1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 44
Текст из файла (страница 44)
67.61. Используя основную теорему теории Галуа и существование вещественного корня у всякого многочлена нечетной степени с вещественными коэффициентами, доказать алгебраическую замкнутость поля комплексных чисея. 67.62. Доказать, что группа Галуа всякого конечного расплирения Ь/Ур циклическая и порождается автоморфизмом х ~ — > х" [х Е ь). 67.63. Доказать, что группа Галуа над полем Л сепарабельного многочлена ) (х) 6 Л [х), рассматриваемая как подгруппа в Ян, содержится в группе четных перестановок тогда и только тогда, когда дискриминант "= П[" -")' л>1 многочлена У'[х), гДс хм.,,, хо .
— коРни Г[х) в его поле РазложениЯ, яьшяется квадратом в поле К, 67.64. Пусть Л/К - - расширение Галуа с циклической группой ГалУа (9о)о. Доказать, что сУществУет такой элемент а б А, что элементы оьуь[а),...,9лн '[а) образуют базис Е над К. у 67. Риеизирения нолей. Теория Галуа 67.65.
Пусть Ь/К сепарабельное расширение степени и и ры...,~ри различные К-вложенил Ь в некотороо расщепляющее для Ь поле. Доказать, что элемент а 6 Ь является примитивным элементом в Ь/К тогда и только тогда, когда образы уу1(а),..., уи„(а) различны. 67.66. Найти группу автоморфизмов К-алгебры, лвияющейся прямым произведением п полей, изоморфных Л. 67.67. Пусть 1 /Л вЂ” расширение Галуа с группой Галуа С, Ь = = П Ь, где Ь - компонента алгебры Ь~, .проекция на которую индуцирует на Ь автоморфизм п, и е .— единица компоненты Ь .
Доказать, что для продолжений автоморфизмов из С до Ь-автоморфизмов алгебры Ье справедливы равенства т(си) = Е„,.-Ы Н, т 6 С. 67.68. Пусть Ь вЂ”. расшепляюшее поле длл сепарабельной К-алгебры А и ууы..., узи --. множество всех К-гомоморфизмов А — ~ Ь. Доказать, что элементы уы ..,, 9„Е А образуют базис А над К тогда и только тогда, когда с1ет(уиДу )) ф О.
67.69. (Теореме о нормальном базисе.) Доказать, что в расширении Галуа Ь/К с группой Галуа С существует такой элемент а 6 Ь, что множество 1о(а) ~ е Е С) является базисом поля Ь над К. 67.70. Найти поле инвариантов К(хы..., т,„)л" для группы Аи, действующей на поле рациональных функций посредством перестановок переменных.
67.71. Пусть е первообразный комплексный корень степени и из 1 и группа С = (п)„ действует на поле С(хы ...,х„) по правилу ~т(х~) = е ху (1 = 1,...,»). Найти поле инвариантов С(хш..., хи) '. н 67.72. Найти поле инвариантов для группы С. действующей на поле С(хч,...,хи) посредством циклической перестановки переменных. 67.73. Пусть поле К содержит все корни степени ц из 1 и элемент а 6 К не является степенью с показателем д > 1 ни для какого делителя д числа п. Найти группу Галуа над К многочлена:г" — и.
67.74. Пусть поле К содержит все корни степени п из 1 и Ь/К расширение Галуа с циклической группой Галуа порядка н. Доказать, что Ь = К( фа) для некоторого элемента а е К. Гл. ХХЪ'. Кольца 298 67.75. Пусть поле К содержит все корни степени и из 1. Доказать, что конечное расширение ХХК явллется расширением Галуа с абелевой группой Галуа периода и, тогда и только тогда, когда х, = к(в,,...,в,), где О," = а, Е К 11 = 1,..., а) (т.е. Х является полел1 разложенил над К многочлена П,', (х," — а,)'). 67.76. Пусть поле К содержит все корни степени и из 1 и Х, = = к(в,,..., в,), где 0,9 = а, Е К' (г = 1,...,. я). Доказать,что 67.77.
Пусть поле К содержит все корни степени и из 1. Установить биективное соответствие между множеством всех (с точностью до К-изоморфизма) расширений Галуа с абелевой группой Галуа периода и и множеством всех конечных подгрупп группы К'/(К )" 67.78. Доказать, что всякое расширение Галуа Х,/К степени р поля К характеристики р > О имеет вид Х = К(0), где 0 корень многочлена хо — х — а (а е К), и, обратно, всякое такое расширение является расширением Галуа степени 1 или р. 67.79. Пусть К -- поле характеристики р > О. Доказать, что конечное расширение Ь/К является расширением Галуа периода р тогда и только тогда, когда Х, = К(вм ...,О,), где 0; — корень многочлена х" — х — а; (а; Е К; 1 = 1,..., я).
67.80. Пусть К .— поле характеристики р > О и Х = К(вм...,0„), где О, корень многочлена х" — х — а; '1а; Е ХС, 1 = 1,..., я). Доказать,что С(Х/ХС) (р(К),аы.,,,а,)/К, где р: К -+ К аддитивный гомоморфизм х ь+ хо — х. 67.81. Пусть К поле характеристики р > О. Установить биективное соответствие между множеством всех (с точностью до К-изоморфизма) расширений Галуа Х,(К с абелевой группой Галуа периода р и множеством всех конечных подгрупп группы КХр(к). В 68. Конечные поля 299 9 68. Конечные поля 68.1. Доказать, что всякое конечное расширение конечного поля является простым.
68.2. Доказать, что: а) конечное расширение конечного поля нормально; б) любые два конечных расширения конечного поля Г одной степени Г-изоморфны. 68.3. Доказать, что; а) для любого числа 9, являющегося степенью простого числа, существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из д элементов; б) вложение поля Уо в поле У„существует тогда и только тогда, когда 9' есть степень д; в) если К и Ь вЂ”. конечные расширения конечного поля Г, то Г-вложение поля К в Ь существует тогда и только тогда, когда (К: Ь) ~(Е: Г), г) если многочлен г'1х) над конечным полем Г разлагается в произведение неприводимых множителей степеней пы, .., п„то степень поля разложения многочлена 1 1х) над Г равна наименьшему общему кратному.
чисел пы..., пя 68.4. Пу.сть Г - конечное поле из нечетного числа 4 элементов. Элемент а, Е Г' называется квадратичным вычетлояе в Г, если двучлен хз — а имеет корень в Г. Доказать, что: а) число квадратичных вычетов равно (д — 1)/2; б) а является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда а~о "" = 1, и не является квадратичным вычетом при а'о "'- = — 1. 68.5. Разложить на неприводимые множители: а) х~+х +х~+1 в Уз~х); б) хз + 2х' + 4х + 1 в Уе ~х]; в) хе+ те + х+ 2 в Уз[х); г) х45+ Зхз + 2тя + х + 4 в Рея и. Гл.
Х1У. Кольца 300 68.7. Пусть а и Ь взаимно простые числа и и: х — > ах становка на множестве классов вычетов по модулю Ь. Доказать, что: а) если Ь четко, то пере- 1 при Ь = 2 (~пос1 4), вяпа = (-1)~ 1ЯЯ при Ь = 0 (пюс1 4); б) если Ь нечетно, Ь = П; р, (ры.,,,р, — простые числа), то где ( — / = ~ ~ (симеол Лежандра) (в этом случае яапа обозна(р / [х„,,) га( чается через (-) и называется символом Якоби) * (Ь) 68.8. Пусть С -- аддитивно записанная конечная абелева групуо 1 па нечетного порядка, о -- автоморфизм группы С, ( — ) = яапа, где а рассматривается как перестановка на множестве С. Доказать, что если С представляется в виде объединения (О) 1У Я 1У ( — Я) непересекающихся подмножеств, то 68.9.
Пусть а автоморфизм группы С нечетного порядка, С1 .подгруппа в С, инвариантная относительно и, Ся = С/С~ и лат 68.6. Для эломонта а Е Е* положим ~ — ) равным 1, если а ~Г) квадратичный вычет в Г, и — 1 в противном случае. Доказать, что: гат а) отображение Г* †> ( — 1,1), при котором а ~+ ( †), является гомоморфизмом групп; хат б) ( — ) = яяпо, где о,: х ~ ах перестановка на множестве — ь~ элементов поля г'. З 68.
Консиныс поля 301 о1, пз автоморфизмы 01 и Сз, индуцированные о. Доказать, что ®=®[Ю и получить отсюда утверждение задачи 68.7, б)). 68.10. [Лемма Гаусса.) Доказать, что если Х --- количество чисел х из промежутка 1 < х < [Ь вЂ” 1)112, для которых ах = г [пдо11 Ь), — [Ь вЂ” 1)/2 < т < 1, то 68.11. Доказать, что — = ( — 1)11 ],Ь,~ 68.12.
(Квадратичнььй закон взаимности.) Доказать, что для любых взаимно простых нечетных чисел и и Ь [ 1)(а — 1П2 (в — 102 А салаг А 68.14. Пусть Р конечное расширение поля и'д степени и. Доказать, что в Г как векторном пространстве над Рд существует базис *-1 вида х,хд,...,хд для некоторого х 6 Г. 68.15. Доказать., что элементы хд,...,хо Е тд- обРазУют базис над Уд тогда и только тогда, когда Х1 д 11е1 Х2 ° Хп хд ...
хд и ~0 х1 х2 хд а,ад,...,ад образуют банад Ид тогда и только тогда, 68.16. Пусть и Е Уд-. Элементы зис Уд- как векторного пространства когда в Уд [х] многочлены х" — 1 и ах" + а"х" + ... + ад х + ад взаимно просты. 68.13. Пусть 1' — конечномерное пространство над конечным полем Е нечетного порядка, А - . невырожденный линейный оператор на у'. Доказать,что Глава ХУ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 9 69. Представления групп.
Основные понятия 69.1. Доказать, что отображение р: К вЂ” ~ СКэ(С), при котором р(п) =, 'пей, /1 и'У является приводимым дву мерным комплексным представлением группы У и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных представлений. 69.2. Доказать, что отображение р: (а)р — ~ СЬе(Рв) (р простое число), при котором р(а )= является приводимым двумерным представлением циклической группы (а) р и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных представлений. 69.3. Пусть А е С1п(С). Доказать, что отображение рл; К -+ †> СЬ„(С), при котором рл(п) = А", является представлением группы х' и представления рл и рв эквивалентны тогда и только тогда, когда жордановы нормальные формы матриц А и В совпадают (с точностью до порядка клеток).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
