1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 45
Текст из файла (страница 45)
69.4. Будет ли линейным представлением группы К в пространстве С(К) непрерывных функций на вещественной прямой отображение А, определлемое по формулам: а) (Ь(1)1)(х) = 1(х — 1); б) (1(1)1)(х) = 1'(ех); в) (1 (1)1)(х) = 1(е'х); 1 69. Предсюавления оуупп. Основные понягаия 303 г) (1,(е)у)(х) = е'у(х); д) (1 (е)У)(х) = У(х) + ~; е) (А(С)у)(х) = е'((х+ Е)? 69.5. Какие из подпространств в С(Щ инвариантны относительно линейного представления Ь из задачи 69.4, а): а) подпространство бесконечно дифференцируемых функций; б) подпространство многочяенов, в) подпространство многочленов степени < и; г) подпространство четных функций; д) подпространство нечетных функций; е) линейная оболочка функций вш х и сов х; ж) подпространство многочленов от сов х и ейпх; з) линейная оболочка функций соя х, сов 2х,..., сових; и) линейная оболочка функций е"',е"',...,ее"', где сыею...
..., сп различные фиксированные вещественные числа'? 69.6. Найти подпространства пространства многочленов,инвариантные относительно представления Ь из задачи 69.4а. 69.7. Записать матрицами (в каком-либо базисе) ограничение линейного представления Ь из задачи 69.5 на подпространство много- членов степени < 2. 69.8. Записать матрицами (в какоььлибо базисе) ограничение линейного представления А из задачи 69.5 на линейную оболочку функций вш х и соя х. 69.9. Доказать, что каждая из следующих формул определяет линейное представление группы С1 п(г') в пространстве Мп(Г): а) Л(А) Х = АХ; б) Лс1(А) Х = АХА ', в) Ф(А) Х =.4Х'.4.
69.10. Доказать, что линейное представление Л (см. задачу 69.9, а)) вполне приводимо и его инвариантные подпространства совпадают с левыми идеалами алгебры М„(К). 69.11. Доказать, что если сЬагг" не делит п, то линейное представление А4 (см, задачу 69.9, б)) вполне приводимо и его нетривиальные инвариантные подпространства пространство матриц с нулевым следом и пространство скалярных матриц. Гл. ХК Элементы теории предетиилений 304 69.12.
Доказать, что если с14а4 Е ~ 2, то линейное представление Ф (см. задачу 69.9, в)) вполне приводимо и его нетривиальные инвариантные подпространства — - пространства симметрических и кососимметрических матриц. 69.13. Пусть 1е двумерное пространство над полем Г. Показать, что существуют представления р4 и Ро группы Яе на 4', для которых в некотором базисе пространства 1' будут выполнены соотношения Р4Й1 2)) =, Р4((1 2 3)) = рзИ1 2)) = )и ), Ри((1 2 3)) = ~ 1 1) . ?'О 1~ у о Доказать, что эти представления изоморфны тогда и только тогда, когда с14аг Г ф 3.
69.14. Пусть 1х —. двумерное векторное пространство над полем Р. Показать, что существуют два представления рм рз группы 114 = (о, Ь | ал = Ьз = (оЬ)Я = 1) на Ъ', для которых в некотором базисе пространства )х будут выпол- нены соотношения Р1'4 ) Р4( ) Будут ли эти представления эквивалентны? 69.15. Пусть р4 и рз предстааяения групп Бз и Рл из задач 69.13 и 69.14. Будут ли эти представления неприводимы? 69.16. Пусть 1' - - векторное пространство над полем Е с базисом (е4,...,е„).
Зададим отображение иЬ: ߄— 4 СЛ (1'), полагая 4Р (ею) ео(6 ~ гДео ЕЯн, 4=1,...,п. Доказать, что: а) ф -- представление группы Яп; Е" бд. Преостнавленая оууип. Основные ноняганя 305 б) подпространство И' векторов, сумма координат которых относительно базиса (еы..., ео) равна нулю, и подпространство П векторов с равнылеи координатами инвариантны относительно представления нд в) если сЬаг Г не делит и, .то ограничение представления Ф на И' неприводимое (и — 1)-мерное представление группы Ян. 69.17. Пусть Р, „, подпространство однородных многочленов степени т в алгебре Г(хы...,.х„,,) и сйагГ = О. Определим отображение О: СЬа(Г) в СЬ(Р„ы), полагая для 1 е Р„„, и А = (аб) е Е СЬо(Г): (Оят')(хм...,х„) = 1 ~ х,ап,...,~~ х,аеа ~в=1 в=1 Доказать, что О - - неприводимое представление группы СЬо,(Г) на пространстве Рн,„, 69.18. Пусть задано и-мерное пространство И над полем Г нулевой характеристики.
Определим отображение 0: С1 (И) в С1 (Д И), полагая 0(()(х1 Л ... Л х ) = (ух1) Л ... Л (ух,„), где хм, ..,х,„е И и у е СЬ(И). Доказать, что 0 --- неприводимое представление группы С1 (И). 69.19. Доказать, что: а) для любого представления р группы С сушсствует представление рсоа' группы С на пространстве Ие"' =-+ И З... х И т раз контравариантных тензоров на пространстве И такое, что уе (дМ з ... х о.,) = (у(д)о ) е З (у(д) ' ) при лквбых пы..., оы е И, д е С; б) подпространства симметрических и кососимметрических тензоров явллются инвариантными подпространствами для представления р~' . Найти размерности этих подпространств, если йт Г = п. 69.20.
Пусть задано представление Ф; С -в СЬ(г') над полем Г и гомоморфизм ~: С вЂ” ~ Г*. Рассмотрим отображение Ф» . С вЂ” в С1 (к ), заданное по правилу Фе(д) = с(д)Ф(д), д е С. Доказать, что Фе--- ЗО А.И. Кострикии Гл. ХГ. Элементы теории нредетиоленнй 306 представление группы С. Оно неприводимо тогда и только тогда, когда неприводимо представление Ф. 69.21. Пусть Ф комплексное представление конечной группы С. Доказать, что каждый оператор Фо, д е С, диагонализируем. 69.22. Пусть р:С вЂ” > СЬ[Г) — конечномерное представление группы С над полем г'. Доказать, что в Г существует базис, в котором для любого д Е С матрица р(д) имеет клеточно-верхнетреугольный вид где ре неприводимые представления группы С. 69.23.
Пусть р: С вЂ” > С1 [Г) конечномерное представление группы С и в Г существует базис (еы...,е„), в котором для любого д Е С матрица р[д) имеет клеточно-верхнетреугольный вид из задачи б9.22, где размер де квадратной матрицы р,(д) не зависит от д. Доказать, что: а) линейная оболочка Ъ', векторов ел>~. д„ >е.>,...,сд> ...,.л, являетсл С-инвариантным подпространством [1 < > < т); б) отображение д > †> р,[д) является матричным представлением группы С; в) линейное представление группы С, соответствующее этому матричному представлению, изоморфно представлению, возникающему на факторпространстве Ъ;/Г» [по определении> 1о = 0).
69.24. Пусть р: С вЂ” > СЬ[Г) —. представление группы С. Доказать, что; а) для ли>бого о 6 Г линейнзл оболочка (р[д)е [ д б С) является инвариантным подпространством для представления >д б) любой вектор из Г лежит в некотором инвариантном подпространстве размерности < [С[. в) минимальное инвариантное подпространство, содержащее вектор е е Г, совпадает с (р[д)е [ д е С). 69.25. Пусть р: С -> С1 [Г) — представление группы С и Н подгруппа в С, [С:Н) = й < со. Доказать, что если подпространство Н инвариантно относительно ограничения представления р на подгруппу Н, то размерность минимального подпространства, со- В оу. Представления еуупп.
Основные понягяня 307 держащого Ь7, инвариантного относительно предстааяения р, не пре- восходит Й. ЙтЬ7. 69.26. Пусть Г векторное пространство над полем С с базисом (ем..., е„). Определим в 1' представление Ф циклической группы (а)„, полагая Ф(а)(е,) = е,ел при г < и и Ф(а)(е„) = еь При и = 2т найти размерность минимального инвариантного подпространства, содержащего векторы: а) е~ + сема; б) е~ + ев +... + езы — ~,' в) е~ — е +ез — ..— езы; г) с~+ее+...
+епп 69.27. Доказать, что у любого множества попарно коммутирующих операторов на конечномерном комплексном векторном пространстве Г есть общий собственный вектор. 69.28. Доказать, что всякое неприводимое представление абелевой группы на конечномерном векторном пространстве над полем С одномерно. 69.29. Пусть С = (а)р х (Ь)р, где р - простое число и К --поле характеристики р. Предположим,что е †. векторное пространство над К с базисом хв,хы ..,,хп,ум ...,у„. Зададим отображение р: С вЂ” в С1 (1'), полагая р(а)х, = р(Ь)х, = х„0 < 1 < и, р(а)ув = х;+уь 1 <1 < и; р(Ь)у, = уе + х, и 1 < г < и.
Доказать, что р продолжается до представления группы С. Проверить, что это представление неразложимо. 69.30. Доказать, что неприводимые комплексные представления группы 17р взаимно однозначно соответствуют последовательностям (ап) натуральных чисел таким, что ап — = а„ьв (тое1 р") 0<а„<р" — 1, при всех и. 69.31. Доказать, что неприводимые компяексные представления группы ЯД взаимно однозначно соответствуют последовательностям натуральных чисел (ап) таким,что а„= а (пто~1 и), 0 < ап < и — 1, если и делит т.
Гл. ХК Элементы теории представлений 308 8 70. Представления конечных групп 70.2. Перечислить все неприводимые комплексные представления групп; а) (а)г; б) (а)л; в) (а)г х (Ь)г; г) (а)в, .д) (а)з', е) (а)л х (Ь)г,' ж) (а)г х (6)г х (с)г, .з) (а)в х (6)з' и) (а)з х (6)гг. 70.3. Пусть )с Е С1 (Р') и А" = Е. а) Доказать, что соответствие а" е-у А" определяет представление циклической группы (а)н на пространстве у'. б) Найти все инвариантныс подпространства этого представления в случаях: векторное пространство над полем Г, А Е =6, л=( в) Пусть Е = С и в 1г имеется такой базис ев,см.,.,е„п что /е,лы если г<п — 1, (ег 1 св; если г=п,— 1.
Разложить это представление в прямую сумму неприводимых. г) Доказать, что представление из в) изоморфно регулярному представлению группы (а) „. 70.4. Разложить в прямую сумму одномерных представлений регулярное представление группы: а) (а)г х (6)г, 'б) (а)г х (6)з, 'в) (а)г х (6)л. 70.5. Пусть Н = (а)з " циклическая подгруппа группы С, Ф--- регулярное представление группы С н Ф -- его ограничение на Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
