1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Доказать, что при сюръективном гомоморфизлле уо: С' — л Н выполнено равенство ~р(С)' = Н'. 62.4. Установить биективное соответствие между. гомоморфизмами группы в коллмутативные группы и гомолюрфизмами её факторгруппы по комму танту. 62.5. Доказать, что коммутант группы С1„(К) содержится в ЯЬ„(К). 62.6. Доказать, что коммутант прямого произведения есть прямое произведение комму тантов сомножителей.
62.7. Найти коммутанты и порядки факторгрупп по коллллутантам для групп: а) Яз; б) Ае: в) 84; г) л1в- 62.8. Найти коммутанты групп: а) Б„; б) Р„. 62.10. Рядом номмутантов (или производным рядом) группы С называется ряд подгрупп Со~С ~С где С~в л — (Сл)~ Доказать,что: а) все члены ряда коммутантов нормальны в С: б) для всякого гомоморфизма ул группы С на группу Н ФС') = Н'.
62.11. Доказать, что: а) вслкая подгруппа разрешимой группы разрешима; б) всякая факторгруппа разрешимой группы разрешима; в) если А и В -- разрешимые группы, то группа Ах В разрешима; г) если С/А = В и А, В разрешимые группы, то С разрешима. 62.12. Доказать разрешимость групп: а) Яз, .б) Ал, в) Ял, .г) ьЬ; д) 11„. 62.13. Пусть 11Т„(К) матриц. Доказать, что: группа верхних унитреугольных 62.9. Доказать, что коммутант нормальной подгруппы нормален во всей гру.ппе.
Гл. Х!И. Груипм 254 а) 11Т'„"(К) (множество матриц из ЮТ„(К) с т — 1 нулевыми диагоналями выше главной) подгруппа в 1УТ„(К); б) если Л е 13Т,',(К), В б 11Т'„(К), то (А, В) Е 1УТ~'~'~ (К); в) группа 1УТв(К) разрешима. 62.14. Доказать, что группа невырожденных верхних треугольных матриц разрешима. 62.15. Доказать, что конечная группа С разрешима тогда и только тогда, когда в ней имеется ряд подгрупп С=НоЗН~ Д ..ДНя=(е) такой, что Ньы нормальна в Н, и Н,~Нмы (циклическая) группа простого порядка. 62.16.
Доказать, что конечная р-группа разрешима. 62.17. Доказать разрешимость группы порядка рд, где р, д различные простые числа. 62.18. Доказать разрешимость группы порядка: а) 20; б) 12; в) р д, где р, д различные простые числа; г) 42; д) 100; е) и < 60. 62.19. Доказать для трансвекций 16(а) = Е+ аЕм формулу (1ц„,(а),1я (р)) = бу(ар) при различных г, ), Й.
62.20. Пусть Е .- - поле и п > 3. Доказать, что: а) 8Ь„(Е) = СЬ„(Е) = 81 „(Е); б) группы 81„(Е) и СЬ„(Е) не являются разрешимыми. 62.21. Пусть Е "-. поле, содержащее не менее четырех злементов. Доказать, что: а) Я4(Е) = С1',(Е) = 81,з(Е); б) группы 8Ьз(Е) и СЬз(Е) не являются разрешимыми. 62.22. Пусть р, д, г различные простые числа. Доказать, что любая группа порядка рта разрешима.
у бд. Разрпиимые 'еруппы 62.23. Пусть р, д, г различные простые числа. Доказать, что неразрешимая группа порядка рздт изоморфна А;. 62.24. Если порядок конечной группы является произведением различных простых чисел, то С вЂ”. разрешимая группа, обладающая такой циклической нормальной подгруппой Х, что С/Х циклическая группа. 62.25. Пусть С конечная группа, причем С = С',центр С имеет порядок 2 и факторгруппа по центру изоморфна Ая. Доказать, что С Яь~(Хь). 62.26. Пусть Р -- паче, 1е — п-мерное векторное пространство над Р и С -- группа невырождснных линейных операторов в 1', причем, если д б С, то д = 1 + б, где б" = О.
Доказать, что: а) в 1е существует такой вектор т ф О, что дт = т для всех д Е С; б) в е' существует такой базис еы.,., е„, что матрицы всех операторов д, д Е С в этом базисе верхнетреугольные; в) группа С разрешима. 62.27. Пусть р, д —.—. простые числа, причем р делит д — 1. Доказать, что: а) существует целое г й: 1 (шос1 д) такое, что г' = 1 (шос1 д); б) существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна некоммутативная группа порядка рд. 62.28. Доказать, что: а) если в коммутативной группе элегяенты а, б связаны соотношениямиа =ба=(аб) =е,тоа=б=е; б) подгруппа., порожденная в 87 перестановками (123) и (14567), не является разрешимой; в) группа с порождающими элементами тм тз и определяющими соотношениями х~ = хз = (и1тз) = е не является разрешимой. 62.29. Разрешима ли свободная группа? Глава Х17 КОЛЬЦА у 63. Кольца и алгебры 63.1.
Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения; а) множество Ж; б) множество пУ (в > 1); в) множество неотрицательных целых чисел; г) множество ф д) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное число п Е И; е) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число р; ж) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями фиксированного простого числа р; з) множество вещественных чисел вида и+ уЯ, где л,у Е Я; и) множество вещественных чисел вида л+ у~/2, где л, у Е Я; к) множество вещественных чисел вида л+ у4'22+ лК4, где л, у, ябан; л) множество комцяексных чисел вида л+ уг, где и, у Е л'; м) множество комплексных чисел вида л + у1, где л, у Е 1Л; н) множество всевозможных сумм вида а1я1 + вяля +...
+ а„л,о где аы ав,..., а„рациональные числа, вы яя,..., я„комплексные корни степени и из 1; и+ у4и о) множество комплексных чисел вида , где .0 — фик- 2 сированное целое число, свободное от, квадратов (не делящееся на у бЯ. Кольца и алееарье квадрат простого числа), х, у целые числа одинаковой четности? 63.2. Какие из указанных множеств матриц образуя>т кольцо относительно матричного сложения и умножения: а) множество вещественных симметрических матриц порядка п; б) множество вещественных ортогональных матриц порядка и: в) множество верхних треугольных матриц порядка п > 2; г) множество матриц порядка ее > 2, у.
которых две последние строки нулевые; /х й д) множество матриц вида, где Р ~,Ру х( ' целое число, х, у Е У; 7' х уь~ е) множество матриц вида ~ (, где Р ~Ру х( ' элемент некоторого кольца К, х, у Е К:, ж) множество матриц вида — ~ ), где Р 2 ~хРу х(' фиксированное фиксированный фиксированное целое число, свободное от квадратов, х и у — целые числа одинаковой четности; з) множество комплексных леатриц вида ~,— и~ и) множество вещественных матриц вида 63.3. Какие из следук)щих множеств функций образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций: а) множество функций вещественного переменного, непрерывных на отрезке ~а, Ь); б) множество функций, имеющих вторую производную на интервале (а, Ь):, в) множество целых рациональных функций вещественного переменного; г) множество рациональных функций вещественного переменного; д) множество функций вещественного переменного, обращающихся в О на некотором подмножестве Р С и; 77 Л.И.
Кострикин Гл. Х?У. Кольца 258 е) множество тригонометрических многочленов ао + ~(аь сов Кх + Ьь в1п йх) с вещественными коэффициентами, где и — произвольное натураль- ное число; ж) множество тригонометрических многочленов вида и ао+ ~совйх в=1 с вещественными коэффициентами, где и произвольное натуральное число, з) множество тригонометрических многочленов вида и ао+ ~ад вшах в=1 с вешественными коэффициентами, где и — — произвольное натуральное число; и) множество функций, определенных на некотором множестве Й и принимающих значение в некотором кольце Л; к) все степенные ряды от одной или нескольких переменных, л) все лорановские степенные ряды от одной переменной? 63.4. Во множестве многочлснов от переменного 1 с обычным сложением рассматривается операция умножения, заданная правилом (2" о д)1ь) = ?~д(1)), Является ли это множество кольцом относительно заданного умно- жения и обы нного сложения? 63.5.
Образует ли кольцо множество всех подмножеств некоторого множества относительно симметрической разности и пересечения, рассматриваемых квк сложение и умножение соответственно? 63.6. Доказать изоморфизм колец из задач: а) 63.1, о) и 63.2, ж); б) 63.2, з) и 63.2, и). 63.7. Какие из колец, указанных в задачах 63.1 — 63.5, содержат делители нуля? з" бУ. Кольца и алеобргл 63.8. Найти обратимыо элементы в кольцах с единицей из задач 63.1 — 63.5.
63.9. Доказать, что одно из колец задач 63.3, д) и 63.3, е) изоморфно,. а другое не изоморфно кольцу многочленов К ~х]. 63.10. Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют гру ппу относительно умножения. 63.11. Найти все обратимые элементы, все делители нуля и все ннтьпотентные элементы в кольцах; а) Х„; б) Хр, где р простое число; в) Е]х)(ЦЫх]), где К .- поле; г) верхних треугольных матриц над полем; д)м (Щ; е) всех функций, определенных на некотором множестве Я и принимающих значения в поле К; ж) всех степенных рядов от одной переменной; з) Х; и) У]1]. 63.12.
Доказать, что группа обратимых элементов Х ~ъ'3]* бесконечна. 63.13. Пусть Л конечное кольцо. Доказать, что; а) если Л не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы; б) если Л имеет единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим; в) если Л имеет единицу, то вслкий левый делитель нуля является правым делителем нуля. 63.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
