1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть 1' --. невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция, имеющая отрицательный индекс инерции, равный 1, и ф(и, и) < 0 для некоторого вектора и. Доказать, что ограничение 1" на любое подпространство, содержащее и, невырождено. 38.25. Пусть 1' — . невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве размерности ) 3. Доказать, что всякий изотропный вектор лежит в пересечении двух двумерных подпространств, на каждом из которых ограничение функции 1 невырождено. у 38. Симметрические фуиииии 38.27.
Найти положительный и отрицательный индексы инерции невырожденной квадратичной фу.нкции на 2п-мерном векторном пространстве, обладаюшем п-мерным вполне изотропным подпространством. 38.28. Пусть невырожденная квадратичная фу.нкция е1 на 2п-мерном пространстве 1' яааяется нулевой на и-мерном подпространстве П. Доказать, чтьи а) существует такое и-мерное. подпространство Г, что 1х = Ге 8 П', б) в некотором базисе функция е1 имеет вид хгхг + хзхе +... + хги ехги. 38.29. Доказать, что если в симметрической матрице некоторый главный минор порядка г отличен от ну.ля, а все окаймляющие его главные миноры порядков г+ 1 и г+ 2 равны нулю, то ранг этой матрицы равен г.
38.30. Доказать., что вешественная симметрическая (комплексная эрмитова) матрица А может быть представлена в виде А = еС - С (соответственно А = С . С), где С -- квадратная матрица, тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы А неотрицатсльны. 38.31. Найти размерность пространства симметрических билинейных функций от и переменных. 38.32. Сопоставим каждому (неориентированному) графу Г с вершинами пы..., и„квадратичную функцию и- и дг(х) = ~ а,,х;х„ се=! положив а; '2, если г =у, — 1, если пе и и соединены ребром, О, если и; и г не соединены ребром, 38.26. Доказать, что размерность максимального изотропного подпространства относительно невырожденной симметрической билинейной (эрмитовой) функции равна наименьшему из ее положительного и отрицательного индексов инерции. 1'л.
8111. Билинейнь~е и неидуатинные функции 132 и рассмотрим графы Е„...— о — о (и = 6,7,8), Ее .. (число вершин графа Г равно и., графа Г„равно и+ 1). Доказать, для графов Г„функция д1 положительно определена, а для графов Ги положительно полуопределена: е1г(х) > О для любого х. 38.33. Пусть д невырожденная квадратичная функция на пространстве Г над произвольным полем Р. Доказать, что если существует ненулевой вектор х Е Ъ', для которого е1(х) = О, то отображение у: 'и' -~ Е сюръективно. 38.34.
Пусть 1(х,у) . - эрмитова неотрицательно определенная функция, причем 1(е,е) = О для некоторого е ф- О. Доказать, что 1(е, 1) = О для всех 1. 38.35. Пусть 1(х, у) положительно определенная зрмитова функция, причем 1'(х,х) = 1'(у,у) = 1 для некоторого х, у ф О. До- казать, что ~,((х, у)~ < 1. Глава ГХ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 9 39, Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора 39.1.
Какие из следующих отображений в соответствующих векторных пространствах являются линейными операторами: а) х ~ — ~ а (а фиксированный вектор); б) х ~ — > х + а (а . — фиксированный вектор); в) х ~-~ ах (о . фиксированный скаляр); г) Х ~-1 (Х, а)Ь (Р Евклидава прОСтранетвО, а, Ь фикеирОванные векторы); д) х ~-~ (а, х)х (13 -- евклидова пространство, а — фиксированный вектор); е) 1(х) ~-~ 1(ах+ Ь) (1 Е И(х)„; а,Ь фиксированныс числа); ж) 3'(х) 1-1 3'(х+ 1) — 3 (х) (3' ь. 13[х)„); з) 1(х) ~-~ ~~~~(х) (1 Е Щх),); и) (х1,хз,хз) ~-~ (х1 + 2,хз + б,хз); к) (х1) х2 хз) ' 1 (х1 + 3хз~ х2~ т1 + хз) ~ л) (х1, хз, хз) 1 (х1, хз, х1 + хз + хз)2 39.2.
Доказать, что всякий линейный оператор любую линейно зависимую систему векторов переводит в линейно зависимую систему. 39.3. Доказать, что в и-мерном пространстве для лнзбой линейно независимой системы векторов а1,..., а„и произвольной системы векторов Ь1,..., Ь„найдется единственный линейный оператор, переводящий а, в Ь, (1 = 1,..., и). 39.4. Доказать, что в одномерном векторном пространстве всякий линейный оператор имеет вид х ~-~ ох, где о . некоторый скаляр. Гл. 1Х. Линейные операторы 39.5. Найти образы и ядра линейных операторов из задачи 39.1. 39.6.
Доказать, что оператор дифференцирования: а) является вырожденным в пространстве многочленов стспе- НИ (77: б) является невырожденным в пространстве функций с базисом (сов г, яш 39.7. Доказать, что всякое подпространство векторного пространства является: а) ядром некоторого линейного оператора: б) образом некоторого линейного оператора. 39.8. Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равныс ядра и равныс образы, то онн персстановочны. 39.9. Пусть А Е-линейный оператор на подпространстве 1, пространства 17, отличном от Ъ'. Доказать, что существует бесконечно много линейных операторов на 17, .ограничение которых на подпространство Ь совпадает с А, при условии, что поле Е бесконечно.
39.10. Пусть А линейный оператор в пространстве Ъ", 1, подпространство 1'. Доказать,что: а) образ А(Ц и полный прообраз А г(Ц являются подпространствами в 17,: б) если оператор А невырожденный и Ъ' конечномерно, то СйгпА(е) = СйгпА (1) = дйп7Ь. 39.11. Пусть А -- линейный оператор в пространстве 17, Ь--- подпространство 1' и Ь С1 КегА = О. Доказать, что любая линейно независимая система векторов из Ь оператором А переводится в линейно независимую систему.
39.12. Доказать для линейных операторов А, Б, С неравенство Фробениуса 71с(БА) + гй(АС) ( гйА+ 71с(ПАС). 39.13. Линейный оператор А называется гесеедоотраженнел7, если гй(А — Е) = 1. Доказать, что в п-мерном пространстве всякий линейный оператор является произведением не более чем п псевдоотражений. з 39. Матрица оператора 135 39.14. Доказать, что для линейного оператора А в и-мерном пространстве множество операторов Х таких, что АХ = О, является векторным пространством, .и найти его размерность. 39.15.
Найти матрицу оператора: а) [х«,хг,хз) « — «[х«,х«+ 2хг, хг+Зхз) в пространстве Кз в базисе из единичных векторов: б) поворота плоскости на угол о в произвольном ортонормированном базисе; в) поворота трехмерного пространства на угол 2я««З вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями х« — †= хз, в базисе из единичных векторов осей координат; г) проектирования трехмерного пространства на координатную ось вектора ег параллельно координатной плоскости ««актеров е«и ез в базисе [е«,ег ез)' д) х « — «[х,а)а в евклидовом пространстве в ортонормированном базисе [е«, ег, ез) при а = е« вЂ” 2ез в указанном базисе: /а й е) Х « — ««у у«Х в пространстве Мг[К) в базисе из матричных единиц; «'а Й ж) Х «-«Х [ «в пространстве Мг[К) в базисе из матричных единиц; з) Х «-« 'Х в пространстве Мг[К) в базисе из матричных единиц; и) Х «ч АХВ [А, В -- фиксированные матрицы) в пространстве Мг(К) в базисе, состоящем из матричных единиц; к) Х «-+ .АХ + ХВ [А, В фиксированные матрицы в пространстве Мг(К) в базисе из матричных единиц; л) дифференцирования в пространстве К[х)„в базисе [1,х,...
..., х"): м) дифференцирования в пространстве К[х[п в базисе [х", и — 1 ц. н) дифференцирования в пространстве К[х[„в базисе с 1)г [ . 1)п 2 ' ' и! 39.16. Доказать, что в пространстве Кз существует единственный линейный оператор, переводящий векторы (1, 1, 1), [О, 1, 0), [1, 0,2) соответственно в векторы [1,1, Ц, [О, 1,0)«[1,0, 1), и найти Гл. 1Х. Линейные операторы 136 матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных век- торов. 39.17. Пусть векторное пространство Ъ' является прямой суммой подпространств 7,1 и 7 3 с базисами (о1,..., ое) и (оьт1,..., о„). Доказать, что проектирование на Х,1 параллельно 7,3 является линейным оператором, и найти его матрицу в базисе (о1,..., о„).
39.18. Найти общий вид матриц линейных операторов в и-мерном пространство, переводящих задвинью линейно независимые векторы а1,...,о1 (Ь < и) в заданные векторы Ь1,...,Ь1 в базисе вида (а1,..., оы аьт1,., ., а„). 39.19. Пусть линейный оператор в пространстве 1' в базисе (е1, е4) имеет матрицу 0 1 5 4 3 2 6 1 Найти матрицу этого оператора в базисах: а) 1е2 1.1 ез е4) б) (е1, е1+ея, е1+е2+ее, е1+е3+е3+е4).
39.20. Пусть линейный оператор в пространстве Щ3 имеет в базисе (1, х, хя) матрицу Найти его матрицу в базисе (3хэ + 2х + 1 х3 + 3х + 2, 2х2 + х + 3) 39.21. Пусть линейный оператор в пространстве К3 имеет в базисе Я8, — 6, 7), ( — 16, 7, — 13), (9, — 3, 7) ) матрицу -1 -22 20 я 40. Собственные векторы 137 Найти его матрицу в базисе ((1,-2,1), [3,-1,2), (2,1,2)). 39.22. Пусть линейный оператор А в а-мерном векторном пространстве 1е переводит линейно независимые векторы аы.,., ан в векторы Ьы..., Ь„соответственно. Доказать, что матрица етого оператора в некотором базисе е = (еы ..,, е„) равна ВА ', где столбцы матриц А и В состоят соответственно из координат заданных векторов в базисе е.
39.23. Найти общий вид матрицы линейного оператора А в базисе, первые й векторов которого составляют; а) базис ядра оператора А; б) базис образа оператора А. 39.24. Доказать, что если 7" [1) = 71(1)1з[1) - разложение много- члена Я) на взаимно простые множители и для линейного оператора А выполняется равенство 7"[А) = О, то в некотором базисе мат- 7А, 01 рица оператора А имеет вид ] ~, где 11(А1) = О, 1">[Аз) = О.
[,О .'Ц 3 40. Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства 40.1. Найти собственные векторы и собственные значения: а) оператора дифференцирования в пространстве й[х]н; б) оператора Х ьв 'Х в пространстве М„(К); с) в) оператора х — в пространстве Щ„; г) оператора — / 1(с) Й в пространстве К[х]„; о 1иУ д) оператора у ~-» в линейной оболочке с1х и (1, соя х, сйп х,..., соя опх, я1п цех); е) оператора 7' — > / 1(1)Ж в линейной оболочке (соя х, сйп х....., соя тпх, яш тх) . Гл. 1Х.
Линейные операторы 138 40.2. Доказать, что в пространстве К[х]н линейный оператор 1 ьз 1'(пи+ Ь) имеет множество собственных значений 1, а,..., а". 40.3. Доказать, что собственный вектор линейного оператора А с собственным значением Л является собственным вектором оператора 1(А), где 1(1) многочлен с собственным значением 1(Л). 40.4. Доказать, что если оператор А невырожденный, то операторы А н А 1 имеют одни и те же собственные векторы. 40.5. Доказать, что все ненулевые векторы пространства являются собственными для линейного оператора А тогда и только тогда, когда А опоратор подобия т. ~ — > ои, где о некоторый фиксированный скаляр. 40.6. Доказать, что если линейный оператор А в и-мерном пространстве имеет п различных собствонных значений, то любой линейный оператор, перестановочный с А, имеет базис, состолщий из его собственных векторов. 40.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
