1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 30
Текст из файла (страница 30)
53.11. Найти число точек и-мерного проективного пространства над полем из 9 элементов. 53.12. Найти число й-мерных полпространств и-мерного проективного пространства над полем из д элементов. 53.13. Найти число проективных преобразований и-мерного проективного пространства над полем из 9 элементов. 53.14.
Пусть ЗХл и Мз непересекающиеся плоскости в Р", Ь| и Ая непересекающиеся плоскости, имеквщие те же размерности. Доказать,что существует проективное преобразование, которое переводит ЛХ~ в Ь| и Л1з в Ья. 53.15. Доказать, что если проективное преобразование переводит некоторую аффинную карту в себя, то оно индуцирует аффинное преобразование на этой карте. 53.16. Доказать,что всякое биективное преобразование двумерной проективной плоскос ти, переводящее прямые в прямые и сохраняющее двойное отношение точек на каждой прямой, является проективным. 53.17.
Доказать, что с помощью подходящего проективного преобразования любые четыре прямые на проективной плоскости, из которых никакие три не пересекаются в одной точке, можно перевести Ш А.И. Кострикин 210 Гл. ХП. Аффиннвл, евнлие>овв и нроентивнвя геометрия в любые четыре прямые, обладая>щие тем жс свойством. 53.18. Доказать, что существует проективное преобразование плоскости, сохраняющее заданный треугольник и переводящее заданную точку внутри этого треугольника в любую другую заданную точку внутри него. 53.19.
Доказать, что существует преобразование плоскости, сохраняющее окружность и переводящее заданную точку внутри этой окружности в любую другую заданную точку внутри нее. 53.20. Доказать, что с помощью одной линейки нельзя построить центр заданной окружности. 53.21. Доказать с помощью проективных преобразований, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками противоположных сторон, пересекаются в одной точке тогда и только тогда., когда эти точки являются точками касания некоторого вписанного в треугольник эллипса. 53.22. На картине изображена аллея. Расстояние от первого дерева до линии горизонта вдоль линии аллеи обозначим через 1, расстояние между 1-м и (и+ 1)-м деревьями.
через аю Выразить: а) ав через а> и аг, б) а> через 1 и а>. 53.23. Проективноо преобразование плоскости называется гомологией, если оно сохраняет все точки, лежащие на некоторой прямой (оси гомологии), и все прямые, проходящие через некоторую точку (центр гомологии). Доказать, .что: а) существует единственнзл гомология с заданной осью 1 и заданным центром О, переводящая заданную точку А ~ О, А ~ 1, в заданную точку А' ф О, А' ф 1, лежащую на прямой ОА; б) всякое проективное преобразование плоскости есть произведение двух гомологий. 53.24.
Доказать,что существует единственное проективное преобразование плоскости, сохраняющее окружность т> + 9- = 1 и переводящее заданные три точки на этой окружности в заданные три точки, также лежащие на этой окружности. 53.25. ( Теорема Дезарга.) Доказать, что если прямые АА', ВВ', СС' пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых АВ и А'В', ВС и В'С', АС и А'С' лежат на одной прямой. у И. Проентиеные пространстеа 53.26. (Теорема Паскаля.) Доказать, что точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в окружность, лежат на одной прямой.
53.27. (Теорема Паапа.) Доказать, что точки пересечения противоположных сторон шостиугольника, вершины которого находятся поочередно на двух заданных прямых, лежат на одной прямой. 53.28. Пусть аы аз, аз, ае прямые на плоскости, проходящие через точку О, 1 — прямая, не проходящая через О. Доказать, что двойное отношение точек пересечения прямых а~., а, аз, а4 с прямой 1 не зависит от 1 (двойное отношение прямых а», ая, аз, а4). 53.29. Пусть »" --. невырожденная билинейная функция на (и + 1)-мерном векторном пространстве»'. Каждому (Й + 1)-мерному надпространству Г С »' сопоставим (и — Й)-мерное надпространство Г = (у Е 1'! Дт,р) = 0 для всякого л е П).
Этим соответствием в проективном пространстве Р(»') определено отображение Ке,которое каждой Й-мерной плоскости сопоставляет (и — Й вЂ” 1)-мерную плоскость (корреляиия относительно функции 1). Доказать, что: а) корреляция сохраняет инцидентность, т.е. Г» С С'з ~-» Ку(С~) З К1(П ); б) есин функция»' симметрическая или кососимметрическая, то корреляция Ку инволютивна, т.е.
в) композиция корреляции и проективного преобразования есть корреляция; г) всякая корреляция есть композиция фиксированной корреляции и некоторого проективного преобразования. 53.30. Доказать, что всякая корреляция проективной прямой действует на точки так же,как некоторое проективное преобразование. 53.31. Доказать, что корреляция на проективной плоскости сохраняет двойное отношение. 53.32. Доказать, что корреляция на проективной плоскости относительно симметрической билинейной функции »е переводит каждую 212 Гл.ХП. Аффинная, евклидова и ароективная геометрия точку кривой Дяй х) = 0 в касательную к втой кривой, проходящую через данную точку. 53.33.
Сформулировать теорему (теорема Брианвпона), получаемую из теоремы Паскаля (см. 53.26) применением корреляции. 53.34. С помощью понятия корреляции доказать, что точки пересечения касательных к данной окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, проходящих через заданную точку, лежат на одной прямой. ЧАСТЬ Ш ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТР~КТ~РЫ Глава Х1П ГРУППЫ 5 54. Алгебраические операции. Полугруппы 54.1. Ассоциативна ли операция я на множестве ЛХ, если а)ЛХ=?$, хад=х"; б)ЛХ=гь хад=НОД(х,д); в) М=?Х, хед=2хд; г) ЛХ=У, хяд=х — д; д) ЛХ=я;, х*д=хэ+д~; е) ЛХ= К, х*д=ешх вшд: ж) Л| = Н*, х*.
д = х у'~~е~": 54.2. Пусть б---полугруппа матриц ~ ), гдех,де К, сопера- Х'х й цией умножения. Найти в этой полугруппе левые и правые нейтральные элементы, элементы, обратимые слева или справа относительно этих нейтральных. 54.3. На множестве ЛХ определена операция с по правилу х а д = = х.
Доказать, что (ЛХ, о) --. полугруппа. «1то можно сказать о нейтральных и обратимых элементах этой полугруппы! В каких случаях она является группой? 54.4. На множестве ЛХе, где М - некотороо множество, определена операция о по правилу (х, д) с (х, Х) = (х,?). Является ли ЛХ~ полу- группой относительно этой операции? Существует ли в ЛХэ нейтральный элемент? Гл.
Х!П. Го уьаы 214 54.5. Сколько элементов содержит полугруппа, состоящая из всех степеней матрицы Является ли эта полугруппа группой? 54.6. Доказать, что полугруппы (2м, О) и (2м, й) изоморфны. 54.7. Сколько су ществу ет неизоморфных между собой полу- групп порядка 2? 54.8. Доказать, что во всякой конечной полугруппе найдется идемпотент. 54.9. Полугруппа называется мояоеенной, если она состоит из положительных степеней одного из своих элементов (такой элемент является поролсдающим). Доказать, что; а) моногенная полугруппа конечна тогда и только тогда, когда содержит идемпотент; б) конечная моногенная полутруппа либо является группой, либо имеет только один порождающий элемент; в) любые две бесконечные моногенные полугруппы изоморфны, г) всякая конечная моногенная полугруппа изоморфна полугруппе вида з'(и, Й), определенной на множестве(ам ..,,а„) следующим образом: а,лэ, если 1+ у ( п, а,+а с аььььм если 1+ у > п, где? .
остаток от деления числа 1+ у — и — 1 на п — Й. 9 55. Понятие группы. Изоморфизм групп 55.1. Какие из указанных числовых множеств с операциями являются группами; а) (А, +), где А одно из множеств Я, К, 1), Ж, С; б) (А, ), где А -- одно из множеств?М,. К, Я, Ж, С; в) (Ао, ), где А — одно из множеств И, К, Я, ~Ж, С, а Ао — — Ау (0); г) (пК, +), где и натуральное чисяо; у 55. Понятпиг группы.
Изолорфизз4 групп 215 д)Я вЂ” 11),): е) множество степеней данного вещественного числа а у: 0 с целыми показателями относительно умножения; ж) множество всех комплексных корней фиксированной степени п из 1 относительно уьзножения; з) множество комплексных корней всех степеней из 1 относительно умножения; и) множество комплексных чисел с фиксированным модулем з относительно умножения; к) множество ненулевых комплексных чисел с модулем, не превосходящим фиксированное число г, относительно умножения:, л) множество ненулевых комплексных чисел, расположенных на лучах, выходящих из начала координат и образующих с лучом Оя углы узы ~рз,..., ~рп, относительно умножения: м) множество всех непрерывных отображений уз: [О, 1) — а ~0, 1), для которых уз(0) = О,:р(1) = 1, и л < у ~ уз(ж) < ~р(у), относительно суперпозиции? 55.2.
Доказать, что полуинтервал ~0,1) с операцией Ь., где а 02 Д дробная часть числа а + Д, является группой. Какой из групп из задачи 55.1 изоморфна зта группа? Доказать, что всякая ее конечная подгруппа является циклической. 55.3. Доказать, что 2м группа относительно операции симметрической разности гз (сьь 1.4). 55.4. Пусть С . группа относительно умножения. Зафиксируем в С злемент а и зададим в С операцию хор = т а у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
