1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Доказать, что всякий линейный оператор А эрмитова пространства единственным образом представим в виде А = А1 +аАя, где А1 и Аз —. эрмитовы операторы. Глк Х. Метрические аекшорные вространскчса 172 45.18. Пусть А — вешественнал матрица Якоби, т.е. симметрическая матрица вида О сг~ Д 0 Р1 ог Фг О дг оз О О О ...
6к О О 0 ... а„ причем Зг..... З„г ф О. Доказать, что А не имеет кратных собст- венных значений. 45.19. Найти ортогональное преобразование, приводящее квад- ратичную функцию к главным осям; а) 6х1 -Ь 5г г гч- 7х~з — 4хгхг Ч- 4г гхг, б) 11х'-' + 5хг + 2хзг + 16хгхг + 4хгхз — 20хгхз' в) хг~ + хг г+ 5хз г— бхгхг — 2х,хз + 2хгхз., г) хг + хг + хг + 4х~ хг + 4х~хз + 4хгхз,. д) хг бхг+хг+4хгхг+2хгхз+4хгхз' е) 2хгхг — 6хгхз — 6хгхз + 2хзхз; ж) Зхг + 8хгхг — Зхг + 4хз 4хзхз + х1, з) хг + 2хг хг + хг — 2хз г— 4хзхз — 2хг~, и) Ох-,'+ 5хг+ 5хзг+ 8х'; + 8хгхз — 4хгхч + 4хзх4,' к) 4хг — 4хг г— 8хгхз + 2хг — бх~ ~+ 6хзхз + Зхг 45.20.
Доказать, что если 2'(х) = ~~ Л,х,, то з=1 гпах()Лг(,..., )Л„)) = шак (((х)!. ~с~=г 45.21. Привести эрмитову квадратичную функцию к главным осям: а) б~хг ~~ + гъуЗх~ хг — г ЯУгхг + 6~хг~г; б) 2(хг)г + (хг)г + 2гхгУг — 21хгхг + 2гУгхз — 2гхгУз,' в) ~хг ~г + 2~хг 1г + 3!хз ~~ — 2Угх + 2зхгУг + 2зхгхз — 2гхгхз. З 46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение 46.1. Доказать, что ортогональные (унитарные) операторы образуют группу относительно умножения. 46.2.
Доказать, что если оператор в евклидовом (эрмитовом) 1 46. Ортоеональные и унитарные операторы 173 пространстве сохраняет длины векторов, то он ортогоналон (унитарен) . 46.3. Доказать, что если векторы х и д евклидова (эрмитова) пространства имеют одинаковую длину, то существует ортогональный (унитарный) оператор, переводящий х в д. 46А. Пусть хы,,.,хь и ды... 2дь две системы векторов евклидова (эрмитова) пространства. Доказать.
что ортогональный (унитарный) оператор, переводящий х; в д; (1 = 1,..., Й), существует тогда и только тогда, когда (хо х;) = (до д.) при всех 2 и 1 от 1 до Й. 46.5. а) Пусть ю .—. ненулевой вектор евклидова (эрмитова) пространства. Для любого вектора х положим Г (х) =х — 2 ' и1. (х, ю) (ю, ю) Доказать, что Г,(ю) = — ю и Г,о(д) = д, если т, Е (ю) б) Пусть х, д .- ненулевые векторы евклидова (эрмитова) пространства, причем д ф (х).
Доказать, что найдется такой вектор ю,что 46.6. Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонаяьного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрипей: а) — 2 — 1 2 в) — 2 1 е)— 2 з) — — 1 2 2 1 1 ж)— 2 — 1 — 1 2 (~ 1 2 — 1 ); — иГ2 — 1 зГ2 — 1 0 з2'2 1 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 1 1 1 — 1 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 1 Гп. Х. Метрические аектнорные ллрастранстпеа 174 и) — 4 4 7; к) — 6 3 -2 1 1 0 ъ'2 т/2 1 4 1 3 на Зъ'2 Зъ'2 2 1 2 1 4 л) м) ъ'6 т/6 1 + 4 4 2 в1п о сова 1 4+ Зл 4л -6 — 2л в) — — 4л 4 — Зг -2 — бл 9 6+ 2л -2 — бл 1 тГ2 1 ~Г3 — 1 1 — л 1 2+ Зл — у'3 46.8. Доказать, что унитарная ълатрица порядка 2 с определите- лем, равным 1, подобна вешественной ортогональной матрице.
46.9. Доказать, что если А унитарный оператор в эрмитовом пространстве и оператор А — с обратим, то оператор л(А — с) л(А+с) эрмитов. 46.10. Пусть А -- эрмитов оператор. Доказать, что: а) оператор А — лЕ обратим; б) оператор В = (А — лЕ) (А+ лЕ) у.нитарен; в) оператор  — с обратим; г) А = л(Б — Е) 1(Н+ Е). 46.11. Доказать, что для всякого эрмитова оператора А оператор елл унитарен и, обратно, всякий унитарный оператор представим в виде е' ., где А эрмитов оператор.
46.12. Пусть Г евклидово пространство с базисом (ел, е, ез) и А - - ортогональный оператор в Ъ' с определителем 1. Доказать, что А = АкНвАле, 46.7. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицеи: у 46. Ортоеональные и унитарные операторы где А„и Аы повороты в плоскости (ем ее) на углы уо и ф, Во— поворот плоскости (ез, ез) на угол О. 46.13. Пусть 1' пространство эрмитовых матриц порядка 2 над полем 11 с нулевым следом и (Л, В) = ее АВ (Л, .В е у').
Доказать, что: а) К евклидова пространство с ортонормированным базисом Я О вЂ” 1 ' зу2 1 О ' ' е2 — 1 О б) оператор, определенный правилом Х ~-~ .4Х'.4 (Х Е Ъ'), где А - — унитарная матрица, является ортогональным; в) для всякого ортогонального оператора А в пространстве н' существует такая унитарная матрица порядка 2 с определителем 1, что А(Х) = АХ'.4 для всех Х е 'е'. 46.14. Доказать., что всякий ортогональный оператор А в евклидовом пространстве является произведением отражений относительно гипсрплоскостсй и минимальное число множителей равно коразмерности подпространства Кег(А — с ) . 46.15. Доказать, что если А, В положительныс самосопряжснные операторы, А = БС и оператор С ортогонален (унитарен), то С = Е.
46.16. Представить в виде произведения положительного само- сопряженного и ортогонального операторов оператор, заданный в некотором ортонормированном базисе матрицей: а); б); в) 4 4 -1 46.17. Доказать, что в разложении А = ВС оператора в евклидовом (эрмитовом) пространстве, где В неотрицательный само- сопряженный (зрмитов) оператор, С ортогональный (у.янтарный) оператор, оператор В определен однозначно.
46.18. Доказать, что для всякого унитарного оператора А и любого натурального числа а существует унитарный оператор В, являющийся многочленом от А и такой, что Вь = Е. Гп. Х. Метрические аентиоунме праетринппва 176 46.19. Доказать, что самосопряженный опоратор А положителен, когда козффициенты си,...,с„его характеристического полинома 1п + с~1п ' + ... + си отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки.
46.20. Пусть А, В - самосопряженные операторы, причем А положителен. Доказать, что собственные значения оператора АВ вещественны. 46.21. Пусть А положительный и В неотрицательный операторы. Доказать, что собственные значения АВ вещественны и неотрипательны. 46.22. Пусть А самосопряженный оператор. Доказать,что следующие ус ювия эквивалентны: а) все собственные значения А лежат в интервале [а, Ь); б) оператор А — ЛЕ отрицателен при Л > Ь и положителен при Л ( а. 46.23. Пусть А, В .
- самосопряженные операторы, собственные значения которых лежат соответственно в интерваиах [и, Ь) и [с, .д). Доказать, что собственные значения А+ В лежат в интервале [а + с, Ь+ е1). 46.24. Пусть А самосопряженный положительный оператор. Доказать, что оператор е положителен и самосопряжен. 46.25. Пусть А = ВИ полярное разложение оператора А, где В .. неотрицательный самосопряженный оператор, И унитарный оператор. Доказать, что А нормален тогда и только тогда, когда ВИ = ИВ. 46.26.
Пусть А = ВИ полярное разложение оператора А, где В неотрицательный самосопряженный оператор, И унитарный оператор. Предположим, что Лв » ... Ли > О --- собственные значения В. Рассмотрим в пространстве операторов норму, соответствующую согласно утверждению задачи 42.5, б) норме в эрмитовом пространстве. Доказать, что: а) [[А[[ = Лв, 1 1 б) если оператор А обратим, то Ли > 0 и [[А '[[ = —. Л„ 46.27.
Пусть А невырожденная квадратная комплексная матрица размера п. Рассмотрим систему линейных уравнений АХ = = Ь. Пусть Ла --- точное решение, Х~ --- приближенное, г = Ь вЂ” АХв-- я 46. Ортоеональньсе и рнитарньсе операторы 177 вектор невязки. Доказать,что )(Хо — Х~ ((, ((г(! 1~Х,!~ - '' 1~ЬГ 46.28. Пусть А -- квадратная комплексная матрица.
Доказать, что А = Г~РГе, где Гы Ге - унитарные матрицы, Р "- диагональная матрица. По главной диагонали Р стоят квадратные корни из собственных значений матрицы А 'А. 46.29. Пусть А = (а,, ) — комплексная квадратная матрица порядка в. Доказать, что: / и / п а) с1ес(А.'А) < ~ ~~о~с~ ... ~ ~а„,;~ б) !с1е1А! < пп7' (свах)оо!)"; в) указанная в б) оценка точная. 46.30.
Пусть А Е М„(С). Доказать, что А = ГЛ, где Г унитарная матрица, а Л вЂ” — верхнетреугольная. Если А Е М„(К), то .4 = ЯЛ, где с.,) ортогональная, а Л вещественная верхнетреугольная матрица. 46.31. Пусть А Е Мн(С). Доказать, что 'АА = 'ЛЛ, где Л верхнетреугольная матрица. Если А 6 М„(К), то Л можно выбрать из М„(Щ. 46.32. Доказать, что всякая унитарная матрица является произведением вещественной ортогональной и комплексной симметрической матриц. 46.33.
Пусть 1с -- комплексное векторное пространство со скалярным произведением (в поле С рассматривается тождественный автоморфизм). Доказать,что для любого симметрического оператора А в пространстве 1' существует жорданов базис,в котором матрица скалярного произведения клеточно-диагональна с клетками О О ...
О 1 О О ... 1 О О 1 ... О О 1 0 ... О 0 того же размера, что и жордановы клетки матрицы оператора А. 'с2 Л.И. Кострикии Глава Х1 ТЕНЗОРЫ З 47. Основные понятия В этом параграфе 12 -- и;мерное векторное пространство, и ) 2, (е1,...,ев) — базис Г, (е,...,ев) .— сопряженный базис пространства Ъ". 47.1. Какие из следующих тензоров, заданных своими координатами, разложимы: б) С' = б1,у; в) ру = 4+ у; а) 1,1 — — 42; г) 14 = 21+141 д) ф = б,.буе, .е) 111и = б41бугбл1? 47.2. Найти значение В(е,2) тензора Г = е З ез + ез З (е1 + Зез) е 711(1л) где е = е1 + Зез + 4ез, 1" = е' + ез + ез. 47.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
