1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 13
Текст из файла (страница 13)
+ ( — 1)я 'Ьн ,п7 + ( — 1)ьйь = О, й > 1; в) каждый симметрический многочлен является много ыеном от Ь„...,Ь„. 31.29. Разбиением число п, назовем набор Л целых неотрицательных чисел Л = (Лм...,Л„), где Лс + ... + Лн = п и Лс > Ле > ... ... > Л„> О. Пусть р(п) число разбиений числа н. Доказать, что т>0 н>о 31.30. Пусть о = (ам...,о„), ос > ая » ... о„> О набор нату ральных чисел. Положим (х1.....,хн) = ~ (яда~)~ ', ...х "„.
сея 7 Л.И. Кострнкин 1'л. У1. Мноеочлены Доказать,что о~ о~ 3 ''' и а) а„(хы..., тн) = еуее х" ... хны а„ б) если б = 1и — 1, и, — 2,..., 1, О), то ае (хи..., хн) -- определитель Вандермонда от х„,..., хе, 31.31. Пусть Л = (Лы..., Л„) -- разбиение некоторого натурального числа Л. Положим о~ : Лг + п 1 для всех 1, б из зада еи 31.30. Пусть 8т(хы..., х„) = —. ае Доказать, что: а) плоты . хн) целочисленный симметрический многочлен; б) Бтры..., х„) при всех Л = (Лы, Л„) образуют базис линейного пространства симметрических многочленов от хе,..., х: в) если Л = (1,..., 1), то Ят(хы..., х„) = он; г) если Л = (и, 0..., О), то Ят(хы..., хн) = Ь„(сьь 31.28).
31.32. Доказать, что: а) П (1 — у,) ' =,> 8л (хм хьч . ") БАЕВ, уе,...); е.1=1 л П б) П (1+хеУе) = ~~л(х~ хы ..)~л (У~~Усн . )~ ну=1 л где суммирование ведется по всем разбиениям Л = (Лы..., Лн), Л' сопряженное разбиение, т.е. Л'; -- число таких 1, что Л. > 1, 31.33. Доказать, что оь (х,рПУы..., х,бр Уо) = пь (хы..., х„) оь (Уы..., Ун).
еея 31.34. Пусть à —. поле дробей кольца целочисленных симметрических многочленов от хе,,,.,хн, Доказать, что Р совпадает с подполем в аахм..., хн), состоящим из всех симметрических рациональных дробей. З 82. Рззуныаинт н диснднлннаннн 3 32. Результаит и дискримииаит 32.1. Вычислить результант многочленов: а) хз — Зхз+ 2х+ 1 и 2хз — х — 1; б) 2хз — Зхз 4-2т+ 1 и хз+х+3; в) 2хз — Ззл — х Ф 2 и х4 2хз — Зх+ 4 г) Зхз+2х2+х+1 и 2хз+х2 — х — 1; д) 2х4 — *'+ 3 Зхз — *'+ 4. 32.2. Найти все значения Л, при которых имеют общий корень многочлены: а) хз — Лх+ 2 н хз + Лх+ 2; аз+ Лхз — 9 и хз+Лх — 3 в) хз 2Лт4 Лзх и хз+Лз 2 32.3. Исключить х из системы уравнений: а) 2 2 ' б) < ,гз тз + дз х — хд — д +у — О, 2, + 2 + х — д' = 1; < дз — 7ху + 4хз + 13х — 2д — 3 = О, В) 2 у — 14ху+ 9х + 28х — 4д — 5 = О; < дз+ хз — д — Зх = О., Г) 2 2 д — 6хд — х + 11у + 7х — 12 = О; < 5уз — бху -~- 5хз — 16 = О, 2 2 д — ну + 2х- — д — х — 4 = О.
32.4. Доказать что ЕЦ дздн) = ЕЦ дз)71(1.дн). 32.5. Найти результант многочленов Фн и х"' — 1. 32.6. Найти результант многочленов Ф„и Ф,. 32.7. Вычислить дискрнминант многочленов; а) ахз + бх + с: б) хз + рх + 55 в) хз + аз хе + а х + аз, г) 2х4 — хз — 4хХ2+ х, + 1; ) 4 .3 3.2+ 1'л. И. Мнозггчлены 32.8.
Найти все значения Л, при которых имеют кратный корень многочлены: а) хз зх+Л. б) х" 4; +Л. в) хз — 8хз + (13 — Л) х — (6 + 2Л); г) х~ — 4хз + (2 — Л)х + 2х — 2. 32.9. Доказать, что Р[(х — а)у(х)) = Р[у(х)) ° ((а)з. 32.10. Вычислить дискриминант многочленах" '+хв з+...+1. 32.11. Вычислить дискриминант многочлена Фв(х).
32.12. Вычислить дискриминант многочлена х хз хп 1+ — + — +...+ —. 1! 2! гг,! 32.13. Пусть г" и д -" неприводимые многочлены. Доказать, что Р09) = РУ)РМ[НУ,И-'. 32.14. Пусть |, й -- натуральные числа и д = (г, й). Доказать, что тг(хз — аг, х~ — Ь~) = ( — 1)г(ег~~ — ог~~ )~. 32.15. Пусть и > 1 > 0 и г1 = (п, к). Доказать, что Р(хп+ охь + ь) ( 1)а(в — 1)з 'г ь — гх х [и"" (г(" ")" — ( — 1)"" ( — йУ" ~гл Ь " 32.16. Вычислить дискриминант многочлена х" + а. 32.17.
Вычислить дискриминант: 4п а) многочленов Эрыита 1'„(х) = ( — 1)"е~ ~ — (е и ~ ); и х г~ и — ж б) многочлснов,Лагерра Р„(х) = ( — 1)"е' (х"е ~); дх" х'г в) многочленов Чебышева 2 соя [пагссоз — гг. '2) л 33. Распределение корней 3 33. Распределение корней 33.2. Составить ряд Штурма для вещественного многочлена хл — 5ахз + балх+ 2Ь.
В зависимости от знака числа ае — Ьз найти число вещественных корней много*щена. 33.3. Составить ряд Штурма для вещественного многочлена х" +рх+!1. В зависимости от четности и знака числа с1 = — (и — 1)" ' х хр" — ипс1п ' найти число вещественных корней многочлена. 33.4. Составить ряд И!турма и найти число вещественных корней многочлена у ха хп Е„(х) = 1+ — + — -Ь... + —. 1! 2! и.' 33.5. Доказать, что многочяен сл — 31+ г не может иметь более одного вещественного корня в интервале [0,1]. 33.6.
Предположим, что все корни многочлена 7(х) Е !а[х) вещественны, т.е. У(х) = а(х — а!)"' ... (х — а )~-, а ф О, где а, < аз «... а Доказать, что; а) 7 (х) = иа(х — а!) ' ... (х — а„,)~ с(х — Ь,) .. (х — Ь,), где а! < Ь! < аз < Ьз «... а„,, < Ь„, ! < а„,: б) если число й не превосходит степени многочлена 7'(х), то кратными корнями Ь-й производной 7"!"!(х) являются числа ао Ь, ) 1с+ 2, и только они; в) если 7(х) = с„хп + с„ !хп ' + ... + се, где с„ Р! О и сь = сь,! ††= О для некоторого 1с = О,...,и — 2, то се — — с! — †... — — сь = сь е! — — О.
33.7. Пусть р(х) = Ь„хп + ., + Ье . вещественный многочлен, причем Ь„,Ьа ф О и Ьь = Ььл, —— О для некоторого Ь = 1,...,и, — 2. Тогда не все корни д(х) вещественны. 33.1. Составить а) х~ — Зх — 1; в) хз — 7х+ 7; д) ха +Зх — 5; ж) х" — х — 1; и) хе+ха — 1; ряд Штурма и отделить корни многочленов: б) хз + хз — 2х — 1; г) хз — х+5; р) хл 12хз 1бх — 4 з) 2хл — 8хз + 8хз — 1: к) хл, 4хз рл. 17. Многочлены 102 33.8. Доказать, что у вещественного многочлена а„х" +и ~хн +.,.+азхз+х +х+1, анфО, не все корни вещественны.
33.9. Доказать, что все комплексные корни г многочлена пх" — х" 1 — ... — 1 удовлетворяют условию ]г] < 1. 33.10. Доказать, что все положительные корни многочлена у (х) = х(х + 1) (х + 2)... (х + и) — 1 меньше 1/п!. 33.11. Доказать, что многочлен х~ — бхз — 4хз — 7х + 4 не имеет отрицательных корней. 33.12. Сколько корней многочлена хв + 6х + 10 лежит в каждом квадранте комплексной плоскости'( 33.13. Пусть п1 «... пь †. натуральные числа. Доказать, что многочлен 1+ хн' +... + х"' не имеет комплексных корней г с усло- Л-1 вием ]г] < 2 33.14. Доказать, что все комплексные корни многочлена х"т'— — ахн + ах — 1, где а, — — вещественное число, имеют модуль 1.
33.15. Пусть к натуральное число и ]а,] < к при г = 1,..., п. Доказать, что тогда для любого корня г многочленап„хо+...+а1х+1 1 имеем ]г] > к+1 33.16. Доказать, что если все корни многочлена у(х) Е С[х] расположены в верхней полуплоскости, то все корни ('(х) лежат в той же полуплоскости. 33.17. Доказать, что если В выпуклая область комплексной плоскости, содержащая все корни многочлена 1(х) Е С[х], то все корни у'(х) лежат в 22.
33.18. Пусть дана последовательность вещественных многочленов уе, ум..., 7„с положительными старшими козффициентами, причем: степень 7ь равна Й = О,...,п; Уь = аьЛ: — 1 — сь,(ь г, где высь —. вещественные много елены, причем сь(г) > О для всех г Е К при к > 2. Доказать, что; а) корни всех многочленов )ь вещественны; 103 й 33. Распределение корней б) медкду двумя корнями многочлена у» есть корень лдногочлена уе д. 33.19. Определить число вещественных корней: а) многочлена Эрмита ( — цвел ~ — е ЕЬн у' б) многочлена Лагерра д — Ц" е* дл" е *).
Цло 33.20. Определить все многочлены с коэффициентами ~1, имеющие только вещественные корни. ЧАСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Глава Ъ'И ВККТОРНЫК ПРОСТРАНСТВА В этой главе координаты вектора записываются в строку. Базис пространства, состоящий из векторов ем е, ..., е„, записывается строкой (ем ее,..., е„), а при переходе к матричной записи координаты базисных векторов располагаются в столбец.
Митприцей переходи от старого базиса к новому базису (ем ез,..., е'„), называетсЯ матРиЦа Т = (Е, ), в столбЦах котоРой стоЯт координаты новых базисных векторов в старом базисе. Таким образом, (е„ез,..., е„) = (е~., ез,..., е„) Т, а координаты вектора х в старом и новом базисах связаны равенст- в вами х, = ~„1 Е, х'., или, в матричной записи, хе хз хз 3 34. Понятие векторного пространства. Базисы 34.1. Пусть х, у векторы, а, Д вЂ” скаляры. Доказать, что: а) ах = О тогда и только тогда, когда а = О или х = О:, б) ох+фу = Дх+ау тогда и только тогда, когда о = Д или х = р.
34.2. При каких значениях Уп д Ц. Пвилтив векдиврнвгв првспдринвпдви. Бииивы 105 а) из линейной нозависимости системы вектоРов 1ад, ад) вытекает линейнаЯ независимость системы 1Лад + ад, ад + Лаз?: б) из линейной независимости системы 1ад,..., аи) вытекает линейнав независимость системы ~од+им ив+ив, ..., и„д+и„, и„+Лед)? 34.3.
Доказать линейную независимость над К систем функций: а) ашх, совх; б) 1, япх, совх; в) япх, вш2х, ..., япах; г) 1, совх., сов 2х, ...., совддх; д) 1, совх, япх, сов2х, яп2х, ..., совах, япах; е) 1, вшх, яп х, ..., вш" х; ж) 1., с05х., сов х, ..., сов х. 34.4. Доказать линейнукд независимость над К систем функции: а) е""., е"в" ... е""' б) х ', х ', ..., х""; в) (1 — адх) ',..., (1 — аих) где ад,, .., а„попарно различные вещественные числа. 34.5. Доказать, что в пространстве функций одной вещественной пеРеменной вектоРы уд,...,?„линейно независимы тогДа и только тогда, когда существуют числа ад,..., аи такие, что Нед 11,(ад)) ф О. 34.6.
а) В векторном пространстве 1т над полем С оддределим новое умножение векторов на комплексные числа по правилу а и х = ах. Доказать, что относительно операций + и и пространство 1д,является векторным. Найти его размерность. б) Пусть С" абелева группа всех строк (ад,..., а„) длины и, а, Е С. Если 6 Е С, то положим бв (пд,..., аи) = (ддад,..., бои). Является ли С" относительно операций + и и векторным пространством? 34.7. Доказать, что: а) группа К не изоморфна аддитивной группе никакого векторного пространства; б)группа вычетов Хд, изоморфна аддитивной группе векторного пространства над некоторым полем тогда и только тогда, когда и— простое число; в) коммутативную группу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
