1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 42
Текст из файла (страница 42)
67.1. Пусть А - — алгебра над полем К и К=К,сК, сК, с...сК„ башня подполей в А. Доказать,что (А: К) = (А: Кь)(К,: К,, ) .. (К,; К,), 67.2. Пусть А - алгебра над полем К и а Е А. Доказать,что: а) если элемент а не является алгебраическим над К, то подалгебра К[а] изоморфна кольну многочленов К[х]; б) если и -- алгебраический элемент над К, то К[а] = К[х]/(р,(х)), где р,(х) некоторый однозначно определенный унитарный много- член (минимальный многочлен элемента а,) над К; 1' 67. Расширения полей. Теория Галуа 287 в) если А поле, то для вслкого алгебраического над К элемента о Е А много шен р,(х) неприводим в К[х); г) сели все элементы из А алгебраичны над К и для всякого о.
6 А многочлен р„[х) неприводим, то А — поле. 67.3. Найти минимальные многочлены дяя элементов: а) ъе2 над Я; б) Я над Я; в) 'те 9 9над Я; г) 2 — 31 над й; д) 2 — 31 над С; е) т72+ т73 над Я; ж) 1+ ие2 над ф~(2+ ъ'3). 67.4. Доказать, что: а) если А --. конечномсрная алгебра над К, то всякий элемент из Л алгебраичен над К; б) если аа,..., о, Е А алгебраические элементы над К, то подалгебра К[па,..., а„) конечномерна над К. 67.5. Доказать, что осли А поле и оа,...,ал Е А алгебраические элементы над К, то расширение К[ам..., о„) совпадает с алгеброй К[ой,, .., о,).
67.6. Доказать, что множество всех элементов К-алгебры А, алгебраических над К, является подалгеброй в А, а если Л --. поде, то подполем. 67.7. Доказать, что если в башне полей К = Ке С Ка С Кз С ... С К, = 1 каждый этаж К; е С К, [1 = 1,..., е) является алгебраическим расширением, то Е/К алгебраическое расширение. 67.8. Доказать, что всякий многочяен с коэффициентами из поля К имеет корень в некотором расгпирении А/К. 67.9.
Пусть К вЂ” поле. Доказать, что: а) для произвояьного многочлена иэ К[и[ существует поле разложения этого многочлена над К; б) для любого конечного множества многочденов из К[я) существует поле разложения над К. 67.10. Пусть К поле, д[х) Е К [х), 1е[х) Е К[х), 1"[х) = д[й[х)), и о - корень многочяена д[х) в некотором расширении Е/К. Дока- Гл. Х1у'. Кольца 288 зать, что многочлен у нсприводим над К тогда и только тогда, когда д(х) ноприводим над К и 6(х) — о неприводим над К[о). 67.11. Пусть К поле, а Е К.
Доказать, что: а) если р простое число, то многочлен,тт — а либо неприводим, либо имеет корень в К; б) если многочлен х" — 1 разлагается в К[х) на линейные множители, то многочлен х" — и, Е К[х) либо неприводим, либо для некоторого делителя И ~ 1 числа и многочлен х~ — а имеет корень в К; в) предположение о разложимости х" — 1 на линейные множители существенно для справедливости утверждения б). 67.12. Доказать, что над полем К характеристики р ф О много- член у[х) = х" — х — а либо неприводим, либо разлагается в произведение линейных множителей, и указать это разложение, если Г(х) имеет корень хя. 67.13. Найти степень поля разложения над Я для многочленов: а) ах+8 (а,б Е Я, и у'= О);.
б) хе — 2; в) хз — 1; г) хз — 2: д) хь — 2; е) х" — 1 [р —. простое число); ж) т," — 1 (и Е 1з); з) хо — а [а Е Я и не является р-й степенькь в Я, р простое число); и) (хя — а1)... [х — а„) [аы...,а„принадлежит С)* и все различны). 67.14. Доказать, что конечное расширение Ь/К является простым тогда и только тогда, когда множество промежуточных полей между К и А конечно, и привести пример конечного расширения, не являющегося простым. 67.15. Пусть 1/К - алгебраическое расширение. Доказать, что расширение Ь(х)/К(х) также алгебраическое и [Г(х): К(х)) = (Л: К). 67.16. Пусть 1/К -.. расширение, Элементы им,,., а, Е Г называются лзебрицческц независцлььилц над К, если ~(а„..., а,) у': О для всякого ненулевого многочлена у(хы..., х,) Е К[хм..., х,).
Доказать, что элементы им, а, Е Г, алгебраически независимы над К тогда и только тогда, когда расширение К[ам..., а,) К-изоморфно полю рациональных функций К(хм..., т,,). у 67. Расширения полей. Теория Галуа 289 67.17. Пусть Л/К расширенно и аг,..., а,; ог,..., Ьн две максимальные алгебраически независимые над К системы элементов из Ь. Доказать, что гп = п ! степень трансцендентности Ь над К).
67.18. Доказать., что: а) в конечномерной коммутативной Л-алгебре,4 имеется лишь конечное число максимаяьных идеалов, и их пересечение совпадает с множеством Х(А) всех нильпотентных элементов алгебры А (ниль- радикал аягебры А); б) .4пы = А/Ле(Л) --- редуцированная алгебра (не содержит отличных от 0 нильпотентных элементов); в) алгебра А/Ле(А) изоморфна прямому произведению полей Кг,..., К„являющихся расширениями полл К; г) т ( (А: Л ); д) набор расширений К! определен для алгебры А однозначно с точностью до изоморфизма', е) если В -- подалгебра в Л, то всякая компонента В .является расширением в одной или нескольких компонентах А: ж) если Т --. идеал в А, то компоненты алгебры А/Т содержатся среди компонент алгебры А.
67.19. Пусть К поле, /(л) Е К[к), рг!и)"! ...р,(х)"' разложение /(л) в произведение степеней различных неприводимых многочленов над К, А = К~к]/(Дх)). Доказать, что Л"е" = А/~~А) = П йИ/~ «.» е,=! 67.20. Пусть А — К-алгсбра и Х вЂ” расширение поля К. Доказать, что: а) если /г,... /и различные Л-гомоморфизмы А — е Л, то /г,... ...,/и линейно независимы как элементы векторного пространства над Ь всех К-линейных отображений .4 — > Л; б) число различных К-гомоморфизмов Л вЂ” у Ь не превосходит (А ! ь).
Найти все автоморфизмы полей Я(ъ/2), !м!ъ/2+ ъ/8), !мста/2) 67.21. Пусть А ". конечномсрная К-аягебра и Л -- расширение поля К. Положим Аь = Л йук А. Пусть (ег,...,е„) базис А над К. !расширения Ье,...,К, вместе с каноническими голюморфизмами Л вЂ” е К, называются компонентами олгеурв! г! !9 Л.И. Кострикин 290 Гл. Х1Ъ'.
Кольца Доказать, что: а) (1меы...,1Зеи) базис.4ь над 1; б) при естественном вложении А в Аь образ А явтяется К-подалгеброй в Аш 67.22. Пусть А конечномерная К-алгебра, 1 расширение поля К. Доказать, что: а) если В подалгебра в А, то Вь подалгебра в Лтд б) если 1 идеал алгебры А и 1ь соответствующий идеал в Аь, то (Л/1)ь — Ль!122 ь 8 в) если А = ПАо то Аь П(.4,)л, ь=-1 ~=1 г) если Кы..., К, множество компонент алгебры А, то мно- жество компонент алгебр Ль совпадает с объединением множеств компонент алгебр (К1)ь,..., (К,)ь, д) если Е расширение поля 1, то (Аь), = Ар.
67.23. Пусть А конечномерная К-алгебра, Ь расширение поля К, В некоторая 1-алгебра. Доказать, что: а) каждый К-гомоморфизм А — ~ В однозначно продояжается до 1-гомоморфизма .4а -~ Вь; б) множоство К-гомоморфизмов А — ~ Ь находится в биективном соответствии со множеством компонент алгебры Аш изоморфных 1; в) число различных К-гомоморфизмов А — > Ь не превосходит (А: К) (с1к с задачей 67.20, 6)). 67.24.
Пусть Е и 1, расширения поля К и Е конечное. Доказать, что существует расширение Е/К, для которого имеются вложения Е в Е и Е в Е, оставляк>щие на месте все элементы из К. 67.25. Пусть Л вЂ” конечномерная К-алгебра и А = К[ам..., а,]. Доказать, что следующие свойства расширения 1/К равносильны: а) все компоненты Аь изоморфны 1; б) 1 поле расилепления для минимального многочлена любого элемента а Е А (расщепляющее поле К-алгебры А). 67.26.
Доказать, что если 1 расщепляющее поле К-алгебры А и  — подалгебра в А, то любой К-гомоморфизм  — > 1 продолжается до К-гомоморфизма А — > 1. 67.27. Расщепляющее поле 1 для конечномерной К-алгебры А называется полем разложения, для А,. если никакое его собственное й 67.
Раеилиреиия полей. Теория Галеуа 291 подполе, содержашое К, не является расщепляющим для А. Доказать, что; а) если А = К[ам..., а,), то Л поле разложения для А тогда и только тогда,. когда Š— поле разложения для минимальных много- членов элементов аы..., и,; б) любые два поля разложения К-алгебры А изоморфны над К; в) для поля разложения К-алгебры А существует К-выржение в любое расщепляющее поле для А. 67.28. Пусть А конечномерная К-алгебра, Т поле расщепления для А. Доказать, что число компонент Ь-алгебры Ас одно и то же для всех расщепляющих полей алгебры А [сепарабельпая степень [А: К), алгебры А). 67.29.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
