1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 17
Текст из файла (страница 17)
37.33. Привести к каноническому виду кососимметрические би- линейные функции: а) хлд — хкдз — хгрл + 2егуз + хздл — 2хздг', б) 2гпуг + хлуз — 2хгул + Зхгуз — хзул — Зхзуг', в) хч Уг + хе Уз — хедл + 2хгрз — 2хзУг + Зхздл — хлде — Зхлуз', г) хл уг + хг уз + ил уз — хгул хгдз + хзуг + хздл хлул хлуз. 37.34.
Привести к каноническому виду косоэрмитову функцию в комплексном пространстве: а) хлуг — лхлдз — лхгуз — хзуг + лхлуз + лхгуз + йхлу, — лх,у,; б) 11 + г)хлуг + 2хлдз + гх~ул — 11 — л)хгуз — (1 — г)хлуз -~- + гхлул + й1+ з)хгуз + 2гхгуг — 2хзуз. 37.35. Доказать, что функция 6(ф, д) = 1 1д'Нх на пространстуо ве многочленов степени < 5, обращающихся в нуль в точках 0 и 1, является кососилзметрической,и найти для нее канонический базис.
37.36. Доказать, что определитель целочисленной кососимметрической матрицы является квадратом целого числа. 37.37. Пусть 1" - кососимметрическая билинейная функпия на пространстве й', Ие надпространство в й", йд~ его ортогональное дополнение относительно 1. Доказать, что ейт И'— — с11щ(йй' П йй'л) - четное число. у 37. Общие билинейные и иолуторалинейнеле функции 125 37.38.
Доказать, что для любой косоэрмитовой комплексной матрицы А существует такал невырождснная матрица С, что СА'С вЂ”. диагональная матрица, причем по главной диагонали стоят чисто мнимые комплексные числа. 37.39. Пусть 7" кососимметрическая билинейная функпия на пространстве Г, Р ' ее ядро, И' максимальное вполне изотропное подпространство. Доказать равенство (11щ Г + с11ш Г Йщрф = 2 37.40.
Пусть 7" невырожденная кососимметрическая билинейная функция на а-хщрном пространстве Г, С = (9,.) кососимметрическая матрица порядка и. Доказать, что существуют векторы сы...,и„с Г такие, что бь = 11ьби ). 37.41. Пусть 7'1х,у) эрмитова функция в комплексном пространстве, ц(х) = 1(х,х). Доказать равенство 4??х.,у) = Ях+ р) — е??х — у) + 1е??х+?9) — 1д(х — ?у). 37.42. Доказать, что вещественная и мнимая части эрмитовой функции на комплексном векторном пространстве Г являются соответственно симметрической и кососимметрической функциями на Г, рассматриваемом как 2п-мерное вещественное векторное пространство. 37.43. Доказать, что если 7" - положительно определенная эрмитова форма на комплексном пространстве, то ф?х,РУ?,,9) < ф?,х,х) ф?9,9) 37.44. Пусть А линейный оператор, 7" положительно определенная эрмитова функция на комплексном векторном пространстве 1'.
Доказать, что если 7" (А®, х) = 0 для любого х б Г, то А нулевой оператор. Верно ли это утверждение для симметрических билинейных функций на вещественном пространстве и? 37.45. Для каких значений п невырожденная билинейная фу нкция на и-мерном векторном пространстве может обладать: а) вполне изотропным подпространством размерности и — 1; б) вполне изотропным подпространством размерности п — 27 Гл. У1П.
Билинейни~е и неадратинные функции 126 Вывости формулу для максимально возможной размерности вполне изотропного подпространства. 37.46. Пусть А = (аи ) Е Ма(Щ симметрическая матрица и и дзХ 1(7)= ~ а; На=-1 дифференциальный оператор в К[хм..., л„]. Доказать, что; а) если С: =:, СЕС1и®, . замена переменных, то 7(7)= ~Ь,, *'др,др1 ' где (Ь„.) = СА'С; б) существует такая невырожденная линейная замена переменных в Щты...,т,], что относительно новых переменных уы...,рв д27 д222 дз л д2у 2 ''' 2 2 ''' 2' ду,' дц' „дц'„, др,, ' где 0 ( й ( е ( п. 3 38.
Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции В этом параграфе эрмитовы функции рассматриваются в комплексных пространствах. 38.1. Какие из билинейных функций задачи 37.1 являются симметрическими? 38.2. а) Какие из полуторалинейных функций задачи 37.5 являются эрмитовыми? б) Является ли функция 7'(т, у) из 37.18, б) эрмитовой? в) Является ли функция 7'(и, и) из 37.20, б) эрмитовой? 38.3. Не производя вычислений, выяснить, эквивалентны ли билинейные функции З дд.
Симметри ~вские функции 127 (з(х,д) = хзуз + 2хздз + Зхзуз + 4хзуз + 5хзуз + бхзуз + 7хзуз+ + 8хзуз + 10хзуз, Л(х,у) = 2хздз — хздз + хздз — хздз + 5хзуз. 38.4. Не производя вычислений, .выяснить, для какой иэ билинейных функций 7' существует базис, в котором матрица этой функции диагональна; а) — х,у, — 2х~уз — 2хзу, — Зтздз + хзу, — 4хзуз,. б) — хздз — хзуз + Зхзуз + 5хзуз + 5хздз — хзуз. 38.5. Доказать, что для ортогональных дополнений к пространствам относительно невырожденной симметричной (эрмитовой) функции справедливы равенства: а) (ст ) =77; б) ((7~ -Ь Г ) х = Гх й Нзз-; в) (77, П 77з)-' = 77зх + Нз . 38.6. Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке ((ы (з) относительно билинейной функции с матрицей Р, если; 38.7.
Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке (ем ее) относительно эрмитовой функции с матрицей С, если: 1 з 1 — 1 а)С= — 1 0 — 2 1,1+1 — 2 — 2 0 — 2+з — з б) С= — 2 — 1 2 — 1+1 1 — 1 — з — 1 ез = (г,1, — 1), ез = (1 — 2з,— з,З); ез = ( — з+ 1,2.,0), ез = (-1 + Зг, — Зз, 2). 38.8. Методом Якоби найти канонический вид симметрических билинейных функций: а) 2хздз — хпдз +зцдз хздз + хзд~ + Зхздз~ б) 2х~ дз + Зх~ уз + 2хзуз — хзуз + Зхзу~ — тздз + тзуз.
а) Г= — 1 2 — 1 б)Г= 2 5 — 1 2 0 -3, 7~ = (1,2 3), (з = (4 5,6); — 3 7 2 5 2 8, (з — — ( — 3, — 15,21); (з = (2,10, — 14). 8 29 Гл. 1 Ш. Билинейне1е и неадаатинные функции 128 38.9. Методом Якоби выяснить эквивалентность билинейных функций с матрицами 2 0 — 1, 3 1 1 а) над полем вещественных чисел: б) над полем рациональных чисел.
38.10. Какие из симметрических билинейных функций задач 37.1 и 37.5 являются положительно определенными? 38.11. При каких значениях Л следующие квадратичные функции являются положительно определенными: а) 5х21 + Х2 2т Лхз з+ 4хзхз — 2хзхз — 2хзхз', б) 2х", + хз + Зхз + 2Лх1хз + 2хзхз; в) х1 + ха + 5 хе + 2Лх1 хе — 2хзхз + 4хз хз, г) хз + 4хз + хз ч- 2ЛХ1хз + 10хзхз + бхзхз,. Д) Х1х1 + зх1х2 — 1х2х1 + Лх2х2,' е) 2х1х1 — (1 — 1)х1хз — (1+1)хзхз+2Лхзхз+2Лхзхз+хзхз+5хзхз? 38.12. Доказать, что для любой положительно определенной симметрической билинейной (эрмитовой) функции 1 выполнено неравенство причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда от, = )д15 где о, ц -- неотрицательные вещественные числа, не равные нулю одновременно.
38.13. Не применяя критерия Сильвестра, доказать,что для пои ложительной определенности квадратичной функции ~ оз.хзх ну=1 условие а„> 0 (1 = 1,..., п) является необходимым, но не достаточным. 38.14. При каких значениях Л являются отрицательно определенными квадратичные функции: а) — хз + Лхз — хз + 4х1 хз + Зхзхз', б) Лхз — 2х.,' — Зхз + 2хзхз — 2хзхз + 2хзхз,' в) ЛХ1 211 + Зхзха — 1х1 хз + зх1 хз ~ З 38. Симггетрииеекие функции 129 г) 4хгхг — 2хгхг — гсЛ + 1)хгхг — гсЛ вЂ” 1)хгхг2 38.15. Найти симметрическую билинейную (эрмитову) функцию, ассоциированную с квадратичной функцией; а) хга и- 2хахг 4- 2хг — бхгхз + 4хгхз хзг; б) хахг + хахз + хгхз' в) хах1 + гхгхг — ахгхг + 2х Хг,' Р) г15 — '1)хг хг + г16 + г)хахг + хгхг.
38.16. Найти симметрическую билинейную функцию, ассоциированную с квадратичной функцией д(:е) = Дха х), где: а) 11хг У) = 2хгУ1 — Зхгдг — 4ха Уз + хзУ1 — 5УЗУз + хзрз,' б) Дх, У) = — хадг + хгУ1 — 2хгУЗ + ЗХЗУз — хзУ1 + 2хзУз. 38.17. Эквивалентны ли над полек| вещественных чисел квадратичные функции: а) хгг — 2хгхг + 2хзг+ 4хгхз + 5хз ги хаг — 4хгхг+ 2хгхз+ 4хг+ хзг; б) 2хг + 9х~г + Зтз г+ 8хг хг — 4хахз — 10хгхз и 2х- '+ Зхг г+ бх.- '— 4х,хг — 4хгхз + 8х Узу 38.18. Найти нормальный вид квадратичных функций: а) хг + хг + Зхг + 4хехг + 2хгхз + 2хгхз, б) х', + 2хг + х-,' + 2гахг + 4хахз + 2хгхз, 'г в) х1 — Зхз — 2хгхг + 2хгхз — бхгхз,' Р) Х1ХЗ + Х1ХЗ + Х1У4 + ХЗХЗ + ХЗХ4 + УЗХ41 Д) У1т1 ахгхг +ах!тг + 2УЗУЗ', е) (1 — г)х1УЗ+ (1+г)хахг+(1 — 24)хахз+ (1+24)хгхз+х Уз+хгхз,' ж) ~ ~ага Х,Х, РДЕ НЕ ВСЕ ЧИСЛа а„...
а ап РаВНЫ 0; г,г=1 п з)~х,+ ~ хх", а=1 1<а<1<и и) ~~~ у аз:1 ' 1<1<1<и п — 1 К) ~п У1У14.1г' а.=1 ) Е(*,— )', а=1 З га.И. Кострнкнн Гл. РПБ Билинейньн и квадуаеаинные функции 130 м) ~~~ )г — 1(хех1.
1<~<в<в, 38.19. Эквивалентны ли над полем комплексных чисел квадра- тичные функции: а) х~ — 2х~ха + 2х~ хе — 2хухв + х~ ~+ 2хяхв — 4хяхл + хя — 2хл и х, + ха ха + хвхл, я б) х + 4х, + хв + 4хехя — 2х~хе и хл+ 2х~~ — ха ~+ 4хехэ — 2хехв — 4хэхв". 38.20. Пусть д -- отображение вещественного векторного пространства 1' в поле К, для которого существуют такие квадратичные функции а, Ь и билинейная функция с, что д(Лх -е ру) = Л а(х) + Лрс(х, у) + еетЬ(у) для любых Л, р Е К и х, у Е й'. Доказать, что 9 квадратичная функци.я.
38.21. Пусть фы..., ф„.нв линейные функции. Доказать, что положительный индекс инерции функции Ю = ~Л(х)~я+" + ~у.(х)~' — ~ф.-н(х)~' — ". — ~уе+, ( 'Иа не превосходит г, а отрицательный индекс не превосходит в. 38.22. Найти положительный и отрицательный индексы инерции: а) квадратичной функции д(х) = 1гхз на пространстве М„Щ; б) квадратичной функции д(х) = 1г(хх) на пространстве Мн(С). 38.23. Пусть 1 невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве 1е размерности ) 3. Доказать, что если функция 1 не являетсл нулевой на двумерном подпространстве П, то существует такое трехмерное подпространство И' З П, на котором ограничение функции 1 невырождено. 38.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
