1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 21
Текст из файла (страница 21)
42.11. Пусть А нормированная алгебра над полным нормированным полем К. Доказать, что если х Е А, то существует предел р(х) = 11ш [[х" [[ У". 42.12. Пусть х — элемент банаховой алгебры А над полным нормированным полем К. Доказать, что радиус сходимости ряда 1пх" Е. А[[о)) равен р(х) ' (см. задачу 42.11). пве 42.13.
Пусть х — элемент банаховой алгебры А над полным нормированным полем К. Спектром 8р(х) называется множество всех таких Л е К, что элемент х — Л необратим в А. Доказать, что: а) радиус наименьшего круга в К с центром в нуле, содержащего 8р(х), равен р(х); б) множество Яр(х) компактно в К. 42.14. Пусть А е М„(С) и Лв,..., Ла все собственные значения матрицы А. Доказать, что впах [Л,[ = р(А) ( [[А[[, 1<~(п где [[А[[ произвольная норма в алгебре М„(С), индуцированная в силу 42.5, б) некоторой нормой в С". 42.15.
Пусть х элемент банаховой алгебры А над полным нормированном полем К и 1 (1) е К[[1)). Доказать, что если р(х) меньше радиуса сходимости ((1), то ряд у(х) сходится. 42.16. Пусть х — элемент банаховой алгебры .4 над полным нормированным полем К, у - обратимый элемент А и Щ Е К[[1И. Доказать,что ряд у(х) сходится тогда и только тогда, когда сходится 1(уху в), причем )(уху в) = у)(х)у 154 Гль 1Х. Линейнь~е онериторы 42.23. Привести пример такой неотрицательной 2 х 2-матрицы, не являющейся положительной, что А~ является положительной матрицей.
42.24. Пусть неотринательная матрица А имеет положительный собственный вектор. Доказать, что матрица А подобна неотрицательной матрице, у которой суммы элементов каждой строки одинаковы. 42.25. Пусть А, В -- положительные матрицы, причем матрица А — В также положительна. Доказать, что р(А) > р(В). 42.26. Пусть А .
— невырожденная неотрицательная матрица, причем и обратная матрипа А " также неотрицательна. Доказать, что А = РР,где Р диагональнаянеотрицательная обратимая матрица, Р - -перестановочная матрица. 42.27. Пусть,4 неотрицательная матрица, х такой ненулевой комплексный вектор, что Ах — ах неотрицательный вектор для некоторого вещественного чиела а.
Доказать.,что р(А) > а. 42.28. Пусть А неотрицательная матрица, причем '.4 имеет положительный собственный вектор. Доказать, что если Ах — р(А)х-- неотрицательный вектор для некоторого ненулевого вектора х, то Ах = р(А)х. 42.29.
Пусть А . - неотрицательная матрица, причем матрица Аь положительна для некоторого натурального числа Й. Доказать, что: а) А имеет положительный собственный вектор; б) р(А) †собственн значение А кратности 1. 42.30. Пусть неотрицательная матрица А имеет собственный вектор х = (хы..., хн), где хы,,,, х„> О, х,з 1 =... = хп = О. Доказать,что тогда существует такал перестановочнан матрица Р,что Р АР = ) (, где В е М„(Щ, .Р е Мп еЩ, причем В имеет положительный собственный вектор.
42.31. Пусть А . неотрицательная матрица. Доказать, что существует положительная матрица В, псрсстановочная с .4, в том и только том случае, если существуют положительныо собственные векторы у матриц А и 'А. 42.32. Пусть А неотрицательная трехдиагональная матрица. Доказать, что все собственные значения А вещественны. я ВВ.
Нораснрованные пространства 155 42.33. Пусть А — неотрицательная матрица. Доканать, что р(Е + А) = 1+ р(А). 42.34. Для неотрицательных матриц А найти неотрицательные собственные векторы л и р(А): 1 2 ' ) 5 2 1 4 8 3 2 3 1 в) О 2 6; г) О 2 О 5 1 О О О 1 О 4 Глава Х МЕТРИ'ВЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 3 43. Геометрия метрических пространств 43.1. Какие из векторных пространств с билинейными формами из задачи 37.1 являются метрическими? 43.2. Доказать, что вещественная часть 7"(х,р) и мнимая часть д(х, д) эрмитовои функции на комплексном векторном пространстве 1Я инвариантны относительно умножения на г, т.е. для любых векторов х,р б 1х ~(гх.,гр) = ((х,р), р(1х,гр) = р(х,д).
43.3. Доказать, что метрическое векторное пространство является прямой суммой подпространства 7 и его ортогонального дополнения ь~ тогда и только тогда, когда скалярное произведение на Ь невырождено и что в этом случае скалярное произведение на Л также невырождено. 43.4.
В пространстве Мя(С) с эрмитовым скалярным произведением (Х,У) = 1г(Х'У) найти ортогональное дополнение к подпространству: а) матриц с нулевым следом; б) эрмитовых матриц; в) косоэрмитовых матриц; г) верхних треутольных матриц. 43.5. Показать, что эрмитово и евклидово пространства лвляются нормированными. 1 оЗ. Геояеесприя метрических пространств 157 43.6.
Какие из нормирований пространств К", Сп из задачи 42.1 индуцированы евклидовой или эрмитовой метрикой? 43.7. Дополнить до ортогонального базиса систему векторов евклидова и эрмитова пространства: а) И1, — 2, 2, — 3), (2, — 3, 2, 4)); б) Н1,1, 1,2), (1,2,3,-3)); д) ((1, 1 — 1, 2), ( — 2, — 1 + 31, .3 — 1) ); е) ((-г, 2, -4+1), (4 — е, -1,1)). 43.8.
Найти ортогональну ю проекцию вектора л евклидова (эрмитова) пространства на линейную оболочку ортонормированной системы векторов (ем..., ея). 43.9. Доказать, что в любых двух подпространствах евклидова (эрмитова) пространства можно выбрать ортонормированные базисы (ем...,ея) и (~м..., й) таким образом, чтобы (е„у ) = 0 при г ф- у' и (соус) > О.
43.10. Пусть (ем...,ея) и (~м..., й) ортонормированные базисы подпространств Е и ЛХ свктидова (эрмитова) пространства, Л = ((ео ~,)) — матрица порядка й х 1. Доказать, что все характеристические числа матрицы '.4 А принадлежат отрезку ~0,1] и не зависят от выбора базисов в подпространствах Ь и М. 43.11. Доказать., что всякая вещественная симметрическая матрица ранга < п с неотрицательными (соответственно положительными) главными минорами является матрицей Грама некоторой системы (соответственно линейно независимой системы) векторов п-мерного евклидова пространства. Доказать аналогичное утверждение для эрмитовой матрицы и эрмитова пространства. 43.12. Доказать, что сумма квадратов длин проекций векторов любого ортонормированного базиса евклидова (эрмитова) пространства на Й-мерное подпространство равна Й.
43.13. Пусть С матрица скалярного произведения в базисе (сч,..., е„) евклидова пространства 1. Найти матрицу перехода к сопряженному базису (~м..., уп) и матрицу скалярного произведения Гп. Х. Метрические векторные пространстпва 158 в этом базисе. 43.14. Пусть Я - матрица перехода от базиса е к базису е'. Найти матрипу перехода от базиса е', сопряженного к е, к базису 1ч, сопряженному к Г: а) в евклидовом пространстве; б) в эрмитовом пространстве. 43.15. С полющьизпропесса ортогонализации построить ортогональный базис линейной оболочки системы векторов евклидова (эрмитова) пространства: а) ((1, 2, 2, — 1),(1, 1, — 5, 3), (3, 2, 8, — 7)); б) Н1, 1, -1, -2), (5, 8, -2, -3), (3, 9, 3, 8)); в) ((2, 1, 3, -1),(7, 4, 3, -3), (1, 1, -6, О), (5, 7, 7, 8)); г) Я2, 1, — з), (1 — г,2,0), ( — 1,0,1 — 1)); д) ((0,1 — 1,2), ( — й 2+ Зз,1),(0,0,21)).
43.16. Найти базис ортогонального дополнения линейной оболочки системы векторов евклидова (эрмитова) пространства: а) Я1, О, '2, Ц, (2, 1, 2, 3), (О. 1, — 2, 1) ); б) «1,1,1,Ц,(-1,1,-1,1),(2,0,2,0)); в) ЦО, 1+ 21, -1), (1, -1,2 — 1)). 43.17. Доказать, что системы линейных уравнений, задающих линейное подпространство в Кп и его ортогональное дополнение, связаны следующим образом; коэффициенты линейно независимой системы, задающей одно из этих подпространств, являются координатами векторов базиса другого подпространства. 43.18. Найти уравнения, задающие ортогональное дополненио к подпространству, заданному системой уравнений: '( 2хз + ха +Зхз — хв = О., Зхз + 2хз — 2хв = О, Зхз + ха +4хз — ха = 0; 2хз — Зхз + 4хз б) Зхз — х + 11хз 4хз + хз + 18хз в) х1 + (1 з)хз — 1х1+ 4хз = О.
— Зхв — — О, — 13хм = О, — 23хв = 0' зхз — — О, З СЗ. Геометрия метрических пространств 159 43.19. Найти проекцию вектора х на подпространство А и ортогональную составллющую вектора х: а) х = (4, - 1, -3, 4) и Л = ((1, 1, 1, 1),(1, 2, 2, - 1),(1, О, О, 3)); б) х = (5, 2, -2., 2) и Ь = ((2, 1, 1, -1), (1, 1, 3, 0),(1, 2, 8, 1)); в) х = (7, — 4, — 1, 2) и А задано системой уравнений < 2хг + хг + хз + Зхл = О, Зхг + 2хз + 2хз + ха = О, х1 + 2хг + 2хз — 4х4 = 0; г) х = (О, 1+ г, — 1) и Е = (( — з,2+ г,О), (3, — г+ 1, г)); д) х = (г,2 — г.,О) и 1 задано системой уравнений (2 + з)х1 — гхг + 2хз + гхг = О, (2+ с)х~ — 1хг+ 2хз + гхя = О, 5хг + ( — 1+ а)ха + хг = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
