1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Доказать эквивалентность следующих двух свойств пары плоскостей 1Р, Я) в евклидовом пространстве: а) любая прямая, лежащая в одной из этих плоскостей, перпендикулярна любой прямой, лежащей в друтой плоскости; б) плоскости Р, Я перпендикулярны и либо скрещиваются, либо пересекаются в одной точке. 51.4. Пусть Я С Р плоскости в и;мерном евклидовом пространстве Е. Доказать, что любая плоскость Р' с Е, перпендикулярная Р, для которой Р П Р' = Я, имеет размерность ( и — Йтп Р Ч- Йщ Я и существует единственная такал плоскость размерности и — Йш Р+ +ЙщЯ. 51.5. Пусть Р --- плоскость в евклидовом пространстве и точка а не принадлежит Р. Доказать, что: а) существует единственная прямая, проходящая через точку а, пересекающая Р и перпендикулярная Р; в) р(а, Р) = ф. 51.6.
В евклидовом пространстве найти прямую, проходящую через точку а, пересекающую плоскость Р и перпендикулярную Р, если: а) и = (5, -4, 4, 0), Р = (2, .-1., 2, 3) + ((1, 1, .1, 2),(2, 2, 1, 1)); х +5х +х — 10 б) и = (5,0,2,11), Р: ) 5ха+хз+Зхз+8хл = — 1. 51.7. В евклидовом пространстве найти расстояние от точки и до плоскости Р, если: а) а = (4, 1, -4, -5), Р = (3, -2, 1, 5) + ц2, 3, -2, -2), (4, 1, 3., 2)); б) а = (1, 1, -2, -3, -2), Р = (3,7, -5,4., Ц+ + ц1, 1, 2, О, 1), (2, 2, 1, .3.
1) ):, б) если с -- любая точка в Р и — ортогональная составляющая вектора ис относительно направляющего подпространства плоскости Р,. то и, + (х) - - прямая, указанная в а); и+ в — точка пересечения этой прямой с Р; 198 Гл. ХП. Афдзиннвя, евнлидовв и нроентивная зеоиетрия 2 х~ — 4хг — 8хз + 13хя = -19, х~ + хг хз + 2хл — — 1; г) а = (1, -3, -2,9, -4), Р: хз — 2хг — Зхз + Зхл + 2тз = — 2, хз — 2хг — 7хз + 5тл + Зхз = 1. 51.8. В п;мерном евклидовом пространстве найти расстояние от и точки (Ьм..., Ь„) до гиперплоскости '~ а,х; = с. ,=-1 51.9. В пространстве многочленов со скалярным произведением г' 17,д) = / 71х)д(х) е1х найти расстояние от многочлена х" до под— 1 простра~ства многочленов степени меньше и.
51.10. В пространстве тригонометрических многочленов со скалярным произведением (7',д) = / 7(х)д(х)е1х найти расстояние от функции созняы х до подпространства (1, соя х, з1пх, ..., соя йх, з1пих). 51.11. Пусть Р --. плоскость в п-мерном евклидовом пространство Е. Доказать, что через всякую точку а б Е проходит единственная плоскость О размерности и — е11шР, перпендикулярная Р и пересекающая сев одной точке. 51.12. Найти в евклидовом пространстве плоскость наибольшей размерности, проходящую через точку а, перпендикулярную плес кости Р и пересекающую се в одной точке, если: а) а = (2, — 1, 3, 5), Р = (7, 2, -3, 4) + Я-1, 3, 2, 1),(1, 2, 3, — 1)); )=~- ) ) Зхз + 2хг — 5хз + хз = 5.
51.13. Пусть Р~ —— сз+7н и Рг = сг+Хг .-- две непересекающиеся плоскости в евклидовом пространстве, у и з соответственно ортогональная проекция и ортогональнал составляющая вектора сзее относитезьно подпространства Ез + Ег, и пусть д = уз + дю где дз й Ем дг б Г,г а) Доказать, что прямая сз + уг + (з) перпендикулярна плоскостям Рм Рг и пересекает Р~ в точке сз + ум а Рг в точке сг — дг.
б) Найти расстояние р(Ры Рг). в) Установить биективное соответствие между Ез С1 Аг и множеством всех прямых, перпендикулярных Р~ и Рг и пересекающих З 56 ЕвнлиЗовы пространства 199 обе плоскости. г) Показать, что все прямыс, описанные в в), паралзельны между собой и что их объединение представляет собой плоскость размерности 63пз(Ез П Аз) Ч- 1.
51.14. В евклидовом пространстве найти расстояние между плоскостями Рз и Рз, если: хз+Зх +ха+ха =3, а) Р1. хз+Зхз — хз+2хв =6, Рз —— (О, 2, 6, — 5) + (( — 7, 1, 1, 1), ( — 10, 1, 2, 3) ): х1 + хз + хз + хл — 3 — Зхз + 2хз — 4хл — — 4, Рз = (1, 3, — 3, — 1) -~- ((1, О., 1, 1)); в) Р,: х1 +хз+ ха — 2хз = 2, ха + хз — хл — хз = 3, хз — тз + 2хз — хв = 3, Рз = (1, — 2, 5, 8, 2) + ((О, 1, 2, 1, 2),(2, 1, 2, — 1, 1)): г) Р,: хз — хз — хл + Зхв = О, Рз = ( — 4, 3, — 3, 2, 4) + ((2, О, 1, 1, 1),( — 5, 1, О, 1, 1)).
51.15. Точки пв,ом .,.,ап в евклидовом пространстве расположены на одинаковом расстоянии д друг от друга. Найти расстояние между плоскостями (аа,оы...,пв) и (авто,...,и„). 51.16. Доказать, что конфигурапии из двух плоскостей (аз+ 7,1,оз+ Т,з) н Ео', + Т,'„а.', +Т,.',) 51.17. Выяснить, являются ли мстрически конгруэнтными в ев- клидовом пространстве заданные пары плоскостей: а) Рз — — (О, 9, 8, — 12, 11) + ((О, 2., 2, 2, 1), (3, 1, 1., 1, -1) ) ,.
Рз = ( — 3, — 4, — 5, и., — 12) + ((7, 5, — 5, — 1, — 5), (3, 5, — 1, 11, 13)); б) Яз = (2, — 5, — 11, — 8, — 10) + Я2, — 1, 1, — 1, 1), (2, — 2, 1, О, 1)) Я = (8,8,10,.9,11) + ((0,3,4, — 4, — 3),(14, — 2, — 5,3,4)); в евклидовом пространстве метрически конгруэнтны тогда и только тогда, когда р(аз+1 ыаз+л з) = р(а', +1ыо!з+1з), и конфигурации подпространств Ьы Лз, Ь', Лз ортогонально конгруэнтны в соответ- ствующем евклидовом векторном пространстве.
200 Гл. ХП. Аффиннвя, евнлидовв и проентивная ееоиетрия в) Ры = (7, — 3, — 9, — 14 5) + ц0,0,0,1,2),(2, — 1,2 О, — 6)), Лз = (О, 10, 9, 14, — 5) + ((1, 7, 2, О, 6), (4, — 1, О, 2., — 2) ) . 51.18. Найти в евклидовом пространстве геометрическое место точек, через которые можно провести прямую, пересекающую плова кости Ры Ря и перпендикулярную этим плоскостям: а) Р, = (1,2, — 1, — 9, — 13) + 82,3,7, 10, 13), (3,5,11,16,21)), Зхе — 5хз -~- 2хз — хл + хв = — 22, 2хз + 4хз + Зхз — хл — Зхв = — 4, 9х1 + Зхя + хз — 2хл — 2хв = -138; б) Р~ — †(3, .7, 2, 4, — 3) + ((2, 5, 4, 5, 3),(4, ое, 6, 3, 3)), -Зх1 + 2хз + хз — 2хл + хв = -14, 6хе — хв — 4хз -ь 2хл — хе = 16, 2хз — хя + 2хл — Зхв = 26.
51.19. Доказать, что а) если движение евклидова пространства имеет две скрещивающиеся инвариантные плоскости, то оно обладает неподвижной точкой; б) движение 7 и-мерного евклидова пространства, имеющее неподвижную точку, имеет две скрещивающиеся инвариантные плоскости положительной размерности, если 7' собственное, п ) 5 и нечетно или 7'несобственноо,п > 4 и четно.
51.20. Пусть ао,аы, ..,а, и Ьо, Ьы,,.,Ь, -- два набора точек в евклидовом пространстве. Доказать, что движение, переводящее каждую из точек ан в то~ку Ь„существует тогда и только тогда, когда фов,пв) = р~ЬоЬз) (му = 1,..., в). 51.21. Доказать,. что для всякого движения 7" евклидова пространства совокупность точек а, на которых достигается минимум расстояния р(а, ~(а)), является плоскостью, инвариантной относительно 7, и что ограничение 7 на эту плоскость есть параллельный перенос. 51.22. Доказать, что если у двух тетраэдров в трехмерном евклидовом пространстве соответствующие двугранные углы равны, то эти тетраэдры подобны. 51.23.
Дать геометрическое описание собственного движения 7' евклидово пространства, если: 1 зй. Каадрики 201 б) Р7' = —, 7"(0) = (1,Ц; ъ'2 х1 2 — 1 2 в) Р7' = — 2 2 — 1, ((0) = (1,0,— 1); — 1 2 2 4 1 — 8 г) Р7" = — 7 4 4, 7'(0) =( — 1,— 7,2); 4 — 8 1 — 2 3 6 д) Р~ = — 6 — 2 3, ~(0) = ( — 2,4,1). 3 6 — 2 51.24. Дать геометрическое описание несобственного движения 7 евклидово пространства, если; а) Р7 =, ((0) = (1,0): б) Р7" = — ь, 7" (О) = (1, — АЗ). 1 4 1 — 8 в) Р(= — — 7 4 4, ((О) =(1,1,— 2); 4 — 8 1 2 2 — 1 г) Р~ = — 2 — 1 2, ~(0) = (4,0,2); — 1 2 2 1 — 1 2 2 д) Р( = — — 2 1 — 2, ((0) = (2,0,0); 2 2 — 1 1 — 2 3 6 е) Р7" = — 3 6 — 2, у(о) = ( — 3,1,2). 6 — 2 3 8 52. Гиперповерхности второго порядка Обозначения и понятия, используемые в задачах этого параграфа, содержатся в приложении.
52.1. Доказать, что для любых и, у е 1' выполняется равенство 0(аа + т + у) = у(у) + 27(т, у) + 1(у) + 0(ао + и). 202 Гл.ХП. Афг(гиннвя, евнлидовв и нроентивнвя ееовгетрия 52.2. Доказать, что если 6 = ао + и (и Е 1') центральная точка квадратичной функции О, то г,)(Ь+ х) = Я(Ь вЂ” х) для любого х Е Г и линейная функция д «-~ 21(и, у) + г(у) нулевая. 52.3. Доказать, что множество центральных точек (центр) квадратичной функпии г„«задается системой уравнений дЯ дх, = О (г = 1,..., п). 52.4. Доказать, что при переходе от аффинной системы координат (оо,еы...,е„) к системе координат (ао,е';,...,ев) по формуле матРипы кваДРатичных фоРм ев«и «1 в новой системе кооРДинат свЯ- заны с их матрицами в старой системе формулами Агег = гТАс2Т, А', =«ТА Т, где матрица аффинной замены координат. 52.5. Доказать, что точки пересечения аффинной прямой хь = хь ч- гь1 (й = 1,..., и) А1~ + 2В« + С = О, где А = «2(т) = ~ о; г;г, С = Ц(хм...,х~), «д=-1 и квадрики г,)(хм...
г х„) = О определяются значениями 1, удовлетво- ряю«цнии уравнению з 52. Кеадрики 2ОЗ В = ~~ (х!,...,т„) г, = ~ ~!аох" + 6,) г!. г=! гб=-! 52.6. Найти центр квадратичной функции над полем Н, заданной в некоторой аффинной системе координат: и а) 2 ~ зж +2~к,+1=0; !<~<!<а !=-! и и б) ~т~+2 ~ т!ту+2~я!+1=0; х=! !<ю<э(п х=! и — ! в) ~т!з!т!+з!+ля+1=0; П г) ~ з, + 2 ~~ и!яу + я! — — О.
х=! 3<г<э<п 52.7. Две квадратичные функции Я,: А — ! 1С !! = 1, 2) называ!отся эквивалентными, если существует такое аффинное преобразование 1: А — ! А, что Щ(т) = ЛЯ!!1(и)) для некоторого Л Е К' и всех и Е А. Найти чи(жо классов эквивалентных квадратичных функций над полем Хю если: а) размерность А равна двум; б) разморность А равна трем. 52.8. Найти чисжо классов эквивалентных квадратичных функций на и-мерном аффинном пространстве: а) над полем С;. б) над полем Н. 52.9. Пусть точка ае аффинного пространства (А,1') лежит на квадрике Х и вектор и Е 1' определяет асимптотическое направление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
