1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Доказать, что подпространство 1х(А), состоящее из всех собственных векторов оператора А с собственным значением Л и нулевого вектора, инвариантно относительно лн>бого линейного оператора В,перестановочного с А. 40.8. Доказать, что для любой (быть может, бесконечной) совокупности перестановочных линейных операторов конечномерного комплексного пространства; а) существует общий собственный вектор; б) существует базис, в котором матрицы всех этих операторов верхние треутольные.
40.9. Доказать, что если оператор А' имеет собственное значение Л, то одно из чисел Л и — Л является собственным значением оператора А. 40.10. Доказать, что: а) коэффициенты сы.,.,сн многочлена )А — ЛК) = ( — Л)и+с,( — Л)" '+... +с„ являются суммами главных миноров соответствующего порядка матрицы .4; б) сумма и произведение характеристических чисел матрицы А равны ее следу и определителю соответственно. е 40. Собственные векторы 139 40.11.
Доказать, что всякий многочлен степени п со старшим коэффициентом ( — 1)" является характеристическим многочленом некоторой матрицы порядка и. 40.12. Доказать, что если А и В --. квадратные матрицы одинаковых порядков, то матрицы,4В и ВА имеют совпадающие характеристические многочлены. 40.13. Найти характеристические числа матрицы 'А А, где А матрица-строка (ам..., ан).
40.14. Доказать, что все характеристические числа матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырожденная. 40.15. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами: б) — 4 4 О д) 1 — 4 9 40.16. Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису над полем Н или над полем С; б) — 4 5 О а) — 3 5 — 1 в) 6 4 — 9 Найти этот базис и соответствуюп|ий вид матрицы. 40.17.
При каких условиях матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, элементов аы..., о„побочной диагонали, равны нулю,подобна, диагональной матрице? а) 5 — 3 3 4 — 5 2 в) 5 — 7 3, г) 6 — 9 4 1 1 г) 1 3 — 1 0 О 1 1 О О 3 О 5 — 3 4 — 1 3 — 1 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 — 1 1 Гл. 1Х. Линейные операторы 140 40.18. Для матрицы А порядка и, у которой элементы побочной диагонали равны 1, а остальные элементы равны нулю, найти такую матрицу Т, что матрица В = Т 'АТ диагональна. Вычислить матрипу В.
40.19. Доказать, что число линейно независимых собственных векторов линейного оператора А с собственным значением Л не больше кратности Л как корня характеристического многочлена оператора А. 40.20. Пусть Лы..., Л„собственные значения линейного оператора А в и-мерном комплексном пространстве. Найти собственные значения оператора А как оператора в соответствующем 2п-мерном вещественном пространстве. 40.21. Пусть Лы... «Лп корни характеристического многочлена матрицы А.
Найти собственные значения: а) линейного оператора Х « — > АЛыА в пространстве М„(е1); б) линейного оператора Х «-+ АХА «в пространстве М„[Щ (матрица А невырожденная). 40.22. Найти все инвариантные подпространства для оператора дифференцирования в пространстве К[х)„. 40.23. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов линейного оператора А инвариантна относительно А. 40.24. Доказать, что: а) ядро и образ линейного оператора А инвариантны относительно А; б) всякое подпространство, содержащее образ оператора А, инвариантно относительно А: в) если подпространство В инвариантно относительно А,то его образ и полный прообраз инвариантны относительно А; г) если линейный оператор А невырожденный, то всякое подпространство, инвариантное относительно А, инвариантно относительно А '. 40.25.
Доказать, что в и-мерном комплексногл пространстве всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство размерности и — 1. в 40. Собственные векторы 141 40.26. Доказать, что линейный оператс>р в векторном пространстве над полом К, имеющий в некотором базисе матрицу ив 1 О ... О ае 0 1 ... О а„г 0 О ... 1 ан 0 О ...
О где многочлен хн — агхн ' —... — а„вх — ан неприводим над К, не имеет нетривиальных инвариантных подпространств. 40.27. Пусть линейный оператор А в и-мерном пространстве имеет в некотором базис;е диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно А. 40.28. Найти все инвариантные подпространства для линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу, состоящую из одной жордановой клетки. 40.29. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей 40.30. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами 40.31.
В Н(х)„и С[х]„найти все подпространства, инвариантные относительно оператора: а) А(у) = х —; б) А(1) = — / 1'(1) сЬ. ф 1 Г' с1х е 40.32. В линейной оболочке функций (соа х, яп х,..., сових, яп пх) Гл. 1Х. Линейные операторы 142 найти все подпространства,инвариантные относительно оператора: а) А(7") = —; б) А(1) = / ~(1) Ф. 47' 40.33. Доказать, что еели для операторов А, В конечномерного векторного пространства 1' над полем С выполняются равенства Аа = Бз = Е, то в 1л сушествует одномерное или двумерное подпространство, инвариантное относительно А и В. 40.34.
Доказать., что комплексное векторное пространство, содержашее только одну прямую, инвариантную относительно линейного оператора А, нераааожимо в прямую сумму ненулевых подпространств, инвариаптных относительно А. 40.35. Найти собственные значения и корневые подпространства линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей: а) 5 — 7 3 б) 4 — 7 8 Π— 2 3 2 1 1 — 1 — 1 О О 2 О 1 — 1 О 1 40.36. Доказать, что линейный оператор в комплексном векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все его корневые векторы являются собственными. 40.37. Доказать, если что линейный оператор в комплексном векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу, то его ограничение на любое инвариантное подпространство Ь также имеет диагональную матрицу в некотором базисе подпространства 7..
40.38. Доказать,что всякое корневое подпространство линейного оператора А инвариантно относитштьно любого линейного оператора В,перестановочного с А. 40.39. Доказать,что если матрица линейного оператора приводится к жордановой форме, то всякое инвариантное подпространство является прямой суммой своих пересечений с его корневыми подпространствами. у 4б Жордивова форма 143 40.40. Пусть А Е М„(С). Рассмотрим в пространстве М„х (С) оператор Вл, где 7,л(Х) = АХ.
Найти собственные значения Вл. Найти корневые подпространства оператора Лл, где А -- верхне- треугольная матрица. 40.41. Пусть А Е М„(С), В Е М,„(С), причем А и В не имеют общих собственных значений. Доказать, что: а) если Х - матрица размера п х т и АХ вЂ” ХВ = О, то Х = 0; б) уравнение АХ вЂ” ХВ = С, где Х, С матрицы размера и х т, имеет и притом единственное решение. 40.42. Пусть А . линейный оператор в конечномерном комплексном векторном пространстве Г.
Доказать, что в 1' существует базис, в котором матрица оператора А верхнетреутольная. 40.43. Пусть А линейный оператор в конечномерном вещественном пространстве Ъ'. Доказать, что в Р существует базис, в котором матрица оператора А имеет блочно-верхнетреутольный вид И И где квадратные блоки Аы..., А„имеют размер не выше 2. 40.44. Пусть А,  — - линейные операторы в конечномерном комплексном векторном пространстве и ранг оператора А — ВА не превосходит 1. Доказать, что существует общий собственный вектор для А и В.
3 41. лКорданова форма и ее приложения. Минимальный многочлен 41.1. Найти жорданову 1 — 3 4 а) 4 — 7 8; б) 6 — 7 7 в) — 3 — 5 0 форму матрицы: (:-; ') г) 3 — 1 6 Глн 1Х. Линейные операторы -30 3 д) — 4 10 6; е) — 2 — 6 0 13 4 — 8 — 4 — 1 — 4 0 8 1 — 1 1 0 ... 0 0 0 1 — 1 0 ... 0 0 з) 0 0 1 — 1 ... 0 0 0 0 0 0 ... 1 — 1 О 0 О О ...
0 1 1 1 1 ... 1 1 и — 2 ... 1 и — 1 ... 2 п ... 3 0 1 1 ... 1 и) 0 0 1 ... 1 0 и к) 0 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 . п 0 1 О 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 1 2 0 ... 0 1 2 3 ... 0; м) л) 0 0 0 0 ... 1 1 0 0 0 ... 0 1 2 3 ... п о аы а1з ... а1„ 0 о ааэ ... аа„ н) 0 0 о ...
аеп, где аин азз,..., а„1 и:е= О. 0 0 0 ... о 41.2. Доказать, что жорданова форма матрицы .4+ оЕ равна А + оЕ, где А — - жорданова форма матрицы А. 41.3. Пусть А жорданова клетка порядка п с элементом о на главной диагонали. а) Найти матрицу 7'(А), где Дх) — — многочлен. б) Найти жорданову форму матрицы Аз. 3 — 1 9 — 3 0 0 0 0 1 — 7 — 7 — 1 4 — 8 2 — 4 з 4Е Жординова форма 145 41.4. Найти жорданову форму матрицы а О 1 О ... О 0 0 а 0 1 ... 0 О 0 О а 0 ...
0 0 0 О 0 а ... 0 0 О О 0 О ... а 0 О О 0 0 ... 0 а 41.5. Найти жорданову форму матрицы: а) Аа; б) А ~ (А невырожденная матрица); если А имеет жорданову форму Ау. 41.6. Найти жорданову форму матрицы А и выяснить геометрический смысл соответствующего линейного оператора А, если: а)Аз=Е; б)Аз=А. 41.7. Доказать, что всякая периодическая комплексная матрица подобна диагональной матрице, и найти вид атой диагональной матрицы. 41.8. Доказать, что матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее характеристические числа равны нулю. 41.9.
Доказать, что для всякого линейного оператора А ранга 1 в комплексном векторном пространстве существует такое число Й, что Аз = 1А. 41.10. Найти жорданову форму матрицы линейного оператора А и базис (ум...,1н), в котором А имеет эту матрицу, если в базисе (ем..., ео) оператор А задается матрицеи: б) — 3 — 3 3 О 1 — 1 1 — 1 2 — 1 1 — 1 1 1 Π— 1 1 0 1 41.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
