1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Доказать, что С относительно новой операции о является группой, изоморфной (С, .). 55.5. Какие из указанных ниже совокупностей отображений множества М = (1, 2,..., п) в себя образуют группу относительно умножения; а) множество всех отображений; б) множество всех инъективных отображений; в) множество всех сюръективных отображений; г) множество всех биективных отображений; д) множество всех четных перестановок,: е) множество всех нечетных перестановок; ж) множество всех транспозиций:, 1'л. Х!П. Группы 216 з) множество всех перестановок, оставляющих неподвижными элементы некоторого подмножества Я С ЛХ; и) множество всех перестановок, при которых образы всех элементов некоторого подмножества э' С Л4 принадлежат этому подмножеству; к) множество 1Е, (12) (34), (13) (24), (14) (23) ); л) множество 1Е, (13), (24), (12) (34), (13) (24), (14) (23), (1234), (1432) )? 55.6.

Какие из указанных множеств квадратных вегпественных матриц фиксированного порядка образуют группу: а) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно сложения; б) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно умножения; в) множество невырожденных матриц относительно сложения; г) множество невырожденных матриц относительно умножения; д) множество матриц с фиксированным определителем <? относительно умножения; е) множество диагональных матриц относительно сложения; ж) множество диагональных матриц относительно умножения: з) множество диагональных патрии, все элементы диагоналей которых отличны от О, относительно умножения; и) множество верхних треугольных матриц относительно умножения; к) множество верхних нильтреугольных матриц относительно умножения; л) множество верхних нильтреугольных матриц относительно сложения; м) множество верхних унитреугольных матриц относительно умножения; н) множество всех ортогональных матриц относительно умножения; о) множество матриц вида 1(А), где А фиксированная нильпотентная матрица, ?(1) произвольный многочлен со свободным членом, отличным от О, относительно умножения; у 55.

77оилтпиг группы. Изоморфизм групп 217 п) множество верхних нильтреугольных матриц относительно операции Х з У = Х + У вЂ” ХУ; х у1 р) множество ненулевых матриц вида ( (х, у Е Й) отно- 1 — У х( сительно умножения; /х у1 с) множество ненулевых матриц вида ' (х, у Е К), где Л 1ЛУ х( фиксированное вещественное число, относительно умножения; т) множество матриц относительно у множения? 55.7.

Показать, что множество О„(К) всех цвиочисленных ортогональных матриц размера п образует группу относительно умножения. Найти порядок этой группы. 55.8. Доказать, что множество верхних нильтреугольных матриц порядка 3 является группой относительно операции Хо1 =Х+У+ — )Х,Ц, 1 55.9. Пусть Х -- множество точек кривой у = хг, 1 -- прямая, проходящая через точки а, Ь е Х (касательная к Х при а = Ь), с ее третья точка пересечения с Х и т прямая, проходящая через начало координат О и точку с (касательная к Х при с = О). Положим агру= г7, где Д третья точка пересечения т и Х или О, если т касаетсл Х в точке О. Доказать, что (Х, З) коммутативная группа.

55.10. Доказать,что множество функций вида ах+ Ь у= ух+а где а., Ь, с, Д Е 2 и пд — Ьс ~ О, является группой относительно опе- рации композиции функций. 55.11. Доказать., что коммутатор ~х,у] = хух 1у элементов х, у группы С обладает свойствами: Гл. Х111.

Группы 218 а) [х,у] = [у,х]; б) [ху, х] = х[у, з]х [х, з]; в) [з, ху] = [з, х]х [я, у]х 55.12. Пусть задано разложение подстановки и в произведение независимых циклов =[мы . 'я)й .. 1 ). Найти раъаожение подстановки и ~ в произведение независимых цик- лов. 55.13.

Какие из следующих равенств тождественно выполняются в группе Яе' ) 6 б) [[ у]: ] =1' в) [хз.у~] = 1? 55.14. Доказать, что в группе верхних унитреугольных матриц порядка 3 выполняется тождество [ху)а хауа[и у] — а(а — П12,п г. ?ч 55.15. Доказать, что если в группе С выполняется тождество [[х, у], з] = 1, то в С выполняются тождества [х, уз] = [х, у][х, з], [ху, .з] = [х, я][у, з]. 55.16. Доказать, что если в группе С выполняется тождество хз = 1, то С коммутативна. б) 1[я) = 2]з]; в) 1[я) = — ; 1 ]з]' д) 1[з) = [з[~, :е) 1[я) = 1; а) 1[я) = ]з]; г) 1 [я) = 1+ ]я[; ж) У[я) = 2? 55.18. Для каких групп С отображение 1: С «-~ С, определенное правилом: а) 1[х) = хз, б) 1'[х) = х является гомоморфизмом? При каком условии зти отображения являются изоморфизмами? 55.17.

Какие из отображений групп 1': С* ~-~ 2' являются гомоморфизмами: х 55. Поиятпиг группы. Игоморфиггт груттп 219 /та Й 55.19. Сопоставим каждой матрице ~ ) Е СЬ(2,С) функцию ах+ Ь у = (см. задачу 55.10). Будет ли это отображение гомоморсх+ ат физмом? 55.20. Разбить на классы попарно изоморфных групп следукзщий набор групп: Е, пХ, Я, И, ЯР, Ы, С, ТЗТз тт-4), где Л вЂ”. одно из колец Х, Я, К, С.

55.21. Найти все изоморфизмы между группами (Хя, +) и (Х', ). 55.22. Доказать, что группа порядка 6 либо коммутативна, либо изоморфна группе Бз. 55.23. Доказать, что если рапиональное число а не равно нулю, то отображение 9т; х ~-~ ах является автоморфизмом группы Я.

Найти все автоморфизмы группы О. 55.24. Пусть С -- ненулевая аддитивная группа, состоящая из вещественных чисел, такая, что в каждом ограниченном промежутке содержится лишь конечное число ее элементов. Доказать, что С Х. 55.25. Привести примеры плоских геометрических фигур, группы движения которых изоморфны: а) Хг; б) Хз': в) Бг, 'г) зрю 55.26.

Какие из следующих групп изоморфны между собой: группа Ря движений квадрата; группа кватернионов (~г; группа из задачи 55.5, л); группа из задачи 55.5, т)? 55.27. Доказать, что группы собственных движений тетраэдра, куба и октаэдра изоморфны соответственно группам Ая, 8 м 8 ь 55.28. Пусть С вЂ”. множество всех пар элементов (а, Ь), а ф О, из поля Ь относительно операции (а, с) о (с, т1) = (ас, ат? + Ь) . Доказать, что С является группой, изоморфной группе всех линейных функций х т-т ах + Ь относительно суперпозиции. 55.29. Пусть С множество всех вещественных чисел, отличных от — 1. Доказать, что С является группой относительно умножения у,'й =у+й+хй. Гл. Х!П.

Группы 220 55.30. Доказать, что: а) множество всех автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции; б) отображение и: т ~ — > ата где а фиксированный элемент группы С, является автоморфизмом группы С (внутренним автоморфизмом); в) множество всех внутренних автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции. 55.31. Найти группы автоморфизмов групп: а) л'; б) лзр., в) Яз; г) Чл, д) Вз, е) С~з. 55.32.

Доказать, что отображение и ~-~ и,. сопоставляющее каждому элементу а группы С перестановку и: я ь-> ая множества С, является инъективным гомоморфизмом группы С в группу Яп. 55.33. Найти в соответствующих группах Яп подгруппы, изоморфныо группам: а) л з', б) 1лз, .в) Цз. 55.34. Пусть и — перестановка степени и и А„= (б, 00) квадратная матрица порядка и. Доказать, что если С . - некоторая группа перестановок степени и, то множество матриц А, где и б С, образует группу, изоморфную группе С. 55.35. Найти в соответствующих группах матриц СЕ„(С) подгруппы, изоморфные группам: а) Хз, б) Пл, в) Яз. 55.36.

Найти в группе вещественных матриц порядка 4 подгруппу, изоморфную группе ь)з. 55.37. Доказать, что группу 1Л нельзя отобразить голюморфно на конечную группу, отличную от единичной. 55.38. Будут ли изоморфны группы а) ЯБз(3); б) 84; в) Аз? у дб. Подоруппы, порядок элемента еруппы 221 3 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы 56.1. Доказать, что во всякой группе; а) пересечение любого набора подгрупп является подгруппой; б) объединение двух подгрупп является подгруппой тогда и только тогда, когда одна из подгрупп содержится в другой; в) если подгруппа С содержится в объединении подгрупп А и В, то либо С С А, либо С С В. 56.3.

Найти порядок элелгента группы 2 3 1 5 4 (1 2 3 4 5 611 ) )12 3 4 5 1 6/ в) -е — 1 е С*,: -уг3 2 2 1 1 г) — — — 1 Е С*; ье2 кГ2 О 1 О О О О О О О 1 О 1 О О О е) е СЬэ(С); Лг Ф и) ~ ''' Е Сь„(С) О ... О Л„ где Лг,..., Л„разли гные корни к-й степени из 1. 56.4. Пусть р --- простое нечетное число, Х -- целочисленная квадратная матрица размера п, причем матрица Е+ рХ лежит в ЯЬ„(е') и имеет конечный порядок. Доказать, что Х = О. 56.5.

Доказать, что; 3 4 а) элемент — + -1 группы С* имеет бесконечный порядок 5 5 1 4 б) число — атагах — иррационально. и 3 56.2. Доказать, что конечная подполугруппа .любой группы является подгруппой. Верно ли это утверждение, если подполугруппа бесконечна? 222 Г ь Х!П. Группы 56.6. Сколько элементов порядка 6 содержится в группе: а) С'; б) Рз(С); в) Ял, г) Ал'? 56.7. Доказать, что во всякой группе: а) элементы х и уху " имеют одинаковый порядок; б) элелленты а?л и аа имеют одинаковый порядок; в) элементы худ и дух могут иметь разные порядки. 56.8.

Пусть элементы х и у группы С имеют конечный порядок и ху = ух. а) Доказать, что если порядки элементов х и у взаимно просты, то порядок произведения ху равен произведения>их порядков. б) Доказать,что существуют показатели к и ? такие, что порядок произведения хл у~ равен наименьшему общему кратноллу порядков х и у. в) Верны ли эти утверждения для некоммутирующих элементов х и у? 56.9.

Доказать, что: а) если элемент х группы С имеет бесконечный порядок, то х" = х' тогда и только тогда, когда Й = ?:, б) если элемент х группы С имеет порядок п, то хл = х~ тогда и только тогда, когда п~(й — ?); в) если элемент х группы С имеет порядок п, то хл' = е тогда и только тогда, когда п~К. 56.10. Докиэатлч что в группе Я„: а) порядок нечетной перестановки является четным числом; б) порядок любой перестановки является наименьшим общим кратным длин независимых циклов, входящих в ее разложение.

Характеристики

Список файлов книги