3)ав 11 4)20 11 + 4)20 21.3.

Решить уравнения: а) ]з]+ 2 = 8+ 44; б) ]з] — 2 = 8+ 124. 21.4. Доказать следующие свойства модуля комплексных чисел: а) ]21 ~ 22] ( ]е4] + ]яз]; б) ]]з4] — ]22]] ( ]2~ т. зз]; в) ]з4+ в2] = ]з1]+]зв] тогда и только тогда., когда векторы 21 и 2 имеют одинаковые направления; г) ]з2 + 22] = ]]24] — ]е ]] тогда и только тогда, когда векторы 22 и зз имеют противоположные направления. 21.5.