1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Найти значение тензора А З В вЂ” В З А Е 7е~(р') от набора (е1,..., ез): а) А = е' Я ез + ез З ез + ез З ез е 7ез('е'), В = е" З е' З (е1 — ез) ~ 73(1') П1 =Е1, Ез =Е1+Е2, ЕЗ =Е2+ЕЗ, Е4 =Ез =4.'2,' б) 4 е1 З,Д + ег З ез + ез З е1 Е 7о(14) В е 73(Р'), все координаты тензора В равны 1, п1 — е1 + е2 е2 — е2 + сз ез — ез + е1 е4 — Пз — е2. 47.4. Найти значение Е(е, е, и,?', Д тензора б' Е 73(К), если все координаты тензора б' равны 3, и и = е1+ 2ез+ Зез+ 4е4, 2" = е1 — е4. г 47. Осноеные понятия 179 47.5.
Найти координату гг1.г, тензора Т Е Тгг(Г), все координаты которого в базисе (ег, ег, ег) равны 2, в базисе 1 2 3 (еы ег, ег) = (еы ег,. ег) О 1 2 О О 1 47.6. Найти координаты с индексами 1, 2, 3, 3, 3 произведений ЛЗВ и В ЗА тензоров Л = е' З ег+ ег З е' Е То(Г), В = В(вмиг,иг) 6 Т~г(Г), где В(еы иг, иг) определитель. составленный из координат и~, .иг, иг в базисе (емег,ег). 47.7.
Найти координаты: а) 1~1г тензора е З ег З (ег + ег) й Т~~(Г) в базисе й й (емег) = (еыег) ~ (; б) ~,'г тензора Т е Т|'(1'), все координаты которого равны 1, в базисе /1 21 (еы ег) = (еы ег) ( . ); 12 5) ' в) Цг тензора ег Зе Зее Зег+ ее Зе Зег Зег 6 7~~(Г) в базисе 1 О О (еы ег, ег) = (ег, ег, ег) 2 1 О 3 2 1 47.8. Найти координаты тензоров; а) (ег + ег) З (ег — ег); б) (ег + ег) З (ег + ег); в) (ег + 2ег) З (ег + ег) — (ег + ег) З (е~ + 2ег); г) (е~ + 2ег) З (ег + ее) — (ег — 2ег) З (ег — е4). 47.9.
Пусть п = 4, Т = е Зег+ е З ее + ее З ее 6 и((Г). Найти все такие: а) 7" Е Г*, что Т(и, 7") = О для любого и 6 Г; б) и Е Г, что Т(и, 7') = О для любого г" Е Г*. 180 Гл. Х1. Теязоры 47.10. Пусть п = 3, поле К = хю Т = е~ З ез + ез З ез Е 71(1е). Найти число пар (е, у) Е Ъ' х 1е*, для которых Т(и, 1) = О. 47.11. Найти ранг билинейных функций: а) (ез + ез) З (е' + ез) — е~ З ез — ез Я ез; б) (ез — 2ез) З (ез + Зез — е4) + (ез — 2ез) З ее; в) (е + ез) З (ез + е") — (е — е ) З (е' — ез).
47.12. Доказать, что: а) ранг билинейной функции иЗо, где элементы и, о Е Г* отличны от О, равен 1; б) ранг билинейной функции У и;З ео где и„...,иь, ем ... ~-~з=1 , еь Е Ъ'*, не превосходит Й. 47.13. Найти полную свертку тензоров: а) (е, + Зез — ез) З (е~ — 2ез + Зе~) — (е, + ез) З (е~ — Зез + е~); б) (ез + 2ез + Зез) З (е' -~- ез — 2ез) — (ез — ез + ее) З (ез — 2е — Зе~); в) ез З(ез+ез+ез+е4)+ее 8(ез+2ез+2ез+4ее)+2езЗ(ез — ез — ее).
47.14. Пусть еы 'с' З 1' — у ЦГ) — канонический изоморфизм. Вычислить о(1)п при п = 4, где: а) 1 = е' З езо и = ез + ез + ез + ееб б) 1 = (е~ + ез) З (ез + ез), е = 2ез + Зез + 2ез + Зео 47.15. Найти х Е Ъ" З 1' такой, что а(т) = а(1)з для 1, равного: а) (2е' — ез) З (е~ + ез); б) е.' З ез + (е' + 2ез) И ез 47.16. Пусть на пространстве Ъ' задано скалярное произведение с матрицей 2 1 О 0 1 1 О 0 О 0 1 1 О 0 1 2 Провести опускание и подъем индексов у тензоров: а) е З ез + е З есб б) (е + ез) З (ез + ее) — (е + ез) З ез; в) 1' = бз, + дз ", г) ~' = здз .
47.17. Доказать,что если оператор А диагонализируем, то оператор Асе также диагонализируем. 47.18. Пусть а - след оператора А, И ого определитель. Найти: а) сг(АЗ А); б) 1г(Аее ); в) ОРАЗА). 1 48. Симметрические и кососимметуииеские теиооуы 181 47.19. Найти жорданову форму матрицы оператора А 441 В, если матрицы операторов А и В имеют соответственно жорданову форму-. а) , О 2 О ; б) в), О О 1 3 48. Симметрические и кососимметрические тензоры 48.1. Установить изоморфизм пространств Щ(Ъ'))" и ео(1'). 48.2.
Доказать следующие свойства операторов Нуги и А11 в пространстве Т~~1Г): а) пересечение ядер КегЯуп1 и КегА11 равно нулю при 41 = 2 и отлично от нуля при д > 2: б) аунг А11 = А!Г Яущ = О; в) оператор Р = (с" — Яущ)(с — А11) -- проектирование. Найти ранг оператора Р при д = 3. 48.3. Доказать, что если основное поле имеет характеристику О, то линейная оболочка тензоров вида и" (и Е Г) совпадает с Я»(1'). 48.4.
Установить изоморфизм; а) 84(Ъ~ Ю11) и 18,'.1Я'(г1) З Яо 1Я); б) Лея 414 Г~) И о4 Л1(11) З Л" 'я). 48.5. Доказать, что при 411щР > 2 пространства Л~(Л~(К)) и Л4(14) не совпадая1т. 48.6. Доказать, что для любой невырожденной билинейной функции 1 на пространстве 1' существует невырожденная билинейная функция Р на пространстве ЛзР, для которой 1 (1~4~ из) 1 ги1~ 14) г (цг Л нз, из Л и4) = 11е1 ~ 48.7. Найти след оператора Ло(А) по его матрице А: 1 — 2 О О 1 1 О 1 4 О О а) О 2 2 (11=2); б) (11=4); О О 3 ΠΠ— 3 1 Гль Х1. Теязорм 1 0 1 2 0 2 1 О в) 1 о 1 о ~4=2,3) ОО1З 48.8. Найти жорданову форму матрицы оператора Л-'(А), если матрица А имеет жорданову форму; 1 1 0 О 2 1 0 0 0 1 1 О 0 2 О 0 0 0 1 1 ' ) 0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 О 3 2 0 0 О 0 0 — 2 0 О 0 в) ΠΠ— 2 О 0 0 0 0 1 1 0 0 0 О 1 48.9.
Доказать, что если 1г Ля(А) = 0 для всех 4 > О, то оператор А нильпотентен. 48.10. Доказать,что в и-мерном пространстве И ненулевой оператор вида Л" '(А) на Л" '(1') либо невырожден, либо имеет ранг 1. 48.11. Доказать,что к-мерное подпространство И' С И инвариантно относительно линейного оператора А тогда и только тогда, когда ЛьИ'инвариантно относительно Ль(А).
48.12. Доказать, что для всякого бивектора ~ Е Л~ (1') существует базис (ем..., е„) пространства И, для которого С = с, д ез + ее Л е4 + ... + еь 1 д еь при некотором четном Й. 48.13. (Лельиа Картава.) Пусть система еы..., еь векторов пространства И линейно независима и 1м..., 1ь Е И. Доказать, что е Д1 +...+еьл1ь =О тогда и только тогда, когда 1м, ..,1ь Е (пы...,еь), и матрица, со- я ставленная из элементов аб, где 1, = ~ ~а; е,, симметрическая. 1=1 48.14. Доказать, что бивектор ~ разложим тогда и только тогда, когда ~ д~ = О.
е 48. Симметрические и кососимметрические тенэоры 183 48.15. Доказать, что для С Е Л" (И), х Е И, х ~ О, равенство СЛх = 0 выполняется тогда и только тогда, когда с = т, Л о для некоторого В б ЛР '(Г). 48.16. Пусть с Е Ло('е') -.- ненулевой р-вектор и И' = ~х Е Ц ~дх = 0). Доказать, что: а) с1ппИ' ( р; б) йп~ И' = р тогда и только тогда, когда. С разложим; в) наименьшее подпространство, в 1ьй степени которого лежит р-вектор (, есть Г = (Яо,..., ир 1) ~ и; Е Ъ'*). г) Йш Г ) р, причем йш Г = р тогда и только тогда, когда С разложим.
48.17. Доказать, .что внутреннее умножение е(и*), где о' б И', является дифференцированием алгебры Я(И). 48.18. Доказать, что операторы внутреннего умножения г(и') и г(из), о1 с нз Е Г*, коммутируют в алгебре Я(И) и антикоммутируют в алгебре Л(7 ). Глава Х11 АФФИННАЯ, ЕВКЛИДОВА И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9 49. Аффинные пространства 49.1. Доказать, ~то для любых точек а, б, с аффинного пространства ай+ 1ю = ас. ь 49.2.
Доказать, что если У Л,; = О, то для любых точек аы, .. ~1=1 ь ...,ая аффинного пространства вектор у Л;аа; не зависит от ~-~ и=1 точки а. 49.3. Доказать, что если 7 Л,; = 1, то для любых точек аы, .. ~-~г=1 я ..., аь аффинного пространства точка а+ 7 Л,аа,, (обозначаемая ~-~а=1 Е Л,а,) не зависит от точки а. и=1 49.4. Пусть (Р,П) — — аффинное надпространство (плоскость) аффинного пространства.
Доказать, что: а) П=(рд! р,ееР); б) Р = р + 1У для любой точки р Е Р. 49.5. Доказать, что пересечение любого семейства плоскостей аффинного пространства либо пусто, либо является плоскостью. 49.6. Пусть и - — неву стае подмножество аффинного пространства А. Доказать, что: а) подмножество (о') = а, + (аи ~ и б и'), где и, к и', не зависит от а и является наименыпей плоскостью, содержащей и'; ве 49. АЯннные пространства 185 49.7. Доказать, что подмножество аффинного независимого множества аффинно независимо. 49.8.
Доказать, что любое максимальное аффинно независимое подмножество множества Я в аффинном пространстве содержит 1+ 1 точек, где Й = 1+ с1пп(о). 49.9. Пусть в аффинном пространстве (.4, Ъ') заданы две системы аффинных координат; (а,ео ..,,е„) и (а',е',...,е'„), а (ам, ..,а„) координаты точки и' в первой системе и В = (бн ) — — матрица перехода от базиса (ем ..,, еп) к базису (е',,..., е'„) в векторном пространстве 1с. Выразить координаты (хм, .., хн) точки х е Л в первой системе через ес координаты (х',...,х'„) во второй системе,и наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
