1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 14
Текст из файла (страница 14)
А можно превратить в векторное пространство над полем Х тогда и только тогда, когда рх = О длл 106 Гь 'е1!. Векторные проетранетпва любого х к А; г) коммутативную группу А можно превратить в векторное пространство над полем Я тогда и только тогда, когда в ней нет элементов конечного порядка (кроме нуля) и для любого натурального числа и и любого а Е .4 уравнение пх = а имеет решение в группе А.
34.8. Пусть Е поле, Е его подполе. а) Доказать, что Е является векторным пространством над полем Е. б) Если Е конечно, то ~Е~ = ~Е~п, где и размерность Е как векторного пространства над Е. в) Если Р конечно, то ~Е~ = р'", где р характеристика Р. г) Пайти базис и размерность поля С над полем 2. д) Пусть и,„..., ш1 различные натуральные числа, каждое из которых не делится на квадрат простого числа. Доказать, что числа 1, /т„..., ет„линейно независимы в пространстве Й над Я. е) Пусть гм..., г„различные рациональные числа из интервала (О, 1). Доказать, что в пространстве К над полем Я числа 2" ....., 2е" независимы.
з) Пусть о — комплексный корень многочлена р Е Щх), неприводимого над ф Найти размерность над Я пространства Яо), состоящего из чисел вида Да) У б ЯИ. 34.9. Пусть М множество, состоящее из п элементов. На множестве его подмножеств 2м опредсяим операции сложения и умно- женил на элементы поля ля по правилу, как в задаче 1.2: ОХ = И а) Доказать, что относительно этих операций множество 2м является векторным пространством над полем Ею и найти его базис и размерность. б) Пусть Хм ., ., Хь - подмножества в ЛХ, причем ни одно из них не содержится в объединении остальных.
Доказать, что Хм..., Хя линейно независимая система. 34.10. Пусть векторы ем..., е„и х заданы своими координатами в некотором базисе: а) е1 — — (1,1,1), ез — — (1,1,2), ез — — (1,2,3), х = (6,9,14); б) е~ = (2, 1, -3), ез = (3, 2, -5), еэ = (1, -1, 1), х = (6, 2, -7); з" аб. 77одпросппранатаа 107 в) с1 = (1, 2, -1, -2), ез = (2, 3, О, -1), ез = (1, 2, 1, 4), еа = (1, 3, -1, 0), и = (7, 14, -1, 2).
Доказать, что (ем..., еп) также базис пространства, и найти координаты вектора т, в этом базисе. 34.11. Доказать,что каждая из двух заданных систем векторов Я и У является базисом. Найти матрицу перехода от Я к Я'. а) Я = ((1,2,1), (2,3,3), (3,8,2)), Я' = ((3, 5, 8), (5, 14, 13), (1, 9, 2) ); б) 5= «1,1,1,», (1,2,1,1)., (1,1,2,1,), (1,3,2,3)), Я' = ((1, О, 3, 3), ( — 2, — 3, — 5, — 4), (2, 2, 5, 4), ( — 2, — 3, — 4, — 4)).
34.12. Доказать, что в пространстве 11(л)„многопланов степени < и с вещественными коэффициентами системы (1, к,..., и") и (10в — и, (л — а),..., (л — а)"), а Е й, являются базисами, и найти координаты многочлена 7"(л) = ае + +а1х+, ..+а„х" в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму. 34.13. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса; в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке'? Доказать, что системы векторов линейно независимы, и их до базиса пространства строк: (2, 2, 7.
— 1), аз = (3, -1, 2, 4), аз = (1, 1, 3, 1); (2,3, — 4, — 1), аз = (1, — 2,1,.3); (4, 3., — 1., 1, 1), аз = (2, 1, — 3, 2, — 5), аз = (1, -3,0, 1, -2), а4 = (1,5,2, -2,6); (2,3,5, — 4,1), аз = (1, — 1,2,3,5). 34.14. дополнить а)аз= б) а1 = в) аз = г) а1 = 3 35. Подпространства 35.1. Выяснить, является ли подпространством соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов: а) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке О; 108 Гь Уе11. Векторные нроетранетпва б) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на данной прямой; в) векторы плоскости с началом О, концы которых не лежат на данной прямой; г) векторы координатной плоскости, концы которых лежат в первой четверти; д) векторы пространства К", координаты которых — пелые чиста; е) векторы арифметического пространства Е", Р поле, яваяющиеся решениями данной системы линейных у.равнений; ж) векторы линейного пространства, являющиеся линейными комбинациями данных векторов ам..., ам з) ограниченные последовательности комплексных чисел; и) последовательности вещественных чисел, имеющие предал; к) последовательности вещественных чисел, имеющие предел а; л) последовательности и(п) элементов поля Р, удовлетворяющие рекуррентному соотношению и(п + к) = 1(п) + пои(п) + в,и(п + 1) +...
+ смв, и(п + Й вЂ” 1), где (1(п)) --- фиксированная последовательность элементов поля Е, к — фиксированное натуральное число, а, Е г"; м) многочлены четной степени с коэффипиентами из поля Р; н) многочлены с коэффициентами из поля Е, не содержащие четных степеней переменной л: о) множества из пространства 2м (сьь 4.9), состоящие из четного числа элементов; п) множества из 2м, состоящие из нечетного числа элементов. 35.2. Доказать, что следующие совокупности векторов пространства гт, Е поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности: а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты; б) векторы, у которых координаты с четными номерами равны 0; в) векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой; г) векторы вида (ец ~3,о, 3,...); д) векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.
й,И. Подпросп>ранстаа 109 35.3. Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка и над полем г' образуют подпространства в пространстве матриц М„(г ), найти их базисы и размерности: а) все матрицы: б) симметрические матрипы; в) кососимметрические матрицы; г) невырожденные матрицы; д) вырожденные матрицы; е) матрицы со следом, равным нулю; ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами); з) матрицы Х, удовлетворяк>щие условии> А,Х + ХВ; = О, где (.4о В,) — заданный набор матриц.
35А. Пусть Ко пространство всех функций, определенных на множестве К и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следук>щих совокупностей функций у(х) Е К' составляют подпространство: а) функции, принимающие значение а в данной точке а Е Я: б) функции, принимающие значение и во всех точках некоторого подмножества Т С Я; в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества л'; г) функции, имеющие предел и при т, -> со (при л' = К); д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при Я = К). 35.5. Пусть К вЂ” пространство бесконечных последовательностей с элементами иэ поля Ь.
Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составлял>т в Л '~ подпространство: а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля; б) последовательности. в которых лишь конечное число элементов равно нулю, в) последовательности, в которых все элементы отличны от 1. 35.6. Доказать, что в пространствах К ' и С следующие совокупности образуют подпространства: 110 Гл. Ъ'П.
Векторные проетуанетпва а) последовательности, удовлетворяющие условию Коши: для любого е > 0 найдется число де Е И такое, что при любых и, й > ге выполняется неравенство ~тп — иь~ < -.; б) последовательности, удовлетворяющие условию Гильберща ряд , ~и,~з сходится; в) последовательности полиномиального роста, т.е. ре„~ < Си", где С, й натуральные числа, зависящие от последовательности; г) последовательности экспоненциального роста, т.е. ~х„~ ( Се', где С положительное веществонное чисто, зависящее от последовательности. 35.7.
Выяснить, какие иэ следующих совокупностей многочленов образуют подпространства в пространстве К~т]п (сьь 34.12) и найти их базисы и размерности; а) многочлены, имеющие данный корень о е К; б) многочлены, имеющие данный корень о Е С 1 К; в) многочлены, имеющие данные корни ое,,,., оь Е К; г) многочлены, имеющие данный простой корень а Е К. 35.8. Локазатеь что если подпространство векторного пространства К~х)п (см. 34.12) для любого й = О, 1,...,т содержит хотя бы один многочлен степени й и не содержит многочленов степени > ш, то оно совпадает с К[т) 35.9.
Пусть Щач,...,л„,) пространство многочленов от переменных тв,..., т . Найти: а) размерность подпространсгва всех однородных многочленов степени й; б) размерность его подпространства, состоящего из всех много- членов степени < Й. 35.10. Пусть 1' и-мерное векторное пространство над полем Г, состоящим из Ч элементов. Найти: а) число векторов в пространстве Ъ'; б) число базисов пространства 1', в) число невырожденных матриц порядка и над полем Г; г) число вырожденных матриц порядка п над полем Р; д) число Й-мерных подпространств пространства 1'; е) число решений уравнения АХ = О, где А прямоугольная матрица ранга г, Х столбец неизвестных длины и,. у дб.
Лодпроотрапотаа 35.11. Найти базис и размерность линейной оболочки следуя>щей системы векторов: а) и1 = (1, О, О, — 1), иа = (2, 1, 1, 0), из = (1, 1, 1, 1), аа = (1,2,3,4), ив = (0,1,2,3): б) а1 = (1, 1, 1, 1, 0), ия = (1, 1, -1, -1, — 1), из = (2, 2, О, О, -1), иа = (1,1,5,5,2), ио = (1,-1,-1,0,0). 35.12. Пусть Е1 и Лз подпространства конечномерного векторного пространства И, Доказать,что: а) если Ь1 С Ая, то йш Л1 < йш Ья, причем равенство имеет место только при Ь| = Ая; б) если йш(Ти + Ея) = 1+ йш(Е1 й Ля), то сумма Ь1 + Хя равна одному из этих подпространств, а пересечение Е1 С1 Лз другому;.
в) если бппЕ1+ йшЕя > с!1п1И, то Ь1 П Ья ф О. 35.13. Пусть Г,. Г, И' - подпространства векторного пространства. а) Можно ли утверждать, что Г й (И + И') = (П П И) + (Г П И')? б) Доказать, что предыдущее равенство верно, если И С П. в) Доказать, что (ЕУ + И ) и (И' + 1:) й ()' + Г) = [(И' + 1') с1 Ц + [(1' + Г) и И']. г) Доказать, что с1пп[(Г + И) с1 И ) + йш(Г й Г) = йш[(И + И ) с1 Ц + йш(И Г1 И ). д) Доказать, что (Гг 1')+(ИпИ)+(И г Ц с(П+И)с (И+И:) ~(И +1) и разность размерностей этик подпространств является четным числом. 35.14. Найти размерности суммы и пересечения линейных оболочек систем векторов пространства й~: а) о = ((1, 2, О, 1), (1, 1, 1, 0)), Т = ((1,0,1,0),(1,3,0.,Ц); б) и = К1, 1., 1, 1),(1., -1., 1, -1), (1, 3, 1, 3)), Т = ((1, 2. О, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, .1) ); в) и = ((2, -1, О, -2),(3, -2, 1, 0),(1, -1, 1, -1)), Т = ((3, -1, -1, 0), (О, -1, 2, 3), (5, -2, -1, 0)) .
112 Гл. Ъ'11. Векторные нроппранетва 35.15. Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек (пы аг, аз) и (Ьы Ьг, Ьз): а) пз — — (1,2, Ц, Ь~ — — (1,2,2), аг = (1,1 — Ц, Ьг = (2,3, — Ц оз = (1,.3,3), Ьз = (1,1,-3); б) ог =(-1,6,4,7,-2), Ьг =(1,1,2,1,-Ц, ог = (-2, 3,. О, 5, -2); Ьг = (О; -2; 0; -1; -5), аз = (-3,6;5 6 -5) Ьз = (2;0,2,1,-3); в) иг — — (1,1,0,0,— Ц, Ьг = (1,0,1,0,Ц, ог = (0,1,1,0,Ц, Ьг = (0,2,1,1,0), пз = (О;0,1,1;Ц, Ьз =(1,2,1,2;-Ц; г) ог = (1,2,1,0), Ьг = (2,-1,0,Ц, аг = (-1,1,1, Ц, Ьг = (1, -1,3,7); д) еб = (1,2,-1,-2), Ьг = (2,5,-6,-5), аг = (3, 1, 1, Ц, Ьг = ( — 1, 2, — 7, — 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
