1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пусть А -- проектирование метрического векторного пространства И на подпространство $т параллельно подпространству Гю Доказать,что: а) И = Лтт — 63 Лтз~", б) А* проектирование пространства Г на Г~ параллеяьно 1тт~. Сопряженные н нормальные операньоры 165 44.7. Доказать, что ядро и образ сопряженного оператора А* являются ортогональными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора А.
44.8. Доказать,что если и — собственный вектор операторов А и А' в метрическом векторном пространстве с собственными значениями Л и р, то р = Л. 44.9. Пусть Ъ" -- пространство вещественных бесконечно дифференцируемых периодических функций периода Ь > О со скалярным произведением ) 1(х)у(т) Ии. уо а) Найти оператор, сопряженный к оператору дифференцирования Р. б) Доказать, что отображения А и В, заданные правилами и А(1) = ~иеР'(Д, =о В(1) = ~( — 1)'Ре(и,у), 1=0 где ио, и1 ..., и„е 'ь' — фиксированные функции, являются линейными операторами в 1' и В = А'.
в) Докьзатен что оператор., определенный правилом ., 2я ., 2я 4я ~()), а, Ра(т ) + . Р(т,) и й Ь является самосопряженным. 44.10. Пусть Г пространство вещественных бесконечно дифференцируемых функций на отрезке (а, 6) со скалярным произведением / 1(и)у(л) е(алн Доказать, что: а) ЕСЛИ ФУНКЦИИ ио,...., ип Е 1' УДОВЛЕтВОРЯЮт УСЛОВИЯМ 'Р(и,)(а) = Р(и )(Ь) = 0 (1 = 1,..., пб 1 = О, 1,..., у — 1), то отображения А и В, определенные правилами и и А(1) = ~ ~и;Р'Ц), В(1') = ~ ~( — 1)'Р'(и, )), Е=-0 ю=.О 44.6.
Доказать,что если подпространство метрического векторного пространства инвариантно относительно линейного оператора А, то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора А'. Гп. Х. Метрические векторные првстринстпва 166 являются линейными операторами в и' и Б = А*; б) линейный оператор А, определенный правилом А(л") = (х — а) '(х — Ь)) лЗ~Я + 2(х — а)(х — Ь)(2х — а — Ь)л(л"), салюсопряжен, 44.11.
Доказать, что если линейные операторы А и Б в простгь ранстве К[х) со скалярным произведением / ((х)д(х) дх определены а правилами А(1) = ~ Р(х,у)1(у)ау, гв® = / Р(х,.у))(у)с(у, Я /а где Р(х, у) Е К(х, у), то Б = А". 44 12. Доказать, что если А .— самосопряженный оператор, то функция л (х, у) = (Ах, у) эрмитова. 44.13.
Доказать, что если А и Рз -.- самосопряженные операторы в метрическом векторном пространстве 1с и (Ах, х) = (ох, х) для всех х Е 'й, то А = П. 44.14. Доказать, что оператор А в евклидовом или эрмитовом пространство )г нормален тогда и только тогда, когда ~Ах~ = ~А'х~ для всех х Е 1'. 44.15. Доказать, что если х . собственный вектор нормального оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве с собственным значением Л, то х собственный вектор оператора А' с собственным значением Л.
44.16. Доказать, что собственные векторы нормального оператора в метрическом векторном пространстве с различными собственными значениями ортогональны. 44.17. Доказать, что: а) ортогональное дополнение к линейной оболочке собственного вектора нормального оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве инвариантно относительно А, б) оператор в эрмитовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда он имеет ортонормированный собственный базис; в) оператор в евклидовом или метрическом пространстве нормален тогда и только тогда, когда любой его собственный вектор является собственным для сопряженного оператора.
Сопряженные н нормальные операепоуы 167 44.18. Доказать, что любое множество перестановочных нормальных операторов в эрмитовом пространстве имеет общий ортонормированный базис. 44.19. Доказать., что если нормальный оператор А в эрмитовом пространстве перестановочен с оператором В, то А перестановочен с В*. 44.20.
Пусть А.,В нормальные операторы в зрмитовом пространстве, причем характеристические многочлены этих операторов равны. Доказать, что матрицы операторов А и В в любом базисе подобны. 44.21. Пусть А "- нормальный нильпотентный оператор в зрмитовом пространстве. Тогда А = О. 44.22. Оператор А в эрмитовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда А' = р(А) для некоторого полинома р(ь). 44.23. Для всякого многочлена и ,7(х) = ~ а,х' 6 К[х) ь=о положим п 7(х) = ~ а,х'. ю=-О Доказать, что если А -- оператор в метрическом пространстве, то; а) 7"(А)' = 7'(А'); б) если 1(А) = О, то 1(А*) = О.
44.24. Пусть А — — нормальный оператор в метрическом векторном пространстве К и 7(х) Е К[х]. Доказать, что: а) ядро Кег 7" (А) инвариантно относительно „4*; б) Кег 7"(А*) = Кету'(А); в) если 1(х) = 71(х)уэ(х), где ~ь(х) и 1э(х) взаимно просты, то Кег 7'(А) является ортогонаяьной прямой суммой подпространств Кег 71 (А) и Кег 7э(.4); г) если (7'(А))п = О, то 7'(А) = О. 44.25. Пусть А нормальный оператор в евклидовом пространстве Г, причём Аэ = — Е. Доказать, что А* = — А. Гп.
Х. Метрические векторные првстранстпва 168 44.26. Пусть р1г) = са + а1+ Ь вещественный неприводимый многочлен. Предположим, что А нормальный оператор в евклидовом пространстве, причем р(А) = О. Доказать, что Л' = — А — аЕ. 44.27. Пусть А "" нормальный линейный оператор в евклидовом пространстве Г, П вЂ” двумерное инвариантное относительно А подпространство в Г,причем А не имеет в Г собственных векторов. Доказать, что: а) 11 инвариантно относительно А*; б) Пл инвариантно относительно А и А'. 44.28. Пусть А нормальный линейный оператор в двумерном евклидовом пространстве о',причем А не имеет собственных векторов.
Пусть е = ~ем ее) ортонормированный базис. Доказать, что матрипа оператора А в базисе е имеет вид 44.29. Пусть А нормальный оператор в евклидовом пространстве 1'. Доказать, что в 1с существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора А имеет блочно-диагональный вид Г:) размер клеток Ав не выше двух, причем клетки Ав размера два имеют вид 44.30. Доказать, что всякий оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве является суммой симметричоского и кососимметрического (зрмитова и косозрмитова) операторов.
44.31. Доказать, что всякий оператор А в евклидовом пространстве Г кососимметричен тогда и только тогда, когда для любого х Е Г векторы х и Ах ортогональны. 44.32. Доказать, что для всякого кососимметрического оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный ба- у 45. Самоеопрляеенные операторы зис, в котором его матрица имеет клеточно-диагональный вид, где по главной диагонали стоят нули или клетки вида 8 45. Самосопряженные операторы. Приведение квадратичных функций к главным осям 45.1. Доказать, что произведение двух самосопряженных операторов в метрическом векторном пространстве является самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны.
45.2. Доказать, что если А и И -- - самосопряженные операторы в метрическом векторном пространстве, то: а) оператор АБ+ ВА самосопряжен; б) при Л = — Л оператор Л(АБ — ВА) самосопряжен. 45.3. Доказать, что проектирование метрического пространства 11 90 Ьа на подпространство 71 параллельно 1а является самосопрлженным оператором тогда и только тогда, когда 7, и 1а ортогональны. 45.4. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: 11 2 а) ; б) 2 2 — 8 10 17 — 8 4 в) — 8 17 — 4; г) 4 — 4 11 0 0 1 0 0 д) 0 1 0; е) 0 0 1 0 0 О 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 ж) Гв. Х.
Метрические векторные пространства 170 45.5. Доказать, что функции 1 —, совх, ешх, ..., совах, яппх ч72 составляют собственный ортонормированный базис для симметри- 12 ческого оператора †,, в пространстве Йз 1'„= 1ав+ а, совх+ Ь, вшх+... +а„совах+ Ь„янах ) апЬ; Е й) со скалярным произведением — / 71х)д(х) е1х. 45.6. Доказать, что многочлены Лежандра (задача 43.44) составляют собственный базис для самосопряженного оператора, определенного правилом (А(~))(х) = (хз — 1)~н(х) + 2х~'(х), в пространстве многочленов степени ( п со скалярным произведение' ем / 11х)д(х) е1х. — 1 45.7.
Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе эрмитова оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей; 3 — 1 3 2 — 1 3 2+21 45.8. В пространстве матриц М„(С) положим (А, В) = 1г(А . 'В). Доказать, что: а) М„(С) эрмитово пространство; б) всякая унитарная матрица в этом пространстве имеет длину,/п; в) операторы Х еэ АХ и Х ~ — > 'АХ в пространстве Мн(С) сопряжены; г) оператор Х ~-> АХ, где А . -- унитарная матрица, яаяяется унитарным. 45.9.
Доказать, что самосопряженные операторы евклидова или эрмитова пространства перестановочны тогда и только тогда, когда они имеют общий ортонормированный собственный базис. е оо. Самоеонрлнеенные операсаоры 171 45.10. Доказать, что самосопряженный линейный оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве: а) неотрицате лен тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательны; б) положителен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны.
45.11. Доказать, что если А —.. оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве, то А*А неотрицательный самосопряженный оператор и положителен тогда и только тогда, когда оператор А обратим. 45.12. Доказать, что если два неотрицательных самосопряженных оператора в евклидовом или эрмитовом пространстве перестановочны, то их произведение неотрицательный самосопряженный оператор. 45.13. Доказать, что для всякого неотрицательного (положительного) самосопряженного оператора А в евкяидовом или эрмитовом пространстве существует такой неотрицательный (положительный) самосопряженный оператор В, что Ва = А.
45.14. Пусть оператор А в трехмерном евклидовом пространстве в некотором ортонормированном базисе задан матрицей Найти в этом базисе матрицу положительного самосопряженного опе- ратора В такого, что Нз = А. 45.15. Доказать, что собственные значения произведения двух неотрицательных самосопряженных операторов в евклидовом няи эрмитовом пространстве, один из которых обратим, являются вещественными и неотрицательными. 45.16. Доказать, что неотрицательный самосопряженный оператор ранга г в евклидовом или эрмитовом пространстве является суммой г неотрицательных самосопряженных операторов ранга 1. 45.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
