1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 26
Текст из файла (страница 26)
49.10. Найти систему уравнений и параметрические уравнения, задающие ас)вфинную оболочку множества: а) (-1, 1, О, 1),(0, О,. 2, О).,(-3, -1, 5, 4),(2, 2, -3, -3); б) (1, 1, 1, -1),(0, О, 6, -7),(2, 3, 6, -7),(3, 4, 1, -1). 49.11. Пусть а; = (оп,..., аы) (1 = 1,..., в) — точки в п-мерном аффинном пространстве. Доказать неравенства т1с(ам) — 1 ( с1пп(ас,..., и,) ( г1с(а, ) и указать условия, при которых левые неравенства превращаются в равенства. 49.12.
Доказать, что любые две прямые в аффинном пространстве содержатся в трехмерной плоскости. 49.13. Пусть Р, = ас + Ам Рз = аз + Аз двс плоскости в аффинном пространстве. Доказать, что: а) Р, П Ря = о тогда и только тогда., когда оспа ф Лс + Лз,. б) если Рс Г1 Рз 7'- Я, то с11ш(Р, С.1 Рз) = с)шс Р, + с1пп Ра — с1цп(Рс Г1 Рз); в) если Р, П Рз = Ы, то ббш(Рс С1 Р») = с11ш Рс + с1пп Ря — с1пп(Ас П 7 з) + 1. 49.14. Доказать, что для любых плоскостей Р„..., Р, аффинного пространства с!пп(Рс С1... С1 Р;) < с1пп Рс +...
+ с1пп Р, + в — 1. 186 Гя. ХП. Афо»анния, евклидова и проентивнвя зеоивтрия 49.15. Доказать, что степень параллельности двух непересекающихся плоскостей Ры Рг равна: а) наибольшему из чисел Л, для которых существуют параллельные плоскости Яг С Р, и Яг С Рг размерности к; б) наибольшей размерности плоскости, содержащейся в Рг и параллельной Рг, если Йпг Р, < с1пп Р . 49.16. Найти размерность аффинной оболочки объединения плоскостей Р~ и Р» и размерность их пересечения или степень их параллельности, если: а) Р,: Зхз+2хг+2хз+2хв =2, 2хз+Зз:г+2хз+5хв = 3, 2хг+ 2хг+ Зхз+4хл = 5, бхг — хг + Зхз — бхз = 2, Рг гп = — 6+ 41, хг = 2+31, в) Р,: Рг 49.17.
Пусть Рз = а» + Х,з и Рг = аг + 1,г две непересекающиеся плоскости. Доказать, что минимальная размерность плоскости, содержащей Р, и параллельной Рг, равна Йп»Р» + ЙшРг — Йш(Ь» рз 5г). 49.18. Пусть Ры Р две плоскости в аффинном пространстве А над полем К, (Рз 'с» Рг) = А, Рг П Рг — — к» и пусть Л - фиксированный элемент из К, .Л ф О, 1. Найти геометрическое место точек Лаз + (1 — Л)а», где аз и а» пробегают соответственно Р, и Р».
49.19. Пусть Р, = аз+Аз и Рг = аз+Аз скрещивающиеся плоскости в аффинном пространстве. Доказать,. что для любой точки 2хз +Зхг+4хз+бхв = 6, б) Рз. 4хз + 5хг+4хз+Зхя = 2, хз — — 1 — 1ы х» = 1 + 21г + Сг, хз = 1 — 211 + 21г хл = 1 + 1» + 1г', Зхз = 1+ 21ы х» = 3+ 21г, хз = 5+ 41» хя = 4+ 31г + 21» х» = 2-ь 1~ -ь 2»г, хз =2+71, хл = — 2+ 51, хз = — 3+36 З 49. А1ря»инне»е пространства 187 Ь ф Р1 'с»' Рг существует не более однои прямой, проходящей через Ь и пересекающей Р, и Р», причем такая прямая существует тогда и только тогда, когда Ь б (Р1 12 Р»), но а15 ф 51 + 12 и агЬ 1р 11 + 52.
49.20. Найти прямую, проходящую через точку Ь и пересекан»- щую плоскости Р1 и Рг. а) Ь= (6,5,1,— Ц, хз = 4+1, — х1 + 2хг+хз = 1, 1 х1 + Х4 = 1, 12 ° б) Ь = (5,9,2,10,10), Х1 =3, в) Ь = (6, -1, -5, 1), 21 = 3+21, — бт1+ 2Х» — 5хз 4-4Х4 = 1, < Рг 9х1 — х» + бтз — бхз = о. х» = 5 — 1, 1 хз =3 — 1, 49.21. Пусть ао, аз,..., а„аффинно независимые точки и-ъзерного аффинного пространства А. Доказать, что всякая точка а Е .4 п единственным образом представляется в виде а = ~ Лзаз, где »=0 Л, =1.
49.22. Пусть (ао, е1,..., е„) аффннная система координат в аффинном пространстве (А,1'), аз = ао + е, (1' = 1...., п). Найти бариЦЕННЧРинсенис КООРдиНатм ТОЧКИ Х = (Х1,..., Хн) ОтНОСИтЕЛЬНО СИСТЕМЫ ТОЧЕК ао, аз,..., ап. 49.23. Пусть (.4,1) "- аффинное пространство над полем К, (К) ) 3, Р - непустое подмножество в А. Доказать, что Р является плоскостью тогда и только тогда, когда вместе с любыми двумя различными точками а, Ь Е Р в Р содержится прямзл (а, Ь). Верно ли это утверждение, если К . поле из двух элементов? Х1 Х2 х4+ хе = 2~ х1 — хз — Х1+ хз = 1, 5Х1 + Зтг — 2хз — хз = О, хг — — 4+ 21, хз — — 5+ 31, х4 =4+41; Хг — — 2 + 611 + ое12, хз =О, х4 = 5 + 411 -~- М», хз — — 6 + 11 + 252; 188 Гв. ХП. Аффиннвл, евклидова и првентивнвя еевиетрив 49.24.
Доказать, что всякое аффинное преобразование, дифференциал которого но имеет собственного значения 1, обладает неподвижнои точкой. 49.25. Доказать, что для любых двух точек а, Ь аффинного пространства (А, Ъ') и любого невырожденного линейного оператора А в пространстве 1е существует единственное аффинное преобразование у, удовяетворяющее условиям у(а) = Ь и Р1 = Л, где Р) — — дифференциал отображения 1.
49.26. Доказать, что для любых аффинных преобразований 1 и д Р(Ы =Рр Рр., где Р1" -- дифференциал отображения 1. то 1 ~~ с;а, = ~ о,Д(а,); / то Рд ~оеае = ~о,)(а,). ~не =1 а) если б) если 49.28. Пусть 1 -- аффинное преобразование аффинного пространства (А, 1') над полем К, имеющее конечный порядок п.. Доказать, что если сйаг К(п, то 1 имеет неподвижную точку. Верно ли зто, если с1тагК ~ пу 49.29. Доказать, что если С конечная группа аффинных преобразований над полем К и с!еагК 1 ~С~, то преобразования из С обладают обшей неподвижной точкой.
49.30. Пусть ао,ам....,а„и Ьо,Ьм...,Ь„-- два набора аффинно независимых точек в п-мерном аффинном пространстве .4. Доказать, что существует единствонное аффинное преобразование (': А — у А, при котором 1(а,,) = Ь, (1 = О, 1,...,. п). 49.31. Найти все точки, прямые и плоскости трехмерного аффинного пространства, инвариантные относительно аффинного преобразования, переводящего точки ао, ам аз, ав в точки Ьо, Ьм Ья, Ьз соответственно: а) ао = (1, 3, 4), ае = (2, 3, 4), ая = (1, 4, 4), ав = (1, 3, 5), Ьо = (3, 4, 3), Ь~ = (8 9 9) Ь = ( — 2, — 2, — 6), Ьв = (5 7, 8); 49.27. Пусть 1" аффинное отображение аффинного пространства .4 в аффинное пространство В над полем К, ам...,а, е А, ое,.,., о, Е К. Доказать, что; зс 49.
АЯннные пространства 189 б) ао = (3,2,3), Ьо = (2, 4, 6), в) ао = (2,5,Ц; Ьо = (3,7,3), г) ао = (2 5,4), Ьо = (1,6,6), (4,2,3), аз = (3,3,3), аз = (3,2,4), 1,8,12), Ьз=( — 1,— 5 — 1); Ьз=(6,12,11); (3,5,1), оз =(2,6,1), аз = (2,5,2), (6,11,6), Ьз — — (5,17,9), Ьз = (О,— 5,— 4); (3,5,4), аз = (2,6,4), оз = (2,5,5), (8, 16, 18), Ьз = ( — 11, — 13, — 18), Ьз = (7,16;19) 49.32. Доказать, что две конфигурации Р„Рз и Яы с,)з в аффинном пространстве аффинно конгруэнтны в том и только топ случае, если бпп Рз — йш осы с1шл Рз — е1ппЯз, спш(Р1 вз Рз) = впзп(св'1 ~л свз), и обе пары имеют одновременно пустое или непустое пересечение.
49.33. Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки а, Ь, с соответственно в точки пм Ьы сы а прямую 1 в пря- мую 1ы если: а) а = (1, 1, 1, 1), Ь = (2, 3, 2, .3), .с = (3, 2., 3, 2), 1 = (1, 2, 2, 2) + (О, 1, О, Цй, а1 = (-1, 1, -1, 1), Ь| = (О, 4, О, 4), сз = (2, 2, 2, 2), (з = ( — 1, 2, О, 3) + (1, — 5, 1, — 5) 1; б) а = (2, — 1, 3, -2), Ь = (3., 1, 6, -1), с = (5, 1, 4, 1), 1 = (2,0,4,-1) + (0,1,2,0)Х, оз = (1, — 2,3,5), Ь| = (2,1,8,7), сз = (3,2,10, — 6), (з = (1, — 1, 5, — 2) + (О, 2,. 3, — 3)Ю; в) о = (2, — 1, 2, 2,), Ь = (5, -4, О, 3), с = (4, 4, 6, 8), 1 = (7,4,10,9) + (4,4,5.,6)1., из = (1, 3, 2, — 2), Ь1 = (4, — 2, О, 0), с1 = ( — 3, 10, 6,. 2), Хз = (5, — 6, — 1, 5) + ('2, .— 6, .— 3, 2)17 49.34. Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки а, Ь, с, д соответственно в точки аы Ьы см д~, а прямую 1 — в прямую 1м если: а) а = (1, 2, 3, 4), Ь = (1, 3, 3, 4), с = (1, 2, 2, 4), д = (1, 2, 3, 3), 1 = (-3., 2, 4, 1) + (2, 1, -1, -2)1, ал = (1,.-1,4,2), дз = (2,-2,5,3), еп = (2,0,.3,3), 4 = (2, О, 5, 1), 11 — — (1, — 5, 2, — 12) + (1, 1, 1, 1)1; б) а = (-3, О, 2, 4), Ь = (-3, 1, 3, 5), с = (-2, О, 3, 5), сУ = (-2, 1, 2, .5), .1 = (- 1, 5, 5, 6) + (1, 1, 1, 0)й,.
190 Гл. ХП. Аффинная, евклидова и провитивнвя веомвтрил ав = ( — 1, 1, 2, 3), Ь| = (1, — 4, 3, 5), св = ( — 4, 8, 1, 7), 4 = (4, — 8, 4, 10), 1в = (4, 5, — 1, 1) + (4, — 6, 1, 2)1? 49.35. Пусть аффиннос пространство А равно (Р~ О Ре), где Рв и Ря скрещивающиеся плоскости, и С подгруппа в аффинной группе пространства .4, состоящая из преобразований, оставляющих инвариантными Рв и Рв. Найти орбиты действия С на А. 49.36.
Пусть (А,1') аффинное пространство над полем К. Биективное отображение 1: А — 1 А называется коллинеаиивй, если для любых трех точек а, Ь, с Е А, лежащих на одной прямой, точки 1"(а), 1(Ь), 1(с) также лежат на одной прямой. Доказать, что если ~К~ ) 3, то образ и полный прообраз плоскости Р С А при коллинеации 7': А — ь А являются плоскостями той же размерности, что и Р. Верно ли утверждение, если ~К~ = 2? 49.37. Пусть И векторное пространство над полем К.
Отображение р: 1г — 1 1' называется полулинсйным относительно некоторого автоморфизма и поля К, если где я, у е 1', о Е К. Полуаффинным преобр зованивм аффинного пространства (А, И) называотся пара (1, Р)), где 7': А — 1 А, Р): И вЂ” ~ р, удовлетворяющая условиям: Рд' - биективное полулинейное отображение относительно некоторого автоморфизма поля К; д'(а + о) = 1'(а) + Рд (и) для лк>бых а Е А, и Е И.
Доказать, что: а) полуаффинное преобразование является коллинеациеи; б) если (А, И) аффинное пространство над полем К и ~К~ > 3, то всякая коллинеация 1: А -+ А является полуаффинным преобразованием. 49.38. Пусть (В, 57) плоскость аффинного пространства (А, 1') и И' надпространство пространства 1~, дополнительное к 77. Доказать, что всякая точка а Е А единственным образом представляется в виде а = Ь+ т, где Ь Е В, т Е И' и что отображение а ~-> Ь (проенепирование на В параллельно 1И) является аффинным отображением пространства (А, И) в пространство (В,Щ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
