1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 27
Текст из файла (страница 27)
у 00. Выпуклые мнонсества 191 я 50. Выпуклые множества 50.1. Доказать, что всякая плоскость аффинного пространства является пересечением конечного числа полупространств. 50.2. Доказать,что подмножество плоскости Р аффинного пространства А является выпуклым мнозогранннкам в Р тогда и только тогда, когда оно является выпуклым многогранником в А. 50.3. Пусть выпуклый многогранник ЛХ в аффинном пространстве задается системой линейных неравенств Х,(и) ) О (г = 1,...,Л; Х, ф совас). Доказать, что для всякого непустого подмножества Х С 11,..., Л) множество ЛХ', задаваемое условиями Л1и) = О при 1 Е,Т, Яи) - О при 1 ф /., если оно непусто, является гранью многогранника ЛХ, и, обратно, всякая грань многогранника ЛХ имеет вид ЛХ~ для некоторого множества Х С 11,..., й). 50.4.
Пусть ао,ам..., а„точки и-мерного аффинного пространства, находящиеся в общем положении, Н, (г = О, 1,..., и) гиперплоскость, проходящая через все зти точки, кроме а, и Н, ограничиваемое ею полупространство, содержащее точку ао Доказать,что сопу1ае, ом,, ., ан) = Д Н,:". г=е 50.5. Доказать, что грани и-мерного симплекса сопи)ао, ау, ..,, ан) это выпуклые оболочки всевозможных собственных подмножеств множества )ае,ам...,ан).
50.6. Найти грани п,-мерного параллелепипеда, заданного в некоторой системе аффинных координат неравенствами О < и, < 1 (1 = 1, 2,...,п). 50.7. Найти вершины и описать форму выпуклого многогранника в трехмерном аффинном пространстве, заданного неравенствами ту~~1; изь.1 из и~ + тз 3 -1, и~ + из 3 -1, тз + лз 3 -1.
192 Гл. ХП. Аф1ринная, евклидова и проективная ееоиетрия 50.8. Найти вершины и описать форму сечений четырехмерного параллелепипеда, заданного неравенствами 0 < х, < 1 (1 = 1, 2, 3, 4), плоскостями: а) х1 + хз + хз + хл = 1:, б) х1 + хз + хз + хл = 2: в) х1 + хз + хз = 1; г) х1 + хз = хз + хл = 1. 50.9. Доказать, что замыкание выпуклого множества выпукло. 50.10.
Доказать, что открытое ядро ЛХо телесного выпуклого множества ЛХ выпукло и его замыкание содержит ЛХ. 50.11. Доказать, что образ и полный прообраз выпуклого множества при аффинном отображении являн1тся выпуклыми множествами. 50.12. Доказать, что: а) при сюръективном аффинном отображении полный прообраз гиперплоскости является гиперплоскостью; б) полный прообраз полупространства является полупространством. 50.13.
Доказать, что выпуклая оболочка множества Я состоит из ь всевозможных комбинаций вида ~ Леан где л — ее=1 я Л, > О П =1,...,й), ~Л, =1. а,еЯ 50.14. Пусть ЛХ выпуклое множество и в 1р ЛХ. Доказать, что сопи(ЛХ 0 а) = Ц а6. ЬЕМ 50.16. Доказать, что выпуклая оболочка компактного множества компактна. 50.17. Пусть ЛХ . выпуклое подмножество двумерного аффинного пространства и а ф ЛХо (см. 50.10). Доказать, .что через точку а неожно провести прямую так, что множество ЛХ будет лежать по одну сторону от нее. 50.15. Пусть Я подмножество и-мерного аффинного пространства А. Доказать, что если (Я) = А, то сопи Я есть объединение и-мерных симплексов с вершинами в точках множества Я.
в 50. Вьтуклые множества 50.18. Пусть ЛХ выпуклое подмножество п-мерного аффинного пространства А и а ф ЛХв (см. 50.10). Доказать, что через точку а можно провести гиперплоскость так, что множество ЛХ будет лежать по одну сторону от нее. 50.19. Доказать, что через любую точку замкнутого выпуклого множества, не принадлежащую его открытому ядру, можно провести опорную гиперплоскость. 50.20. Доказать,что всякое замкнутое выпуклое множество ЛХ есть пересечение (вообще говоря, бесконечного числа) полупространств.
50.21. Доказать, что всякий замкнутый выпуклый конус в векторном пространстве есть пересечение (вообще говоря, бесконечного числа) полупространств, границы которых проходят через нуль. 50.22. Пусть Х) (г = 1,..., Й) аффинные линейные функции на аффинном пространстве А. Доказать, что система неравенств Х, (х) ( < 0 (г = 1,..., к) несовместна тогда и только тогда, когда существуют такие числа Л, ) О, что Л ', ч Л, Х, есть положительная константа. ь 50.23. Пусть ЛХ компактное выпуклое множество, содержащее окрестность нуля, в векторном пространстве р', рассматриваемом как аффинное пространство, и пусть ЛХ* = (Х Е 1'" ~ У(х) < 1 для всякого х Е М). Доказать, что: а) ЛХ" -- компактное выпуклое множество в пространстве 1", содержащее окрестность нуля: б) ЛХ'* = М при каноническом отождествлении пространства Ъ'** с Ъ'. 50.24.
Доказать, что всякое компактное выпуклое множество совпадает с выпуклой оболочкой множества своих крайних точек. 50.25. Доказать, что максимум аффинной линейной функции на компактном выпуклом множестве достигается в некоторой крайней точке (но, может быть, достигается и в других точках). 50.26. Доказать, что крайние точки выпуклого многогранника это его вершины. 50. 27. Доказать, что всякий ограниченный выпуклый многогранник совпадает с выпуклой оболочкой множества своих вершин.
~3 А.И. Кострикин 194 Гл. ХП. Аффинная, евклидова и проентивнвя геометрия 50.28. Доказать, что выпуклая оболочка конечного числа точек является выпуклым многогранником. 50.20. Задать системой линейных неравенств выпуклую оболочку указанных точек четырехмерного аффинного пространства и найти трехмерные грани этого выпуклого многогранника; а) 0 = (О, О, О, 0), а = 11, О, О, 0), Ь = (О, 1, О, 0), с = (1, 1, О, 0), Д = (О, О, 1, 0), е = (О, О, О, 1), Х = (О, О, 1, Ц, б) 0 = (О, О, О, 0), а = (1, О, О, 0), Ь = (О, 1, О, 0), с = (О, О, 1, 0), 4 = (1, 1, О,. 0)., е = (1, О, 1,. 0)., Х = (О, 1, 1, 0)., д=(1,1,1,0), 5=<0,0,0,1). 50.30.
Пусть М и 1У - выпуклые множества в аффинном пространстве 1л1, 1'). Доказать, что: а) середины отрезков, соединяя>ших точки из ЛХ с точками из Хя', образуют выпуклое множество в пространстве А; б) векторы, соединял>щие точки из ЛХ с точками из 1У, образуют выпуклое множество в пространстве 1'.
50.31. Пусть ЛХ и Х непересекающиеся замкнутые выпуклые множества в аффинном пространстве А и одно из них ограничено. Доказать, что существует такая аффинная линейнал функция Х на пространстве А, что Х(л) ( 0 при всех л е М и Х1у) > 0 при всех у Е1У. 50.32. Пусть ЛХ компактное выпуклое множество в аффинном пространстве А, 1У компактное выпуклое множество в векторном пространстве Х всех аффинных линейных функций на А и пусть для всякой точки а Е М найдется такая функция Х Е Х, что Х1а) > О.
Доказать, что существует такая функпия Хо Е 1У, что Хо(х) > 0 при всех л Е ЛХ. 50.33. (Теорема двойспевенности линейного программирован я.) Пусть Р -- аффинная билинейная функция на прямом произведении аффинных пространств А и В, и пусть ЛХ и Х компактные выпуклые подмножества пространств А и В соответственно. Доказать, что: а) шахшшг (х,у) = шшшахг1х,у): яем иек Ревя яем б) существуют такие точки ио Е ЛХ, Уо Е 1й, что при всех л Е М, уЕХ г 1л, Уо) ~ ~г (ло, Уо) ~ ~г 1хо, У). з 50. Вьтунлме ллножестняа 195 50.34.
Доказать, что: а) максимальное чисю частей 1выпуклых многогранников), на которое может разбиваться и-мерное вещественное аффинное пространство й гиперплоскостями, равно й+1 й+1 й+1 б) число частей максимально тогда и только тогда, когда пересечение любых иг заданных гиперплоскостей при и~ < и есть 1и — т)- мерная плоскость, а при ги = и + 1 пусто; в) если число частей максимально, то число ограниченных частей равно 50.35. Определить, являются ли ограниченными многогранники, задаваемые следующими неравенствами: а) — Зх1+бхг <10, 5тг+2хг <35, гп >О, .тг>0; б) — хг+ ха < 2, бт1 —,гг < 10; в) Зх1 — хг > 4, — хг + Зхг > 4; г) — Зхг+4хг (17, Зхг+4хг (47, хг — хг (4, .хг+хг >0; д) — х1 + 2хг < 6, 5х1 — 2хг < 26, хг + 2тг > 10; е) 5хг — 2хг > 6, 5хг — 2хг < 36, 2 < х1 < 7. 50.36.
Найти угловые точки многогранников: а) х1 + 2хг + хз + Зхл + хз = 5, хг + хз — 2тл = 3, хг ~ )О, тг ~ )О~ тз ( О, хл ~ )О~ тз ~ )О; б) хг + хг — хз = 10, хч — хг + 7хз = 7, х1>0, хг>0, хз>0; в) 4х1 + 5хг + хз + хл = 29, бхг — хг — хз + хл = 11, хг)0, хг)0, хз)0, хл)0; г) хг+2тг+хз =4, 2хг+2хг+5тз = 5, тг)0, хг>0, хз>0. 50.37. Найти максимальные и минимагьные значения линейной функции г на ограниченном многограннике: а) т1 + 2хг+хз+ Зтл+ха — — 5, 2х> + хз — 2тл = 3, хг > О, хг > О, хз > О, хл > О, хз > О, г = тд — 2хг + хз + Зхз,' б) Зхг — хг + 2хз + .тл + тз —— 12, тг — 5тг — тл + тз = — 4, х1 > О, хг > О, хз > О, хл > О, хз > О, г = 4тг — хг + 2хз + тз; 196 Гя.
ХП. Аффиннвя, евклидова и ироентивнвя геометрия в) 5хз+2хз — хз+ хе+хе = 42, 4хз — 4хз+хз+хе = 16, хз)0, хз)0, хз)0., хл)0,. хв)0, з = хз — 2хя + 4хл — хв', г) хз — Зхз + хз + 2хз = 8, 4хз — Зхл — хв —— 3, хз ) О, хз ) О, хз ) О, хв ) О, хз ) О, з = Х1 — 2Х2 + Хз — Хз. 8 51. Евклидовы пространства 51.1. Найти условия, необходимые и достаточные для того, что/и 1 бы данный набор из ~ ) неотрицательных вещественных чисел слу- ~,2) жил набором расстояний между: а) а аффинно независимыми точками евклидова пространства; б) и произвольными точками евклидова пространства. 51.2. Существует ли в евклидовом пространстве набор точек ам аз, аз, ал, аз, для которого матрица А есть матрица расстояний (р(а„а,)), и какова наименьшая размерность пространства, в которое такой набор можно поместить: 2 2 2ъ/2 Л Л 3 0 2х/2 2 2х/2 0 2~3 2 2ъ/3 0 о з Л з о зееГ4 Л хееГ4 0 з/5 5/Г4 з/2 2з/2 з/Г7 Л7 Л 2ъ'2 б) А= 0 1 2 ъ'5 1 1 0 х/5 2 ъ/2 2 ъ'5 0 з/Г7 1 Л 2 х/Г7 0 з/ГО 1 з/2 1 ъ'ГО 0 в) А= 0 1 1 0 2 Л ~/5 2з/2 3 х/Г4 з/Г7 х/2 з/Г7 0 3 3 0 З 55 Евнлнв7овы пространства 197 0 тс5 тЛ тГ5 ъ' 5 т/5 0 2мо5 2ъ'2 2 т75 2Л 0 2 2ъ72 т75 2ъ72 2 0 2тс5 '75 2 2ъ'2 2ъ~5 0 г) 4= 51.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
