1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Доказать, что если многочлен 1(х) степени и не имеет кратных корней, то [1'(х)]и — 1(х)уо(х) не имеет корней кратности выше и — 1. 26.13. Рассмотрим рекуррентное соотношение и(п+й) =аои(п)+а1и(п+1)+...+аи 1и(п+Л вЂ” 1), В~О, ао ФО. Положим ((х) = хи — аь ~хи ' —... — ао, Доказать, что: а) функпия и(п) = и"а", г > О, а ~ О, является решением рекуррентного соотношения тогда и только тогда, когда а - корень у(х) кратности, не меньшей г+ 1; б) если ам..., а,„- все корни у(х) кратности им..., л„„, то произвольное решение и(п) рекуррснтного соотношения имеет вид и(п) = ~ ~д;,(п)а";, где д;(х) многочлен степени не выше л; — 1 (1 = 1,..., т).
26.14. Пусть 1(х) = ао+а1х+... +аьхи. Доказать, что ненулевое число я является корнем кратности не гиеньше г+ 1 тогда и только тогда, когда ао + а1я + аили + ... + аоья + ... + аяяь = О, аья + 2аияи + ... + та,ия'и + ... + йаьяь = О, а1 я+ 2иаияи+... + тза л' +... + йиаяяь = О, аг я + 2еаязи + + гпеа ям + + иеаияй О 1'л.
1гй Мноеоноенм 86 3 27. Разложение на не~риводимые множители над К и С 27.1. Разложить на линейные множители над полем комплексных чисел многочлены: а) хг — бхг+11х — 6; б) х" +4; в) хо+27; г) хг" +х" +1; д) соя(пагссовх):, е) яшц2п+Цагся1пх). 27.2. Разложить на линейные и квадратные множители над полем вещественных чисел многочлены: а) те+27. 6) ха+4хз+4хг+1 в) хе — ахг+1 ~а~ (2; г) хг" +хо+1. д) х — х +1; е) хг +х +х +1. 27.3. Построить многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий: а) двойной корень 1, простые корни 2, 3 и 1+ г; б) двойной корены, простой корень -1 — г.
27.4. Построить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющии: а) двойной корень 1, простые корни 2, 3 и 1+ г; б) двойной корены,простой корень -1 — г. 27.5. Доказать., что многочлен хз~ + хз"ег + хготг делится на х" +х+1.
27.6. При каких т, п, р многочлсн хг — хз"е' + хгоег делится на хг — х+17 27.7. При каких т многочлен (х + Цм — х"' — 1 делится на (.г+ + цгг 27.8. Найти наибольший общий делитель многочленов: а) (х — цз(х + 2)г(х — 3)(х + 4) и 1х — цг(х + 2)1х + 5). б) (х — Ц1хг — 1Иха — 1Кх' — Ц и (х+ Ц(хг+ Ц(хз+ Ц(х'+ Ц; в) х™ — 1 и х" — 1; г) х"'+1 и хо+1.
27.9. Доказать, что если 11х") делится на х — 1, то 11х") делится на хн у ЯВ. Мноеочлены над нолем рациональных чисел 87 27.10. Доказать, что если о у': 0 и 1(х) делится на (х — о)", то у(хо) делится на (хп оа)ь 27 11. Если Р(х) = (ь(хз) + х 5(хз) делится на хе+ т+ 1, то 11 (х) и )а(х) делятся на х — 1. 27.12. Пусть значения многочлена 1(х) неотрицательны при всех х 6 К. Доказать, что 1(х) = )ь(х)а +1а(х)а для некоторых )ь(х), уз(х) 6 К(х).
27.13. Пусть У, д взаимно простые комплексные многочлены. Тогда максимум из степеней 1, д меньше числа различных корней многочлена 1 д(1 + д). 27.14. Пусть У, д, Ь, попарно взаимно простые комплексные многочлены, причем ун + д" = Ь". Доказать, что и < 2. 8 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями 28.1. Доказать, что если несократимая рациональная дробь р/д является корнем многочлена 1(х) = оохн + о~х" ' +... + он ьх+ и„ с целыми коэффициентами, то; а) раин; б) д~ао, .в) (р — пгд)Щт) при любом т 6 л. 28.2. Найти все рациональные корни многочленов: а) хз — бха -Ь 15х — 14; 6) хл — 2хз — 8хз + 13х — 24; в) бх' + 19хз — 7хз — 26х + 12; г) 24ха 42хз 77хз+ 56х+ 60 д) 24хь + 10хл хз 19ха 5х + 6.
е) 10хл — 13хз + 15ха — 18х — 24; ж) 4хл — 7ха — 5х — 1; з) 2хз + Зха + бх — 4. 28.3. Доказать, что многочлен 1(х) с целыми коэффициентами не имеет целых корней, если 1(0), 1(1) нечетные числа. 28.4. Доказать, что многочлен, неприводимый над полем рациональных чисел, не может иметь кратных комплексных корней. Рм 17. Многочленм 28.5.
1г1ногочлен с целыми коэффициентами называется примигаивным, осли его коэффициенты в совокупности просты. Доказать, что произведение примитивных многочленов является примитивным многочленом. 28.6. Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени с целыми коэффициентами. 28.7. Пусть многочлен 1" (х) с целыми коэффициентами принимает значениЯ х1 пРи ДвУх целых значениЯх хе, хз. Доказать, что 1(х) не имеет рациональных корней, если ~х1 — хг ~ > 2.
Если же ~х1 — хг ~ ( 2, то рациональным корнем может быть только (х1 + хз)/2. 28.8. (Признак непрнводимости Рйзенщтвйна.) Пусть 1(х) многочлен с целыми коэффициентами и существует такое простое число р, что: а) сгарший коэффициент 1(:е) не делится на р; б) все остальные коэффициенты 1(х) делятся на р, в) свободный член з" (х) не делится на рг. Доказать, что многочлен у(х) неприводим над полем рациональных чисел.
28.9. Доказать неприводимость над полем рациональных чисел многочленов: а) хл — 8хз + 12хз — бз + 2 б) хв — 12хз + 36х — 12; в) х1ве — 9. г) Ф„(х) = х' е + х" 'г +... + х+ 1 (р простое число); д) (х — а ~ ) (х — аг)... (х — а„) — 1, где аы аг,..., ан - различные целые числа; е) (х — ае) ... (х — ан)я+1, где еаыаг.....,а„— различные целые числа.
28.10. Доказать, что многочлен хн — х — 1 при и > 2 неприводим над 111 28.11. Доказать, что многочлен х" +х+1 неприводим над Я, если и ф 2 (шее( 3). Доказать, что при и = 2 (епое1 3) многочлен х" +х+ 1 делится над К на хз + х + 1. 1 ЯВ. Мноеочлены над нолем рациональных чисел 28.12. Пусть 1(х) = хохх х1. Доказать, что либо 1(х) неприводим над Я, либо корнем 1(х) является некоторой комплексный корень из 1.
2813. Пусть 1(х) = х" х х"' х хо х 1. Доказать, что либо 1 (х) не- приводим над Я, либо корнем 1(х) является некоторый комплексный корень из 1. 28.14. Доказать, что всякий многочлен положительной степени с целыми коэффициентами имеет корень в поле Х„для бесконечного множества простых чисел р. 28.18. Доказать, что если гд поле из д элементов, то 28.16. Пусть à — конечное поле.
Доказать, что для всякого отображения Ь: г'о — ь г' существует многочлен 1 из кольца У[хм... ...,хн], для которого ((ам...,а„) = Ь(аы...,по) для любых ам... ...,а„й г'. 28.17. Пусть 1(х) из 28.10 или 28.11, причем 1(х) имеет д корней, являющихся комплексными корнями из 1. Доказать, что в Ях] имеет место разложение 1(х) = д(х)6(х), где корнями д(х) являются все корни из 1, а 6(х) - неприводимый над Я многочлен.
28.18. Доказать, что многочлен 1" (х) = хн + ах х 1, а Е Х, неприводим над Я, если ]а] > 3. 28.19. Доказать, что если многочлен 1(х) = х" х 2х х 1 приводим над Я, то 1(х) = д(х)(х х 1), где д(х) неприводим над Я. 28.20. Доказатхч что многочлен 1(х) = х" -Ь дх" + т Е Х(х], 1 < < р < и, неприводим над Ц, если ]д] > 1 + ]г]" ' и ]г] не является ь1-й степенью для любого неединичного делителя д числа п. 28.21. Многочлен )'(х) = х" + он 1ха ' -~-...
+ оо Е Х]х] не- приводим над Я, если ]о„. 1] > 1+]по]+ .. +]аьи а]. 28.22. Найти: а) все неприводимые многочлены степени < 4 над полем Хз, б) все унитарные неприводимые многочлены степени 2 над по- лем Хз, в) число неприводимых многочленов степени 5 над полем Хз, 1'л. 91. Мноеачлеям 9О г) число неприводимых унитарных многочленов степеней 3 и 4 над полем Хз. 28.23. Найти число неприводимых унитарных многочленов степеней 2 и 3 над полем из 9 элементов.
28.24. Доказать,. что многочлен Фл(х) при ад, деляшем р — 1, разлагается на линейные множители над Хр. 28.25. ПУсть 1(х) Е Хр[х). Доказать, что многочлены 1(х), 1 (х + 1),..., 1'(х+ р — 1) либо попарно различны, либо все совпадают. 28.26. Доказать, что при а Е Х' многочлен хи — х — а неприводим р «дХ. 28.27. Пусть Ь ненулевой элемент Хр.
Доказать, что хР— х — Ь неприводим над Рр тогда и только тогда, когда и не делится на р. 28.28. Доказать, что при а ф 1 многочлен хд — ах — Ь имеет в Рд корень. 28.29. Доказатьч что хэ" + х" + 1 неприводим над Хэ тогда и только тогда, когда п = 3 для некоторого й > О. 28.30. Доказать, что хд" + х" + 1 неприводим над Хэ тогда и только тогда, когда и = Зяб'" для некоторых целых й,т > О. 28.31. Найти все целые числа а, для которых все корни много- члена хд — 14хз + 61хэ + 84х + а целые. 28.32. Пусть 1 число различных нсприводимых многочленов степени т со старшим коэффициентом 1 над конечным полем из 9 элементов. Доказать, что в кольце степенных рядов ®з)) 28.33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
