1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 22
Текст из файла (страница 22)
43.20. Доказать, что если в процессе ортогонализации система векторов аг,...,п„ переходит в систему Ьг,...,Ь„, то вектор Ья есть ортогональная составляющая вектора аи относительно линейной оболочки системы аг,..., ая г (к > Ц. 4 3.21. Найти расстояние от вектора х до подпространства, заданного системой уравнений; 2хг + 2хз + хз + хя = О, а) т = (2, 4, О, -1), 2х| + 4хг + 2хз + 4хя — — 0; б) х = (3, 3, -4., 2)., ( тг + Зхг + хг — Зхя = 0; в) х = (3,3, — 1,1, — 1), 2хг — 2хз + Зхз — 2ха -р 2хз = 0; г) х = (3, 3, — 1, 1, — 1), хг — Зхз + 2хя — хз — — 0; д) х = (О, — г, 1 + 1), хг + гхг — (2 — г)хз = 0; е) х = (1, — 1,г), хг + (5 + 41)х — гез = О. 43.22.
Пусть (ег,..., еь) " ортонормированная система векто- ров п-мерного евклидова (зрмитова) пространства. Доказать, что для любого вектора х выполняется неравенство Бесселя ~((х,е;)! < 'рх5, Гв. Х. Метрические векторные пространства 160 причем равенство достигаотся для любого х тогда и только тогда, когда й = п, т.с. данная система векторов является ортонормированным базисом пространства Г (равенство Парсевал .) 43.23. Пользуясь неравенством Коши, доказать, что ь ~а,Ь; ~< ~ ~а;! !Ь;1 для любых комцяексных чисел ам.,,, аы Ьв,, .,, Ьы 43.24. Доказать, что квадрат расстояния от вектора х евклидова (эрмитова) пространства до подпространства с базисом (еы...,ее) равен отношению определителей 1 Рама систем векторов (ем..., еы х) и (ем..., еа). 43.25.
Доказать, что определитель Грана любой системы векторов: а) в процессе ортогонализации не меняется; б) неотрицателен; в) равен нулю тогда и только тогда, когда система линейно зависима; г) не превосходит произведения квадратов длин векторов системы,причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны или один из них нулевой. 43.26. Доказать, что определитель матрицы положитеяьно определенной квадратичной формы не превосходит произведения элементов ее главной диагонали. 43.27. Доказать,что для любой вещественной квадратной матрицы А = (а„.) порядка и, выполняется неравенство Адамара причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо и аьа ь =0 (1у =1,...,п, 1~у), ь=1 либо матрица А имеет нулевую строку.
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение длл комплексной матрицы А. з 43. Геомесприя метрических нроетранете 161 43.28. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника АВС в пространстве К': а) А = (2, 4, 2, 4, 2), В = (6, 4, 4, 4, 6), С = (5, 7, 5, 7, 2); б) А = (1, 2, 3, 2, 1), В = (3, 4, О, 4, 3), С = 1 + — т/788, 2 + — и'78, 3 + — и'78, 2 + — ь'78, 1 + — ъ'78 26 ' 13 ' 13 ' 13 ' 26 43.29. С помощью скалярного произведения векторов доказать, что: а) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон; б) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух друтих сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус утла между ними. 43.30.
Методом наименьших квадратов решить переопределенную систему линейных уравнений: 2хт — 5хз + Зхз + хя = 5, Зхс — 7х + Зхз — хя = -1, бхс — 9хз + бхз + 2хя = 7, 4хн — бхз + Зхз -ь хя — — 8. х1+ хз — Зхз = -1, 2хз + хз 2хз = 1, а) хз -'ехз-ьхз =3, б) хч + 2ха — Зхз = 1; 43.31. (и-мерная теорема Пафаеора.) Доказать, что квадрат диагонали и-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины. 43.32. Найти чисто диагоналей и-мерного куба, ортогональных данной диагонали.
43.33. Найти длину диагонали п,-мерного куба с ребром а и углы между диагоналями куба и его ребрами. 43.34. Найти радиус шара, описанного около п-мерного куба с ребром а, и решить неравенство В < а. А.И. Кострикин 43.35. Доказать, что длина ортогональной проекции ребра п-мерного куба на любую его диагональ равна 1/и длины диагонали. 43.36. Вычислить объем и-мерного параллелепипеда со сторонами: а) (1, -1, 1, -Ц, (1, 1, 1, 1), (1, О, -1, 0), (О, 1, О, -Ц; б) (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3), (О, 1, -1, 0); Гп. Х. Метрические векторные пространства 162 в) [1, 1, 1, 2, 1), (1, О, О, 1, -2), [2, 1, -1, О, 2), [0,7,3, — 4, — 2), (39, — 37,51., — 29,5);.
г) [1, О, О, 2, 5), (О, 1, О, 3, 4), [О, О, 1, 4, 7), [2, — 3, 4, 11, 12), [О, О, О,. О, 1). 43.37. Доказать, что для объема параллелепипеда выполняется неравенство Ъ'[аы...,ая,йл,...,61) < Г(аы...,аь) . 1'[6м...,6~), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда (ап 6:) = 0 при всех 1 и 1 43.38. Найти угол лсежду вектором х и подпространством Ь: а) Ь = [[3, 4, -4, -1),(0., 1, -1, 2)), х = [2, 2, 1, 1),: б) А = Я5, 3, 4, -3),[1, 1, 4, 5),[2, -1, 1, 2)), х = [1, О, 3, 0); в) Ь = [[1, 1, 1, 1),(1, 2, О, 0),(1, 3, 1, 1)), х = [1, 1, О, 0); г) Ь = [[О, О, О, 1),[ 1, — 1, - 1, 1), (-3, 3, 3, 0)), х = [1, 2, 3, 0).
43.39. Доказать, что если каждые два различных из й векторов евклидова пространства М образуют между собой угол я/3, то Й < с11пл 1'. 43.40. Доказать, что если каждые два различных из Й векторов евклидова пространства образуют тупой угол, то Й < 1+ с1пп1е. 43.41. Найти угол между диагональю и-мерного куба и его Й-мерной гранью. 43.42. Найти угол между двумерными гранялви аеалаг и аеазав правильного четырехмерного симплекса аоалаиагав.
43.43. Нанти угол между подпространствами Я1, О, О, 0), [О, 1, О, О, )), ([1, 1, 1, 1), (1, — 1, 1, — 1)). 43.44. Многочлены 7ло[х) = 1, Рл[х) = „„, „[[х — 1) '~ [й = 1,2,...,п) называютсл илногочленами Лехсандра. а) Доказать, что многочлены Лежандра образуют ортогональный базис в евклидовом пространстве 11[х)„со скалярным произведением 1 / У[х)Ых) Л . 2 СЗ. Геомегприя метрических пространств 163 б) Найти явный вид многочленов Ря (х) для 1 < 4. в) Доказать, что ЙеиР1(х) = Й, и найти развернутое выражение для Ря.
(х) при всех й. г) Вычислить длину лгногочлона Лежандра Ри (х). д) Вычислить значение Ри(1). е) Доказать, что при применении процесса ортогонализации к базису (1, х, хх,..., х") пространства Щ„получается базис, элементы которого лишь постоянными множителями отличаются от соответствующих многочленов Лежандра, и найти эти множители. 11 ж) Доказать, что интеграл / 11х)~ 11х, где 1(х) многочлен , — 1 степени и с вещественными коэффициентами со старшим коэф<11ициентом 1, достигает своего минимума 22п-~-1 (2п+ 1)(„") при 2п Пх) = (гт) Р (х) и 43.45.
В пространстве Ь ~х]п со скалярным произведением 1 в/ 1(х)д(х) сЬ найти: а) объем параллелепипеда Р(1,х,...,х"); б) расстояние от вектора т" до подпространства К]х]п 1. 43.46. В пространстве Е непрерывных функций на отрезке [ — 1г, гг] со скаиярным произведением Гк У р) = — / И)Ы1И1 найти проекцию функции 1 на подпространство 1с = (1,сое1,айп1,...,совп1,вгпп1). 43.47. Пусть 1' пссвдоевклидово пространство сигнатуры (р,ц) и И' — подпространство в 1г. Доказать, что: 164 Гп. Х. Метпричеение аентнорные праетпринетпва а) если скалярное произведение на И' положительно определено, то Йпт Ит ( р; б) если 1л, т) = 0 для любого л Е И', то т11пт И' ( ппп(р, т1).
43.48. Пусть на векторном пространстве задано невырожденное скалярное произведение сигнатуры (р, д) и ограничение его на подпространство И' невырожденное скалярное произведение сигнатуры (р', т1'). Доказать, что ограничение скалярного произведения на Лт'т невырождено и имеет сигнатуру (р — р', д — 4'). 43.49. Доказать, что в псевдоевклидовом пространстве сигнатуры (р, ф, где р и т1 отличны от нуля, существует базис, состоящий из изотропных векторов. 3 44. Сопряженные и нормальные операторы 44.1. Доказать следующие свойства операции перехода к сопряженному оператору в метрическом пространстве: а) А*'=А: б) (А+ В)* = А* + В*; В) (АБ)* = и'А"; г) (ЛА)' = ЛА', д) А'А н АА* - самосопряженные операторы; е) если оператор А невырожден, то (А )* = (А*) 44.2.
Найти матрицу оператора А* в базисе е метрического векторного пространства И, если оператор А имеет в этом базисе матрицу А, а скалярное произведение - матрицу С. 44.3. Пусть (емез) — ортонормированный базис метрического векторного пространства и оператор А имеет в базисе (ет,ет + ев) /1 2чт матрипу ~ ~. Найти матрицу оператора А' в этом базисе. 44.4. Найти оператор, сопряженный к проектированию координатной плоскости на ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей. 44.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
