1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

71.11. Найти базис центра групповой алгебры групп: а) Яз, б) ййз, 'в) Ал. 71.12. Доказать, что в групповой алгебре .4 свободной абелевой группы ранга г нет делителей нуля. Поле частных для А изоморфно полю рациональных дробей от г переменных. 71.13. Пусть А - кольцо, И А-модуль и И = Н вЭ И",причем П неприводимый модуль и в И' нет подмодулей,изоморфных Н. Доказать,что если о --. автоморфизм модуля И,то п[Н) = Н. у 71. Групповые алееброс и модули нид ними 315 71.14.

Пусть А кольцо, А-модуль И разложен в прямую сумму подмодулей И = Е'61 И', со: à — > И' гомоморфизм А-модулей. Доказать, что Гс = 1т+ уо[ж) [ х б Г) есть А-подмодуль в 1', изоморфный П, и И = Пс 63 И'. 71.15. Пусть А полупростая конечномерная алгебра над С и А-людуль И разлагается в прлмую сумму попарно неизоморфных не- приводимых .4-модулеи: И = 1с еу...

ЕЕ1то Найти группу автоморфизмов модуля И. 71.16. Пусть А полупростая конечномерная алгебра над С и А- модуль И есть прямая сумыа двух изоморфных неприводимых А-модулей. Доказать, что группа автоморфизмов А-модуля И изоморфна С1 и[С). 71.17. Пусть А полупроссая конечномерная алгебра над С и -- А-модуль, конечномерный над С. Доказать, что И имеет конечное число А-подмодулей тогда и только тогда, когда он является прямой суммой попарно неизоморфных неприводимых А-модулей. 71.18.

Пусть С .- конечная группа,г' .-. поле характеристики О и групповая алгебра А = г'[С] рассматривается как левый модуль над собой. Доказать, что для любого его подмодуля Г и гомоморфизма А-модулей уо: Г -о А существует такой элемент а Е .4, что уо[и) = иа, для всех и Е Г. 71.19. Для каких конечных групп комплексная групповая аягсбра является простой? 71.20.

Пусть А = Г[С][Е поле), С конечная группапорядка п)1,идляи 1фОположиис ес = [и. 1) ~ д, еи —— 1 — ес. уЕО собственные двусторонние идеалы и Доказать, что Асс и Аея А = Асс со Аеи, 71.21. Доказать,что равенство лу = ле[т,у) 1 + ~ сто д, од й е уеОП1) в групповой алгебре Г[С] задает на пространстве Г[С] симметрическую билинейную функцию и ядро этой функции с' двусторонний идеал в Е[С].

71.22. Пусть С конечная группа, 1' билинейная функция на В[С], определенная в задаче 71.21. Доказать, что 1" невырождена, и 316 Гл. ХК Элементы теории нредетиоленнй найти сигнатуру функции 1 для групп: а) Хз, б) Хз; в) Хл, г) Хз Ь Хз. 71.23. Пусть Н подгруппа группы С и оз[Н) левый идеал в К[С], минимальный среди левых идеалов, содержащих 16 — 1] й Е Н). Доказать., что если Н --. нормальная подгруппа, то идеал щ[Н) двусторонний.

71.24. Разложить в прямую сумму полей групповыо алгебры группы [а)з над полями вещественных и комплексных чисел. 71.25. Доказать,. что ®а)р] [р — простое число) есть прямая сумма двух двусторонних идеалов, один из которых изоморфен Я, а другой Я[с), где е первообразный корень степени р из 1 71.26. Пусть С конечная группа, с!заг Г не делит ]С[, 1 идеал в К[С]. Доказать, что Хз = Н 71.27.

Найти идемпотенты и минимальные идеалы в кольцах: а) Уз[[а)з]; б) Уз[[а)з]; в) С[[и)з]; г) ПС[[а)з]. 71.28. Пусть С конечная группа. Доказать, что при любом а Е С[С] уравнение а = ела разрешимо в С[С]. 71.29. Сколько различных двусторонних идеалов в алгебре: а) С[Фа]; б) Сйз]7 71.30. Для каких конечных групп С групповая алгебра С[С] является прлмой суммой и, = 1, 2, 3 матричных алгебру 71.31.

Пусть С - - группа, А — алгебра над полем Н с единицей, т гомоморфизм С -+ л1*. Доказать, что существует единственный гомоморфизм У[С] — ~ А, ограничение которого на С совпадает с р. 71.32. Доказать, что если сЬаг Е не делит порядка конечной гру ппы С, то любой двусторонний идеал групповой алгебры Е[С] является кольцом с единицей. Верно ли это утверждение для произвольных злгебр с единицей? 71.33. Пусть Š— поле характеристики р > О, р делит порядок конечной группы С и и= ~де р[С].

оес Доказать, что г'[С]и подмодуль левого регулярного модуля, не выделяющийся прямым слагаемым. у 71. Групповые алеебры и модули над ними 317 71.34. Пусть С = (п)р, Г поле характеристики р, Ф: С з е С1 г (Г) где Ф(а') = представление группы С. Указать такой Г[С] подмодуль Н регулярного представления К = Г[С], что представление С на Г/Н изоморфно Ф. При каких р представление Ф изоморфно регулярному представлению? 71.35. Доказать, что алгебра Ег [(а) г] не является прямой суммой минимальных левых идеалов. 71.36.

Пусть Н -- р-группа, являющаяся нормальной подгруппой в конечной группе С, Г поле характеристики р. а) Доказать, что идеал ю(Н) из задачи 71.23 нильпотентен. б) Найти индекс нильпотснтности идеала ю(Н) при С = (а)г, Н = (а)г, Г = тг.

71.37. Доказать, что все идеалы групповой алгебры бесконечной циклической группы главные. 71.38. Доказать, что циклический модуль над алгеброй Г[(а) „] либо конечномерен над Г, либо изоморфен левому регулярному Г[(а) ]-модулю. 71.39. Пусть А = С[(д), ], Р = Ах~ ОАхг — свободный А-модуль с базисом (хы хг), Н подмодуль, порожденный в Р злементами Ьы Ьг. Разложить Р/Н в прямую сумму циклических А-модулей и найти их размерности, если: а) Ь| = е1хг + хг, .Ьг = хг (д + 1)хг,' б) Ь~ = д хг + д хг, Ьг = д хг + (1 — д)хг,' в) Ьг = дх~ + 2д 'тг, Ьг = (1 + д)хг + 2(д г + д ~)хг. 71.40.

Пусть А, П линейные операторы на К = Г[х], А(/(х)) = = /'(х), В(/(х)) = х/(х). Доказать, что отображение ег: д з АВ продолжается до гомоморфизма Г[(д), ] з Епс11', и найти Кег:р. 71.41. Пусть ЛХ - - максимальный идеал алгебры А = Г[(а) ] и г = ей юг (А/М ) . Доказать, что: а) еслиГ=С, тот=1; б) еслиГ=л1, тог=1илиг=2; в) ееаи Г = Ег, то г может быть неограниченно велико.

Гл. ХК Элементы теории предетиилений 318 71.42. Доказать, что групповая алгебра свободной абелевой гру ппы конечного ранга является нетсровой. 71.43. Доказать, что в групповой алгебре свободной абелевой группы конечного ранга справедлива теорема о существовании и единственности разложения на простые множители.

71.44. Разложить в произведение простых множителей элемент групповой алгебры А = С]С] свободной абелевой группы С с базисом (д1, д2): а) Ч1дз+д д б) 1 + д1 92 д1д2 д1 д2 71.45. Пусть С -- свободная абелева группа с базисом (д1,дз). Найти факторалгебру групповой алгебры А = К~С] по идеалу Г, порожденному элементами: а) д1д. б) д, — д,; в) д1 — 1 и д2 — 2. 71.46. Доказать, что если группа С конечна и алгебра С[С] не имеет нильпотентных элементов, то С коммутативна. 71.47.

Пусть Н нормальная подгруппа в группе С, 1У некоторый Г]С]-модуль и (Н вЂ” 1)Р— линейная оболочка элементов вида (11, — 1)о, где 6 Е Н, и б Г. Доказать, что: а) (Н вЂ” 1)1' является Е]С]-подыодулем в Г; б) если Н -- сиповская (нормальная) р-подгруппа в С, сЬагР' = р и (Н вЂ” 1)Ъ' = 1', то 12 = О. 71А8. Доказать, что комплексные групповые алгебры групп 1лл и Яа изоморфны. 71.49. Найти число попарно неизоморфных комплексных групповых алгебр размерности 12.

71.50. Доказать, что число слагаемых в разложении групповой етлгебры симметрической группы Яи над полем С в прямую сумму матричных алгебр равно числу представлений числа и в виде п=п1+п2+...+пь, где п1 > пз » ... п1 > О. у" 72. Характеры представлений 8 72.

Характеры представлений 72.1. Пусть элемент д группы С имеет порядок й и Х и-мерный характер группы С. Доказать, что Х(д) есть сумма и (нс обязательно различных) корней степени Й из 1. 72.2. Пусть Ф -- трехмерное комплексное представление группы (а) з и Хе (д) = 0 для некоторого д Е 'х з. Доказать, что Ф эквивалентно регулярному представлению. 72.3. Пусть Х вЂ” — двумерный комплексный характер группы С = = (а)з х (Ь)з. Доказать, что Х(д) ф 0 для всякого д е С. 72.4. Пусть Х -. двумерный комплексный характер группы нечетного порядка. Доказать, что Х(д) ф О для любого д Е С. 72.5. Пусть Ф и-мерное комплексное представление конечной группы С.

Доказать, что Хе(д) = и тогда и только тогда, когда д принадлежит ядру представления Ф. 72.6. Пусть А — аддитивная группа и-мерного векторного пространства Г над полем Ур и Х неприводимый нетривиальный комплексный характер группы А. Доказать, что подмножество (а Е А ~ Х(о) = Ц есть (и — 1)-мерное подпространство в 1'. 72.7. Пусть Х комплексный характер конечной группы С и ьч = тах(~Х(д) ~ ~ д е С). Доказать, что Н = (д Е С / Х(д) = сп), 1б = (д с С ! !Х(д)/ = т) нормальные подгруппы в С. 72.8.

Доказать, что двумерный комплексный характер Х группы Бз неприводим тогда и только тогда, когда Х((123)) = — 1. 72.9. Пусть Х -- двумерный комплексный характер конечной группы С и д е С'. Доказать, что если Х(д) ~ 2, то Х неприводим. 72.10. Пему равно "среднее значение" 1 — ~~', Х(д) деп Гл. ХК Элементы теории предетиилеиий 320 неприводимого характера ноединичной конечной группы С? Т2.11. Доказать,что для любого элемента д неединичной конечной группы С существует такой нетривиальный неприводимый комплексный характер Х группы С, что Х(д) ф О. 72.12.

Доказать, что отображение группы С в С является одномерным характером группы С тогда и только тогда, когда это отображение является гомоморфизмом группы С в группу С*. 72.13. Доказать, что центральная функция, равная произведению двух одномерных характеров группы С, является одномерным характером группы С. 72.14. Доказать, что операция умножения функпнй определяет во множестве одномерных характеров группы С структуру абелевой группы С, двойственной к группе С.

72.15. Доказать,что для конечной циклической группы А группа А — — конечная циклическая группа того жс порядка. 72.16. Пусть конечная абелева группа А разлагается в прямое произведение А = А~ х Ая, а~ б А~,.о Е Аг. Доказать,что отображение А — ~ С*, переводящее элемент (ам аз) в ае (а~) ая(а ), является одномерным характером группы .4 и .4 = .4~ х Ае. 72.17. Пусть В подгруппа конечной абелевой группы А и В = (о Е А ( о(Ь) = 1 для всякого Ь Е В). Доказать, что: а) В --. подгруппа в А и всякая подгряппа в А совпадает с Ве для некоторой подгруппы В; б) В =.4?В', в) В~ с Ве тогда и только тогда, когда Ве з В~~; г) (В~ Г~Вл) — В В ) (В,В,)е Ве С, Ве 72.18.

Характеристики

Список файлов книги