1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть К - поле и Р дифференцирование К-алгебры матриц М,ДК). Доказать, что существует такая матрица А Е е М„[К), что Р[Х) = АХ вЂ” ХА для всех Х. Гл. Х1 Ъ'. КольЦа 280 65.13. Пусть К поле нулевой характеристики и Р дифференцирование алгебры Вейля А„(К). Доказать, что существует такой элемент 2' Е А„(К), что Р1д) = Уд — дУ" дла любого д Е Аи(К). 65.15.
Пусть р . - простое число и Хр — - кольцо целых р-адических чисел, т.е. множество всех формальных рядов 2 ',>, а,р', где а, Е Х и О<а, <р. Приэтом ~а р'+ ~ ~Ь,р' = ~ с,р', 1)0 и) вО 1>0 ( р а,р') (ир Ь,р1) = ,'1 д1р', 1>О 1>О 1>0 если для любого и > О в Х,- Е (к и — 1 аор1+ ~ ~=0 "')(~1 и — 1 Ь;р' = ~ с,р', и — 1 Ьср1) = ~ ' А,р*. 2=0 Доказать, что: а) Х кольцо без делителей нуля, содержащее Х; б) элемент 2', а,р' обратим в Хр тогда и только тогда, когда ао=1;2 . р — 1' в) естественный гомоьюрфизм групп обратимых элементов Х„' — ~ Х„'. скьръективен при любом и; г) каждый идеал в Хр главный и имеет вид (ри), п > О; д) найти все простые элементы в Хр.
65.16. а) Доказать, что поле р-адических чисел Яр, т.е. поле частных Хр, состоит из элементов виДа Р Ь, где га Е Х, Ь Е Хр. б) Показать, что Я содержится в С)„в качестве подпола. в) Доказать, что элемент р ( р аор') из Яр, где О ( а1 ( р — 1, ~-~ь>н0 лежит в Я тогда и только тогда, когда, начиная с некоторого 11', элементы а„ 1 > 1У1, образуют периодическую последовательность. г) Найти в (~ образы элементов 2117 и 1/3.
65.14. Доказать, что полугрупповое кольцо Л[>) упорядоченной полугруппы Я не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда кольцо 27 не имеет делителей нуля. о бб. Поля 281 65.17. Пусть К поле, р нсприводимый многочлен от одной переменной Х с коэффициентами в К. Построить по аналогии с задачей 65.15 кольцо К[Х] и его поле частных К(Х)„. Показать, что если р имеет степень 1, то К[Х]р К[[Х]]. 65.18. Найти все подкольца поля рациональных чисел Я, содержащие единицу.
8 66. Поля 66.1. Какие из колец в задачах 63.1 -63.3 являются полями? 66.2. Какие из следующих множеств матриц образуют поле относительно обычных матричных операции: х, у Е Я, где и -- фиксированное целое число; х, у Е К, где и --- фиксированное целое число; х,у 6 Хр, где р= 2,3,5,7? 66.3. Пусть К вЂ” поле и à — — поле дробей алгебры формальных степенных рядов К[[х]].
Доказать, что каждый элемент из г' 1тредставляется в виде х 'Ь, где я > 0 и Ь Е К[[х]]. 66.4. Доказать, что порядок единицы поля в его аддитивной группе либо бесконечен, либо является простым числом. 66.5. Для каких чисел и = 2,3,4,5,6,7 существует поле из и элементов? 66.6.
Доказать, что поле из р элементов, где р — . простое число, имеет единственное собственное подполе. 66.7. Доказать, что поля Я и Н не имеют автоморфизмов, отличных от тождественного. 66.8. Найти все автоморфизмы поля С, при которых каждое вещественное число переходит в себя. 66.9.
Имеет ли поле 14(ь'2) автоморфизмы, отличные от тождественного? 66.10. Доказать,что в полег характеристики р: Гл. Х?У. Кольца 282 а) справедливо тождество (х + 9)" = х' + у" (т натуральное число); б) есаи Р конечно, то отображение х ьч х" является автоморфизмом. 66.11. Доказать, что если комплексное число з не является вещественным, то кольцо Щл) совпадает с полем С. 66.12.
При каких т, н Е Ж 'у (0) полл Щз?'т) и Я(з!й) изоморфны? 66.13. Доказать, что для любого автоморфизма ьо поля Л множество элементов, неподвижных относительно ьо, является подполем. 66.14. Доказать, что любые два поля из четырех элементов изоморфны. 66.15. Существует ли поле, строго содержащее поле комплексных чисел? 66.16.
Доказать, что любое конечное поле имеет положительную характеристику. 66.17. Существует ли бесконечное поле положительной характеристики? 66.18. Решить в поле Я(т/2) уравнения: а) х'+ (4 — 2з?2)х+ 3 — 2ъ'2 = 0,: б) ха — х — З=О; в) х'+х — 7+ бъ'2 = 0; г) хз — 2х+ 1 — з?2 = О. 66.19. Решить систему уравнений х+2л=1, О-Ь2я=2, 2х+л= 1: а) в поле Хз; б) в поле Хь.
66.20. Решить систему уравнений Зх+ р+ 2л = 1, х+ 2у+ Зл = 1, 4х+ Зр+ 2л = 1 в поле вычетов по модулю 5 и по модулю 7. 66.21. Найти такой многочлен 7'(х) степени не выше 3 с коэффициентами из Хь, что 7"(0) = 3, 7"(1) = 3, 7"(2) = 5, 7"(4) = 4. о бб. Поля 288 66.22. Найти все многочлены 7(х) с коэффициентами из Х;, что 7'(0) = 7(1) = 7"(4) = 1, 7(2) = 7"(3) = 3. 66.23. Какие из уравнении; а)хз=5, б)х~=7, в)ха=а, имеют решения в поле Хм? 66.24. В поле вычетов по модулю 11 решить уравнения: г+Зх+7 = 0 б) хз + 5х + 1 = 0; в) хз + 2х + 3 = 0; г) хз + Зх+ 5 = О.
66.25. Доказать, что в поле из п элементов выполняется тождествах" =х. 66.26. В поле Х решить уравнение х" = а. 66.27. Доказать, что если х" = х для всех элементов х поля К, то К конечно, и его характеристика делит п,. 66.28. Найти все порождающие элементы в мультипликативной группе поля: а) Хт, б) Хм', .) Хы. 66.29.
Пусть а, Ь элементы поля порядка 2", где п нечетно. Доказать, что если аз + аЬ+ Ьз = О, то а = Ь = О. 66.30. Пусть Е поле, причем группа Е' циклическая. Доказать,что Г конечно. 66.31. В поле рациональных функций с вещественными коэффициентами решить уравнения; а) 7'о=1; б) 7"з — 7 — т=О. 66.32. Доказатеа что в поле Хр выполняются равенства: р — ~ (р — ~Уз а) ~ Ь ' = 0 (р > 2): б) ~ ~Ь з = О (р > 3).
в=1 ь=~ 66.33. Пусть п > 2 и ~ы ...,~о, "- все корни п-й степени из 1 в поле К. Доказать, что: а) (~ы..., ~„„) - группа по умножению: б) ((м..., ~~) -- корни степени ш из 1; в) т делит и; Гл. Х1У. Кольца г) если Й 6 Ж, то .ь ь с О, если сп не делит к, с,",+...+~' = ~ т, если т делит Й.
66.34. Пусть тять — с ...спо и пыль с...по -- записи натуральных чисел т и и в системе счисления с основанием е, гдо е — простое число. Доказать,что а) числа и ... при делении на е дают оди- паковые остатки; /тсС б) ~ ) делится на е тогда и только тогда, когда при некотором 1 ~,сп ) выполйяется неравенство т; < и,. 66.35. Нормссроеанием поля К называется функция ~~хО, х 6 К, принимающая вещественные неотрицательные:значения, причем: ~~хО = О тогда и только тогда, когда х = О; ~! Л = ~И~ЬВ ~! '+у!~ < ~И~+ ~Ь~~ Доказать, что следующие функции в Я являются нормированиями: ) ~И~= б) ()х)( = )х)', где е фиксированное число, О < е < 1; в) ()х)! = )х(„', р простое число, е фиксированное положительное число, меньшее 1, причем если х = р'тп,, где т, и целые числа, не делящиеся на р, то ~х~„= р '.
66.36. Пусть ~~х~~ норлсирование Я, причем существует такое у, что ()у)! ф О, 1. Тогда ()х)( имеет либо вид б), либо вид в) из задачи 66.35. 66.37. Пусть К "- поле и К(х) "- поле рациональных функций от одной переменной х. Доказать, что следующие функции в К(х) являются нормированиями: й бб. Поля 285 б)]]»п» ]]= 'а'я '", где Ь,дак[х] и О« .1. в) ости р(т) — неприводимый многочлен, 6 = р(х) "и(х)с(х), где и(х), и(х) многочлены, не делящиеся на р(х), то ]й] = с', где О < с < 1. 66.38.
Доказать., что: а) пополнение О относительно нормирования из задачи 66.37, б) равно К, б) пополнение Я относительно нормирования из задачи 66.37, в) равно Я)р; в) пополнение У относительно нормирования из задачи 66.37, б) равно Кр; г) пополнение С[х] относительно нормирования из задачи 66.37, в) с р = х равно алгебре степенных рядов С[[я]]. 66.39.
Последовательность х„, и, > 1, злементов из Яр сходится относительно метрики ]]»]] из задачи 66.37, в) тогда и только тогда, когда 1пп ]]х„— х„е~][р = О. п~ — и пп 66.40. При каких» 6»п)р сходятся ряды: »и а) е и! б) 1п(1+ х) = ~ ~— ( — 1)п»п; п>~ в) ~ хи? п>О 66.41. ПУсть а Е Яр и хп = аР . СУществУет ли 1пп„„х„? 66.42. Пусть»"(х) Е Ер[х], ао Е Ур, причем ]],»(ао)»7 (ао) ]]р < 1.
Положим »(ап) а„ео = ап— Доказать, что существует а = 1цп а„, причем »(а) = О и ]]а — ао]]р < 1. 66.43. Доказать, что любой автоморфизм в Яр тождествен. 66.44. Пусть »(х) Е У р[х] имеет степень и и старший коэффициент Дх) равен 1. Пусть образ Д(х) многочлсна »(х) в Е,»рУ[х] разложим, »(х) = б(х)и(х), где д(х), 6(х) взаимно просты, имеют старший Гл. Х1'ь'. Кольца 266 коэффициент 1, причем аренд(х) = г, беб6(х) = еь — г. Тогда 2"(х) = и(х)и(х), где беби(х) = г, бебй(х) = и — г, старшие коэффициенты и(х), ь(х) равны 1, причем образы и(х), с(х) в Х/рХ[х] равны соответственно д(х) и й(х). 66.45. Пусть 1(х) Е Хр[х] и а 6 Хр, причем в Хр 1(а) = О, ) '(а) ~ О. Тогда существует такои элемент д Е Хр, что 1(Ь) = О и образ Ь в Хр равен а. 66.46.
Пусть ги натуральное число, не делящееся на р, а Е Е 1+ рХ„. Тогда существует такое Ь Е Хр,. что Ь~ = и. 66.47. Пусть поля Я и Яр изоморфны. Доказать, что р = р'. 66.48. Кольцо У компактно в С)„относительно р-адической топологии. 8 67. Расширения полей. Теория Галуа В этом параграфе все кольца и алгебры предполагаются коммутативныл~и и обладающими единицей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
