1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Доказать, что прямая и = ае + 1и либо целиком лежит на поверхности Х, либо пересекает ее ровно в одной точке. 52.10. Пусть и Е Г вектор неасимптотического направления квадрики Хе!, т.е. д(и) ф О. Доказать, что середины хорд квадрики Хо, параллельных вектору и, лежат в одной гиперплоскости, и найти ее уравнение. 52.11.
Доказать, что направление и не является асимптотическим для квадрики Л, заданной уравнением в аффинных координатах, и найти уравнение гиперплоскости, сопряженной к этому направле- никп 204 Гя. Х11. Аффиннвя, евняидово и нроентивноя ееоиетрия а) 'н = (1, 1, 1, 1), Х: хгхг + хгхз + хзг в — хг — хв = О; б) и = (1,0,...,0,1), 2 х;,хд+хо +хи = 1. ! < ~<в ен 52.12. Доказать, что если центр квадрики непуст., то он содержится в гиперплоскости, сопряженной к любому неасимптотическому направлению. 52.13. Доказать,что множество особых точек квадрики есть ее пересечение со своим центром.
52.14. Доказать, что особые точки квадрики, если они существунгт, образуют плоскость, и написать ее уравнения. 52.15. Найти гочки пересечения квадрики с прямой: а) хг н- х,хг — хгхз — бгз = О, г 5 — хг 10 — хз х~ 3 7 б) 5хг + 9хг + 9хзг — 12хгхг — бхгхз + 12х~ — Збхз = О, хг х" — ===хз — 4; 3 2 в) х~~ — 2хг г+ ха г— 2х~хе — хгхз+ 4хехз+ Зхг — бхз = О, хе+3 2 =хг, хз =О. 52.16.
Найти все прямые, яежащие на квадрике х, + хг + 5хз — бхгхг + 2хгхз — 2хгхз — 12 = 0 г г г и параллельные прямой хг — 1 хг+ 3 = — хз. 2 1 52.17. Найти прямые, проходящие через начало координат и лежащие на комплексной квадрике хг + Зхгхг + 2хгхз — хгхз + Зхг + 2хз = О. 52.18. Найти уравнение квадрики ('1 после переноса начала координат в точку О'. а) Я: х~~+5х.','+4хз+4хгхг — 2хгхз — 4хгхз — 2хг — 10хг+4хз = О, О' = (3,0,1); б) Я: хг + 2хг + хзг 4хгхг + бхгхз — 2хгхз + 10хг — 5 = О, О' = ( — 1,1,2). з 52.
Кзадрики 205 52.19. Найти аффинный тип кривой, являющейся пересечением квадрики и плоскости: а) Зхг + 4«гз -~- 24Х1 + 12хг — 72хз + 360 = О, хг — гг + хз = 1; б) хгг+ 5хг+ хз г+ 2хгтг + 2тгхз + 6«1хз — 2хг+ 6хг + 2хз = О, 2хг — хг+ хз = 0; в) х", — Зхгг + хгз — 6хгхг + 2хгхг — Зхг + хз — 1 = О,. 2х1 — Зхг — хз + 2 = 0; 1') Х1+ хг+ хз — 6:«1 — 2хг+ 9 = О, хг + хг — 2хз — 1 = О. 52.20. Найти аффинный и метрический типы квадрики, заданной в евклидовом пространстве К"т' уравнениями: а) ~ хг+ ~~> х,х +хг+х„1=0; 1=-1 1(1(г<п б) ~ хгх, +х1-~-хг+ ..+хч — — О.
1(с(1<и 52.21. Определить аффинный вид квадрики и найти ее центр: а) 4хгг+ 2хг1+ 12тз — 4хгхг+ 8хгхз+12хгхз+ 14хг — 10«г+ 7 = 0; б) 5тг + 9хг + 9хз г— 12хгхг — 6хгхг + 12х1 — 36хз = 0; в) 5хгг + 2х' + 2хг — 2хгхг — 4х хз + 2хгхз — 4хг — 4хз + 4 = 0; г) хг — 2хг + тгз + Охгхз — 4хгхз — 8хг+ 10хг = 0; Д) хг + 2х1хг + хг — хз + 2тз — 1 = 0; е) Зхг + Зхг + Зхг — 6хг + 4хг — 1 = О; ж) 3.
', +Зхг — 6хг+4хг — 1= О; з) Зхг+ Зхг Зхз бхг+ 4хг+4хз+ 3 = О; и) 4хг+ хг — 4хгхг — 36 = 0; к) х1+ 4хг 1+ 9хз г— бх1+ 8хг — 36хг = 0; л) 4Х,' — 4 — хз+32х, — 12хз+44= 0; м) Зхгг — хг 1+ Зхз г— 18хг+ 10хг+ 12тз+ 14 = 0; п) 6«г + бхз г+ 5«1+ бхг + 30хз — 11 = О. 52.22. Определить метрический тип квадрики в евклидовом пространстве и выяснить, является ли она поверхностью вращения; а) хг = 2хгхг; 6) хз = хгхг, в) хз г= Зхг + 4хг,' 206 Гл. ХП. Аффиннвя, евнлидово и проенепивнвя ееолеетрия г) хзг = Зх,'+ 4хгхг,. д) хз г— — хгг+ 2х~хг + хгг+ 1; е) хе + 4хг + 5хз г+ 4х1тг + 4хз = 0; ж) хг+ 2хг+ Зхг+ 4хз+ 5 = 0; 3) хз = х1+ 2хгхг +хг + 1; и) хг — 2хг+ хе + 4х~ хг — 8хехз — 4хгхз — 14хг — 14хг+ 14хз+ 18 = 0; к) 5хг+8х.-, '+5хз г— 4хгхг+8х1хз+4хгхз — бхг+бхг+6хз+ 10 = 0; л) 2хгхг + 2хгхз + 2хгхз + 2хч + 2хг + 2хз + 1 = 0; м) Зхе~ + Зхг г+ Зхз г— 2хг хо — 2хгхе — 2хгхз — 2хе — 2хг — 2хз — 1 = 0; н) 2х, + бхг + 2х,, + 8хгхе — 4хг — 8хг + 3 = 0:, о) 4хг+хд+4хг — 4х1хг — 8хгхз+4хгхз — 28х~ +2хг+16хз+45 = 0; п) 2х";+5хг+2хз г— 2хЧ~г — 4х,хз+2хгхз+2х~ — 10хг — 2хз — 1 = 0; Р) 7тг+7хгг+16хз г— 10хгхг — 8хзхз — 8хгхз — 16хз — 16хг — 8хз+72 = 0; с) 4х~+4х~ — 8хз г— 10хгхг+4хгхз+4хгхз — 16хг — 16тг+10хз — 2 = 0; т) 2х1 — 7хг г— 4хз -'е 4хчхг — 16хехз + 20хгхз + + 60хе — 12хг + 12хз — 90 = 0; у) 2х1хг + 2хгхз — 2хгхл — 2хгхз -Ь 2хгхл + + 2хзхл — 2хг — 4хз — бхл + 5 = 0; ф) Зхг + Зхг + Зхз + Зхл 2хзхг — 2хзхз — 2хзхл— — 2хгхг — 2хгхл — 2хзхл = 36.
52.23. При каких значениях параметра а квадрика хг~ + хг + хз + 2их1тг + 2агнхз + 2ахгхз = 4а является эллипсоидом7 52.24. При каком необходимом и достаточном условии два гиперболоида имеют общий асиъштотический конус'? 52.25. Найти аффинный и метрический типы квадрики, заданной в евклидовом пространстве йп+ уравнением а~х~+ 25 ~ ххг + 2с~х, = О, 1 <в<7<и в зависимости от значений параметров а, Ь и с.
52.26. Квадрика называется й-пяонорной, если через любую ее точку проходит хотя бы одна я-мерная пяоскость, целиком принадлежащая квадрикс, но никакая (Й + 1)-мернал плоскость не содержится в квадрике. Доказать, что: 1 5йз Коадрики 207 а) квадрика типа 1п, над К А-планарна, где Й = п11п(я,п — о); б) невырожденная квадрика типа 1, над К (л — 1)-планарна, если О < о < и/2, и (11 — а)-планарна, если в > и/2; в) невырожденная квадрика типа П„п над К я-планарна, если О < я < и/2, и (и — 1 — а)-планарна, если о > и/2. 52.27.
Выяснить, при каких значениях параметров а, Ь, с ф О на квадрике п и, 1 а~х,. +2Ь ~ хх +2с~х1=0 1=1 1<~<1<п 1=1 в пространстве Иптг лежит плоскость наибольшей размерности, и найти размерность этой плоскости. 52.28. Пусть (ег....., е„) базис векторного пространства Г над полем К характеристики, отличной от 2. а) Доказать, что при и = 4 все разложимые элементы е1 Л ог в г /1 Г удовлетворяют невырожденному однородному квадратичному урзвненикг Я(хо,..., ха) = О (коадрика Ллюккери). б) Доказать, что все разложимые векторы в пространстве Д' Г, 2 < р < и — 2, удоаяетворяют системе однородных квадратичных уравнений 1/Дхо,...,х(п) 1) = О.
в) Пусть на пространстве Г имеется невырожденная квадратичная форма Я. Тогда на пространстве /1" 1' лгожно ввести квадратичную форму Я1Р1 по формулам ,-)(О1 Фог, ) ". Ю(111,т ) афпг 1Р1 (е1 Л... Л гр) = ЙеС Жор,сг) О(с„ор) Доказать, что полученное продолжение формы Я на алгебру /цГ) является невырожденной квадратичной формой на /11Г).
г) Ориенгпацией п.-мерного векторного пространства с невырожденной квадратичной формой Я называется элемент 11 Е /1 Г, для которого Я1п1® = 1. Доказать, что если 11ее (~ является квадратом в 208 Гл. ХП. Аф1ринная, евклидова и нроентивная ееоиетрия поле К, то на И имеются ровно две ориентапии, и для любой из них (скажем, д) можно опродечить изоморфизм векторных пространств Лд . 'е' — 1 /Л И, удовлетворяющий соотношению и — 1 п 11 х = 1,?(и,.л,е'х)е1 = Я1" '1(лаи,х)е1, ь е /Л 1', х е ъ'. Я билинейная форма, соответствующая квадратичной форме ®). д) ИСпОльэуя иЗОмОрфивм Лд иЗ прЕдыдущЕгО пункта, ОпрЕдЕлим в случае ейп1 И = 3 билинейное отображение И х 1' -+ 12 с помощью формулы )х,у) = Л, (х д у), х,у Е 10 Доказать, что так определенное умножение в И наделяет И структу- рой алгебры Ли над К.
3 53. Проективные пространства 53.1. Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскости, переводящее заданные прямые в заданные прямые: а) х=Онох=О, 3=011т,=1; б) х + р = 1 «-» х = 1, х + у = 0 ~-~ у = О. 53.2. Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскости, переводящее заданные кривые в заданные кривые: а) хз + у' = 1 ~-~ у = х2 б) хе — у2 = 1 ~-~ х2 + у2 = 1. 53.3. Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскости, переводящее окружность ха + уа = 1 в себя и: а) точку (О, 0) в точку (1/2, 0); б) прямую х = 2 в бесконечно удаленную прямую.
53.4. Найти какое-нибудь проективное преобразование пространства, переводящее заданную квадрику в заданную квадрику: 2+ 2+ 2 1 2 б):еу = 2 1 ха + у2 — 22 = 1. В) „ 22 н, у 53.5. Найти максимальную размерность плоскостей, содержащихся в квадрике: а) хч+...+х1.— хьн1 —...— х„=1; 2 2 2 2 л оу. Проентивньн нроотронстви 209 б) ив + . + иь яььс ,л д,л з 53.6. Доказать, что над полем комплексных чисел любое проективное преобразование имеет по крайней мере одну неподвижную точку. 53.7. Доказать, что в вещественном проективном пространстве четной размерности любое проективное преобразование имеет неподвижную точку. 53.8. Доказать,что если проективное преобразование и-мерного проективного пространства над бесконечным полем имеет конечное число неподвижных точек, то это число не превосходит и + 1. 53.9.
Доказать, что для всякого конечного множества точек Л в проективном пространстве над бесконечным полем существует содержащая его аффинная карта А. 53.10. Доказать, что ля~бее (й — 1)-мерное подпространство в Р" можно покрыть й аффинными картами и нельзя покрыть меньшим числом аффинных карт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
