1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 34
Текст из файла (страница 34)
58.10. Доказать,. что группа Ав является простой. 58.11. а) Доказать, что в группе кватернионов Сея любая подгруппа является нормальной. б) Найти центр и все классы сопряженности в группе ~я. в) Доказать, что комплексные матрицы относительно умножения матриц образуют группу, изоморфную ь1я.
58.12. Найти все нормальные подгруппы в группе диэдра ЬУп. 58.13. Пусть Š— поле и С - подгруппа в СЬ„(Е), содержащая 81 „(Р). Доказать, что С нормальна в С1 ПЕ). /а с1 58.14. Сопоставим каждой матрице ~ ) б СЬз(С) дробнолинейное преобразование аз+ б сг+д Найти ядро этого гомоморфизма. 58.15. Доказать, что ядро любого гомоморфизма группы С* в аддитивную группу К является бесконечной группой. 58.16.
Пусть и, т > 2 натуральные числа и ЯЬ„(К;тл) подмножество в ЯЬ„(Ж), состоящее из матриц вида Е+Хт, где Х целочисленная квадратная матрица размера и. Доказать, что: а) ЯЬл(К;тоК) нормальная подгруппа в ЯЬп(К); у 58. Гомоморфиомы и 41опспоргруппы 235 б) если т = р простое число, то Я,„(РУЯ,„(у,:,ру) = 81.„Д„); в) группа 81.„(У.;тК) нс содержит элементов конечного порядка при т ) 3; г) если С вЂ” конечная подгруппа в 81 „(У), то порядок С делит 1 -(3" — 1)(3п — 3)... (Зп — 3" '). 2 58.17.
Доказать, что для любой группы С множество всех внутренних автоморфизмов является нормальной подгруппой в группе Ап1С всех автоморфизмов группы С. 58.18. Доказать, что любая подгруппа, содержазцая коммутант группы, нормальна. 58.19. Найти центр группы: а) Яп; б) А„; в) Р„. 58.20. Пусть группа С порождена элементами а, Ь, причем аз=Ь =(аЬ) =1. Доказать, что элемент (аЬ)~ лежит в центре группы С. 58.21. Доказать, что центр группы порядка р", где р простое число (и Е 14), содержит более одного элемента.
58.22. Пусть С -- множество верхних унитреутольных матриц порядка 3 с элементами из поля Хя. а) Доказать, что С .- некоммутативная группа порядка рз относительно умножения. б) Найти центр группы С. в) Найти все классы сопряженных элементов группы С. 58.23. Найти центр группы: а) С1„(К); б) Оя(К); в) БОз(К); г) ЯОз(2); д) 811з(С); е) 81У„(С), ж) верхнетреугояьных матриц. 58.24. Найти центр: а) группы всех дробно-линейных преобразований комплексной плоскости; б) группы всех преобразований единичного круга из задачи 24.25.
Гл. Х!Н. Группы 236 58.25. Доказать, что группа Н является гомоморфным образом конечной цикаической группы С тогда и только тогда, когда Н также циклическая, и ее порядок делит порядок группы С. 58.20. Доказать, если группа С гомоморфно отображена на группу Н,причем а ~-~ а', то: а) порядок а делится на порядок а', б) порядок С делится на порядок Н. 58.27. Найти все гомоморфные отображения: а) Хе — з Хсб б) Хе — з Хса, в) Хсв — з Хе; г) Хы -з Хпб д) Хв -з Хаа 58.28. Доказать, что аддитивную группу рациональных чисел нельзя гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых чисел. 58.29.
Найти факторгруппы: а) Х/пУ; б) 11сз/ТЗз, в) 4Х/12Х; г) К*/К, . 58.30. Пусть Еп --- аддитивная группа п-мерного линейного пространства над полем Е и Н подгруппа векторов й-мерного подпространства. Доказать,что факторгруппа Р"/Н изоморфна Г" 58.31. Пусть Н„множество чисел с аргументами вида 2пк/и (й Е Х). Доказать, что: а) К/Х = 11; б) С*/К" = 11; ) С" /11 - К г) 11/11. = 1У; д) С /Е„ = С*; е) С" /Нп - 11; ж) Н„/Вс 1Л„; з) Н„/Ъ~п - К 58.32.
Пусть С = СЬп(К),. Н = СЬп(С), А = (Х Е С ( ( с1ес Х) = 1), В = (Х Е С ) с1е6Х > 1), Р = ЯЕп(К), Я = 81 п(с) В = (Х ~ Н( (с1ссХ) = 1), дс = (Х 5 Н~ с1е6 Х > О). Доказать, что: а) С/Р К"; б) Н/б/ С*, в) С/(Х П С) Хсб г) Н/Х 11; д) С/Л К+, .с) Н/В К, . 58.33. Пусть С . - группа аффинных преобразований и-мерного пространства, Н - подгруппа параллельных переносов, К - подгруппа преобразований, оставляющих неподвижной данную точку О. Доказать, что: у ЬВ.
Гомоморфиомы и фанюоргруппм 237 а) Н является нормальной подгруппой в С; б) С)Н К. 58.34. Доказать, что факторгруппа группы Ял по нормальной подгруппе (е, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) изоморфна группе Яз. 58.35. Доказать, что если Н подгруппа индекса й в группе С, то Н содержит некоторую нормальную в С подгруппу, индекс которой в С делит н1.
58.36. Доказать., что подгруппа, индекс которой является наименьшим простым делителем порядка группы, нормальна. 58.37. Доказать, что факторгруппа группы СЬз(Хз) по се центру изоморфна группе 8 ь 58.38. Доказать, что в группе Я/Ж: а) каждый элемент имеет конечный порядок; б) для каждого натурального п имеется в точности одна подгру ппа порядка и. 58.39. Доказать, что группа внутренних автоморфизмов группы С изоморфна факторгруппе группы С по ее центру. 58.40. Доказать, что факторгруппа некоммутативной группы по ее пентру не может быть циклической.
58.41. Доказать, что группа порядка рз, где р "- простое число, коммутативна. 58.42. Доказать, что группа всех автоморфизмов некоммутативной группы не может быть циклической. 58.43. Найти число классов сопряженности и чи<ло элементов в каждом классе для некоммутативной группы порядка рз, где р простое число. 58.44. Подгруппа Н называется максимальной в группе С, если Н ф С и любая подгруппа, содержащая Н, совпадает с Н или С. Доказать,что: а) пересечение любых двух различных максимальных коммутативных подгрупп содержится в центре группы; б) во всякой конечной простой некоммутативной группе найдутся две различные максимальные подгруппы, пересечение которых содержит более одного элемента; Гл.
ХШ. Груввь1 238 в) во всякой конечной простой некоммутативной группе существует собственная некоммутативная подгруппа. 58.45. Доказать, что факторгруппа 81з(Хь) по ее центру изоморфна Аь. 58.46. Доказать, что всякая конечная подгруппа в 81 зЯ) является подгруппой одной из следующих групп; Рэ, Ро Рю 58.47. Пусть Г поле, и > 3 и С нормальная подгруппа в СЬ„(Г). Доказать, что либо С З 81,(Г), либо С состоит из скалярных матриц. 58.48. Пусть à — поле, содержащее не менее четырех элементов н С -- нормальная подгруппа в СЬ (Г). Доказать, .что либо С З ЯПз(Г), либо С состоит из скалярных матриц.
58.49. Доказать, что ЯЬз(2) Яз. 58.50. Найти все нормальные подгруппы в ЯПя(3). 58.51. Пусть С вЂ” нормальная подгруппа конечного индекса в ЯЕ„(У), .п ) 3. Тогда существует такое натуральное число т, что С С 81 „(У, тУ). 58.52. Пусть Г -- поле, п ) 3 и р --- автоморфизм группы С1 „(Г). Доказать, что существует такой гомоморфизм групп т: СЕ„(Г) — ~ Г* и автоморфизм т поля Г, что либо фт) = т~х) д т(т) д либо ~р(и) = т(х) д тЯ д где д е СЙ„(Г). 8 59. Силовские подгруппы.
Группы малых порядков 59.1. Найти порядок групп: а) СЛ„,(т,); б) ЯЕ„(Г ); в) группы невырожденных верхнетреугольных матриц размера и над конечным полем из д элементов. 59.2. Изоморфны ли: а) группа С)а и группа Р4, б) группа 84 и группа ЯКз(3)? 59.3. Найти все сиповские 2-подгруппы и 3-подгруппы в группах: а) Бз', б) Ая. в 59. Сиповские подеруппвв 239 59.4.
Указать сопрягающие элементы для сиповских 2-подгрупп и силовских 3-подгрупп в группах: а) Яз' б) А4. 59.5. Доказать, что любая сияовская 2-подгруппа группы Я» изоморфна группе диэдра 4э4. 59.6. В каких силовских 2-подгруппах группы 84 содержатся перестановки: а) (1324); б) (13); в) (12)(34)? 59.7. Доказать, что существуют в точности две некоммутативные неизоморфные группы порядка 8 группа кватернионов 44в и группа диэдра В,4. 59.8. Доказать,что сиповская 2-подгруппа группы ЯЕз(Хз): а) изоморфна группе кватернионов; б) нормальна в Я Ьз (Х з) . 59.9.
Сколько различных силовских р-подгрупп в группе Ая, где: а) р = 2; б) р = 3; в) р = 5? 59.10. Найти порядок сиповской р-подгруппы в группе Яп. 59.11. Сколько различных силовских р-подгрупп в группе Яр, где р — простое число'? 59.12. Доказать, что сиповская р-подгруппа в группе С единственна тогда и только тогда, когда она нормальна в С. 59.13. Пусть /1 ав4 (~в а) Доказать, что Р силовскал р-подгруппа в группе Я л(Хр). б) Найти нормализатор подгруппы Р в ЯЬз(Хр).
в) Найти число различных сиповских р-подгрупп в 81 з(Хр). г) Доказать, что Р -" сиповская р-подгруппа в группе Сйз(Х ). д) Найти нормализатор подгруппы Р в С1 з(Хр). е) Найти число различных силовских р-подгрупп в С1з(Хр). 59.14. Доказать, что подгруппа верхних унитреугольных матрип является сиповской р-подгруппой в ОЬп(Хр). 240 1'л. ХПЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
