1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 32
Текст из файла (страница 32)
56.11. Найти порядок элемента х", если порядок элемента х ра- вен п. 56.12. Пусть С вЂ” конечная группа, а Е С. Доказать, что С = (а) тогда и только тогда, когда порядок а равен ~С~. 56.13. Найти число элементов порядка р™ в циклической группе порядка р", где р простое число, 0 < и1 < а. 56.14. Пусть С = (а) циклическая группа порядка и. Доказать, что: а) элементы ал и а' имеют одинаковые порядки тогда и только тогда, когда НОД(й, и) = НОД~?, п); г об.
Подгруппы, порядок элемента группы 223 б) элемент оь является порождающим элементом С тогда и только тогда, когда Й и и взаимно просты; в) всякая подгруппа ХХ С С порождается элементом вида пд, где д)п; г) для всякого делителя д числа и существует единственная подгруппа Н С С порядка д. 56.15. В циклической группе (а) порядка п найти все элементы д, удовлетворяющие условию дь = е, и все элементы порядка к при: а) п=24, й=б; б) в=24, 1=4; в)в=100, к=20; г)и=100, 1=5; д) и=360, к=30; е) и=360, к=12; ж) и=360, к=?. 56.16. Найти все подгруппы в циклической группе порядка: а) 24; б) 100: в) 360; г) 125; д) р" (р простое число) 56.17. Предположим, что в некоторой неединичной группе все не- единичные элементы имеют одинаковый порядок р. Доказать, что р является простым числом. 56.18. Пусть С -.
конечная группа и И(С) — наименьшее среди натуральных чисел о таких, что д' = е для всякого элемента д Е С (период группы С). Доказать, что; а) период д(С) делит ~С~ и равен наименьшему общему кратному порядков элементов группы С; б) если группа С коммутативна, .то существует элемент д Е С порядка д(С); в) конечная коммутативная группа является циклической тогда и только тогда, когда д(С) = ~ С ~. Верны ли утверждения б) и в) для некоммутативной группы? 56.19. Существует ли бесконечная группа, все элементы которой имеют конечный порядок? 56.20. Периодической частью группы С нгзываетсн множество всех ее элементов конечного порядка. а) Доказать, что периодическая часть коммутативной группы является подгруппой.
б) Верно ли утверждение а) для некоммутативной группы? 1'л. Х!П. Группы в) Найти периодическую часть групп С* и 1л„(С)'. г) Доказать, что если в коммутативной группе С есть элементы бесконечного порядка и все они содержатся в подгруппе Н, то Н совпадает с С. 56.21. Доказать, что в коммутативной группе множество элементов, порлдки которых делят фиксированное число и, является подгруппой.
Верно ли это утверждение для некоммутативной группы? 56.22. Найти все конечные группы, в которых существует наибольшая собственная подгруппа. 56.23. Является ли циклической группа (Ж/15л )* обратимых элементов кольца л /15л? 56.24. Множество всех подгрупп группы С образует цепь, ыши для любых двух ее подгрупп одна содержится в другой. а) Доказать, что подгруппы циклической группы порядка р", где р --- простое число, образуют цепь. б) Найти все конечные группы, в которых подгруппы образуют цепь.
в) Найти все группы, у которых подгруппы образуют цепь. 56.25. Представить группу Я в виде объединения возрастающей цепочки циклических подгрупп. 56.26. Установить изоморфизм между группами Ю„когаплексных корней степени п из 1 и группой Х„вычетов по модулю в. 56.27. Какие из групп (д), порожденных элементом д Е С, изоморфны: 1 1 а) С=С*, у= — — + — 1; хУ2 тГ2 б) С™ ~с) д= ~ б~' /0 11 в) С = Вд,. д = (32651); г) С=С*, д=2 — 1; д) С = Н*,. д = 1О; бя , бя е) С = С*., д = сов — + 1яш ж) С=У, у=3? 56.28. Доказать, что во всякой группе четного порядка имеется элемент порядка 2. з дб. Подоруппы, порядок элемента еруппы 225 56.29.
Будет ли группа обратимых элементов кольца вычетов Х1а циклической? 56.30. Доказать, что всякая собственная подгруппа группы 11р является циклической конечного порядка. 56.32. Найти все поде руппы в группах: а) Яз; б) Р4; в) 44з; г) Ал. 56.33. Доказать, что если подгруппа Н группы Яп содержит одно из множеств ((1 2), (1 3),..., (1 п) ) ((1 2), (1 2 3... п) ), то Н = Я„. 56.34. Найти все элементы группы С, коммутирующие с данным элементом д 6 С (централизатор элемента д), если: а) С = Б4, д = (12)(34), б) С = ЯБ 2(К), д = в) С = Яо, д = (123...
и). 56.35. Для многочлена З' от переменных х1, хз, хз, хл положим Су — (о 6 Я4 ~,1(х Н) х р) х (з) х (4)) — 1(х1,хз хз,хл)) ° подгруппа в Ял,и найти эту подгруппу для Доказать, что Су многочлена: а) з' = х11ез + хзхл,' в) 1 =х1+тз, д)~= П(- б) .1 — х1х2хз Г) 1 = У1Х2ХЗУ4,' 1<1<~54 56.36. Найти смежные классы: а) аддитивной группы е' по подгруппе пК, и,. натуральное число; 15 Л.И. Кострикин 56.31. Доказать, .что: а) в мультипликативной группе поля для любого натурального числа и существует не более одной подгруппы порядка и; б) всякая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической; в) мультипликативная группа конечного поля является циклической.
226 Г и ХГП. Группы б) аддитивной группы С по подгруппе л, ~г) целых гауссовых чисел, т.е. чисел а + 61 с целыми а, 6, в) аддитивной группы ХХ по подгруппе л'; г) аддитивной группы С по подгруппе К; д) мультипликативной группы С* по подгруппе 11 чисел с модулем 1; е) мультипликативной группы С* по подгруппе ХХ*; ж) мультипликативной группы С* по подгруппе положительных вещественных чисел; з) группы подстановок Я„по стационарной подгруппе элемента и; и) аддитивной группы вещественных (3 х 2)-матриц по подгруппе всех матриц (аб) с условием азм = азз — — азз — — 0; к) аддитивной группы всех многочленов степени не выше 5 с комплексными коэффициентами по подгруппе многочленов степени не выше 3;.
л) циклической группы (а)я по подгруппе 1а~). 56.37. Пусть д невырожденная матрица из СЬ„(С) и Н = = ЯЬ„(С). Доказать, что смежный класс дН состоит из всех матриц а Е С1 „(С), определитель которых равен определителю матрицы д. 56.38. Пусть 1Х подгруппа в группе С. Доказать, что отображение хН у Нл ' задает биекпию между множеством левых и множеством правьсс смежных классов С по Н. 56.39. Пусть ды дз элементы группы С и ХХы Нз подгруппы в С. Доказать, что счедующие свойства эквивалентны: а) д1Н1 С дэНз', б) Н~ ~ Нэ и дт д~ й Нм 56.40. Пусть ды дз .-. элементы группы С и Ны Ня .
подгруппы в С. Доказать, что непустое множество д1Н1 П дэНэ является левым смежным классом С по подгруппе Н, П Нэ. 56.41. Пусть К --- правый смежный класс группы С по подгруппе Н. Доказать, что если л,у,л б К, то яу гз б К. 56.42. Пусть К --. непустое подмножество в группе С, причем если л,у,з б К, то лу гз Е К. Доказать, что К явчяется правым смежным классом группы С по некоторой подгруппе Н. 56.43. Пусть Ны Нэ подгруппы в группе С, причем Н~ С Нэ, Если индекс Н1 в Нэ равен и, а индекс Нз в С равен т, то индекс Н, в С равен щп.
у" у7. дейсепвне группы на множества 227 56.44. Доказать, что в группо диздра все осевые симметрии образуют смежный класс по подгруппе вращений. 5 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряженности 57.1. Найти все орбиты группы С невырожденных линейных операторов, действующих на и-мерном пространстве 1', если; а) С "- группа всех невырожденных линейных операторов; б) С вЂ” — группа ортогональных операторов; в) С . группа операторов, матрицы которых в базисе (ее ....., еп) диагональны; г) С группа операторов, матрицы которых в базисе (еы..., еп) верхние треугольные.
57.2. Найти стационарную подгруппу С, вектора а = ее + ее +... ... + еп, если: а) С группа из 57.1, в); б) С группа из 57.1, г). 57.3. Найти стационарную подгруппу Се и орбиту вектора х, если: а) С .—. группа всех ортогональных операторов в трехмерном евклидовом пространстве; б) С группа всех собственных ортогональных операторов в двумерном овклидовом пространстве. 57.4.
Пусть С -- группа всех невырожденных линейных операторов в и-мерном векторном пространстве 1е и Х вЂ” множество всех подпространств размерности и в Х. а) Найти орбиты группы С в Х. б) Пусть еы...,е„такой базис в 1е, что еы, ..,ее базис некоторого подпространства Г. Найти в базисе еы..., еп матрицы операторов из стационарной подгруппы Сп.
57.5. Пусть С вЂ”.- группа всех невырожденных линейных операторов в и-мерном векторном пространстве 1~ и г' - множество флагов в )е, т.е. наборов 7" = (1ео, 1ы ..., 1'„) подпространств в 1, причем О=Ц<1'~ <...<К,= г'. а) Найти орбиты С в г'. б) Пусть е, Е 1'; '1 1'ь ы 1 = 1,..., и. Доказать, что еы...,е„ базис Г. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
