1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Найти жорданову форму матрицы линейного оператора в комплексном векторном пространстве, имеющем талька одну инвариантную прямую. 10 Л.И. Кострикин 3 2 — 3 а) 4 10 — 12 3 6 — 7 6 — 9 5 4 7 — 13 8 7 8 — 17 11 8 1 — 2 1 3 Гл. 7Х. Линейные операторы 146 41.12. Доказать, что максимальное число линейно независимых собственных векторов линейного оператора А с собственным значением Л равно числу клеток с диагональным элементом Л в жордановой форме матрицы оператора А. 41.13. Доказать, что множество линейных операторов в и;мерном комплексном векторном пространстве, перестановочных с данным оператором А, является векторным пространством размерности > и.
41.14. Доказать, что если линейный оператор В в комплексном векторном пространстве перестановочен с любым линейным оператором, перестановочным с оператором А, то В --. многочлен от А. 41.15. Доказать, что если матрицы А и В удовлетворяют соотношению А — ВА = В, то матрипа В нильпотентна. 41.16. В пространстве комплексных многочленов степени не выше 2 по л и у действует оператор А: 7(л, д) — ~ 7" (х + 1, у + 1).
Найти жорданову- форму оператора А. 41.17. В пространстве комплексных полиномов от л, у степени не д д выше п действует оператор А = — -~- —. Найти жорданову форму А. =д др 41.18. Доказать, что любая матрица подобна своей транспонированной. 41.19.
В пространстве Мз(С) рассмотрим линейный оператор Вл(Х) = АЛ, где Х Е Мз(С) и А фиксированная матрица из Ма(С). Найти жорданову форму оператора Вл, зная жорданову форм1 А. 41.20. Доказать, что для любой невырожденной квадратной комплексной матрицы А и любого натурального числа к уравнение Х = А имеет решение.
41.21. Решить уравнения а)Х'= 3 1; б)Х 41.22. Используя жорданову форму и задачи 17.7 17.9, вычислить: — 3 ' б) 14 — 8 41.23. Найти минимальный многочлен диагональной матрицы с различными элементами на главной диагонали. ~ 41. Жординова форма 147 41.24. Найти минимальный многочлен жордановой клетки порядка и с числом о на главной диагонали. 41.25. Доказать, что минимальный многочлен клеточно-диагональной матрицы равен наименьшему обшему кратному минимальных многочленов ее клеток. 41.26.
Найти минимальный многочлен: а) тождественного оператора; б) нулевого оператора; в) оператора проектирования и-мерного пространства и' на й-мерное подпространство Е (О < й < и): г) оператора отражения; д) пильпотсптпого опоратора индекса й; е) оператора А нз 40.31, а); ж) оператора А из 40.31, б); з) оператора А из 40.32, а); и) оператора А из 40.32, б); к) оператора Хл из 40.40; л) оператора А из 41.16.
41.27. Найти минимальный многочлен матрицы б) — 5 7 — 5 41.28. Пусть линейный оператор А в базисе (е~,.еа,ез) пространства 1г имеет матрицу Найти минимальный многочлен д1г) оператора А и разложить пространство К в прямую сумму инвариантных подпространств в соответствии с разложениел~ минимального многочлена на взаимно простые множители. 41.29. Доказать, что минимальный многочлен матрицы порядка ) 2 и ранга 1 имеет степень 2. 41.30.
Что можно сказать о жордановой форме матрицы линейного оператора А в комплексном пространстве, если Аз = А ? 10* Гль 1Х. Линейные онериторы 148 41.31. Доказать, что некоторая степень минимального многочлсна матрицы делится на вй характеристический многочлен. 41.32. Доказать, что для подобия двух матриц необходимо, но не достаточно, чтобы они имели одинаковые характеристический и минимальный многочлены.
41.33. Доказать, что ес.яи степень минимального многочлена линейного оператора А равна размерности пространства, то всякий оператор,перестановочный с А, является многочленом от А. 41.34. Линейный оператор называется полдпроспзььи, если для любого инвариантного подпространства имеется инвариантное дополнитсльнос подпространство. Доказать,что: а) ограничение полупростого оператора на инвариантное подпространство также является полупростым оператором; б) линейный оператор полупрост тогда и только тогда, когда пространство является прямой суммой минимальных инвариантных подпространств; в) если для линейного оператора А существует разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств,на каждом из которых ограничение оператора А полупросто, то А полу- прост на вссм пространство.
41.35. Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора А в пространстве 1' является произведением взаимно простых многочленов де (л) и дя (х), то Ъ' может быть разложено в прямую сумму. двух инвариантных подпространств таких,что ограничения оператора А на зти подпространства имеют минимальные многочлены д~(х) и ди(л) соответственно. 41.36.
Доказать, что для любого линейного оператора существует такое разложение пространства в прямую сумму. инвариантных подпространств, что минимальные многочлены его ограничений на зти подпространства являются степенями различных неприводимых многочлснов. 41.37. Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора А является неприводимым многочленом степени Й,то для любого х ~ 0 векторы х, А:г,..., Аь ел составляют базис минимального инвариантного подпространства. )' 4К Жордивова форми 149 41.38. Доказать, что линейный оператор полупрост тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных ноприводимых множителей.
41.39. Доказать, что линейный оператор в векторном пространстве над полем К характеристики О полупрост тогда и только тогда, когда он обладает собственным базисом над некоторым расширением поля К. 41.40. Доказать, что сумма двух перестановочных полупростых линейных операторов над полем характеристики О явлнетсл полу- простым оператором. 41.41. Пусть А — линейный оператор в векторном пространстве над полем К характеристики 0 и К[А[ -- кольцо линейных операторов, представимых в виде многочленов от А. Доказать, что если минимальный многочлен оператора А питается степенью неприводимого многочлена р(х), то: а) элементы кольца К[А], делящиеся в этом кольпе на элемент р[А), образуют идеал 1, отличный от К[А[; б) для всякого оператора В Е 1 минимальный многочлен оператора А + В делится на р[т); в) существует оператор В е 1 такой, что минимальный многочлен оператора А+ В равен р(х). 41А2.
Доказать, что всякий линейный оператор А в векторном пространстве над полем характеристики О может быть представлен в виде суммы полупростого и нильпотентного операторов, являющихся многочленами от А. 41.43. Доказать,что всякий линейный оператор А можно единственным образом представить в виде суммы перестановочных полу- простого и нильпотентного операторов. 41.44. Доказатзь что если степень минимального многочлена д(х) линейного оператора А в векторном пространстве 1х над полем К равна размерности пространства и д(1) является степенью многочлена, неприводимого над К, то: а) Г нельзя разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств; б) 1' является циклическим относительно А.
41.45. Пусть Лы ...,Л„ собственные значенил матрицы А Е Е МпЯ Гл. 1Х. Линейные операторы 150 Доказать, что: а) для любого натурального числа а. лгАл = Лл+ +Лл б) коэффициенты характеристического полинома матрицы А являются многочленами от лг А,..., лг А"; в) если 11 А = Лг АЯ =... = Лг А" = О, то матрица А нильпотентна.
41.46. Пусть О О ... О 1 О О ... 1 О Е МпллС) О 1 ... О О 1 О ... О О 1 и Я = — ЛЕ+ 1В). Доказать, что для жордановой клетки ЛЛп, Л) Е лл2 Е М„(С) справедливо равенство 1 п — 1 ЯЯ(П,Л)В ' = ЛЕ+ — Чу ~ЕЛЗЫ1+ ЕЬЕ1 Л+1<Еи-ЛЕ-1.ЛЕ.1 — Еи-ЫЛ) . Л вЂ” -1 41.47. Доказать, что каждая комплексная матрица подобна силл- метрической.
2 42. Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы 42.1. Пусть К --- нормированное поле Лом, бб.35) с нормой ~т~. Доказать, что следующие функции в К" являются нормами; а) 0(ил,..., ии)0 = )ил(+... + )ии(, б) 0(ил,...,и,„)0 = лпахЦи1!....., (ии/); ) к»,, „В=~~" ~ + ..+~ .е. 42.2. Пусть 1< локально компактное нормированное поле, Ъ' конечномерное векторное пространство над К. Доказать, что любые у 42.
Нормированные вространсюва две нормы ~~т~~м ~~т~~з в 1' эквивалентны, т.е. существуют такие поло- неитечьные действительные числа Сы Сз, что для всех х Е 'т' С~!)т()~ ( ))л()з ( Сз()т((ы 42.3. Пусть К нормированное поле, 1г конечномерное векторное пространство с базисом (ем...,е,„). Пусть и„= т„~с~ +... ... + л„е е Ъ'., ж; е Л, и > 1. Доказать, что последовательность векторов жп сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности т„,; для 1 = 1,...,ев 42.4. Е1усть К ---.
полное нормированное поле и 1е -- - конечномерное нормированное векторное пространство над К. Доказать, что 1г полно. 42.5. Пусть К -- нормированное поле и 1г - нормированное векторное пространство над К. Обозначим через Е(1') множество всех таких линейных операторов А в Г', что число ЙА(т)Й ограничено, если ()тЙ = 1. Доказать, что: а) Ь(Ъ') подпространство в пространстве всех линейных операторов в Ъ'; б) А(1') является нормированной алгеброй с нормой ))А(! = впр ((А(ж))(; 1И=~ в) если Г конечномсрно, то Ц1~) -- пространство всех операторов в Г.
42.6. Пусть К нормированное поле и в К" заданы нормы а), б) из задачи 42.1. Доказать, что (согласно задаче 42.5) нормы в М„(К) = ЦГ) имеют вид: и и а) )!.4(! = щах (~ (аН!); б) )/А(! = пзах (~ (ан)). ж ~=1 42.7. Пусть Л нормированное поле. Для .4 = (ан) Е Ме(Е() положим и п а) еА~!~ = ~~', ~а„.~; б) ЙАЙе = ~~ ~амр; ь1=1 су=1 в) еАез = и щах (а; ). 1срэ<в Доказать, что каждая из этих функций задает в М„(К) стру.ктуру нормированной алгебры. Гл. 1Х. Линейные операторы 152 42.8. Доказать, что для любой матрицы А Е Мн(С) определены матрицы ел, япА, сов.4. 42.9. Пусть А Е Мп(С). Доказать, что: а) вш2А = 2япАсовА; б) е™ = совА+1вшА; 1;,1 в) вш.4 = — (е™ вЂ” е ел); г) совА = — (е" + с ел), 2 2 42.10. Если А, В е М„(С) и АВ = В.4, то елен = елен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
