1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 50
Текст из файла (страница 50)
б) Множество векторов вида (О, О, 2, — Ц + о'(13, О, 9, — Ц + /У'(О, 13, — 27, 3). в) Множество векторов вида '(2,1,— 1,0,Ц + о'(1,0,4,0,— Ц + б'(О, 1>-8,0,2). г) Множество векторов вида '(2, — 2, 3, — Ц4-о'( — 13, 8, — б, 7). д) ~. е) Множество векторов вида '(1,2, 22/5, 8/5) + о'(5, О, — 17, — 8) -~- Д'(О, 5, 34, 1б). ж) Множество векторов вида ( — 3, 1, 3/2, — 1/2, — 5/2) 4- о~(1,0, — 2, — 4, — 4) т/1'(О, 1, — 1, — 2, — 2).
з) '(3, О, -5, 1Ц. 8.4. а) хз = 8хз — 7х4, хз = — бхз+бх4; (~(8,— б,1,.0), ( — 7,5,0,Ц) б) Система имеет только нулевое решение. Отееты и указания 335 в) х1 = хе = хе, хз = х4 — хе, хз = хж ( (1, 1, 1, 1, О 0), ( — 1, О О О, 1, 0), '(О, — 1,0,0,0, Ц). г) Если и = ЗЬ или п = ЗЬ+1, то система имеет только нулевое решение; осли и = ЗЬ + 2, то общее решение хз, = О, хзьы = — х„, хз,~.з = х„(1 = 1,...,Й); ('( — 1, 1,0, — 1,1,0,...,О, — 1, 1)). 8.5. а) ('(7,— 5,0,2), '( — 7,5,1,0)). б) ('(-9, 3, 4, О, 0), '(-3, 1, О, 2, 0), (-2, 1, О, О, 1)).
в) Ядро состоит из нулевого вектора. г) ('( — 9, .— 3, 11,0, 0), '(3, 1. О, 11, 0), '( — 10,4,0,0, 11)). д) ('(О, 1, 3., О, О), '(О, О, 2, О, 1)). е) ('( — 3, 2,1, О, 0), '( — 5,3, 0,0,1)). 8.6. а) х1 = хг = 1 б) хз = 3, хз = — 1. ,/9 3 Зт в) хз = соз(о-~ Щ, хз = е(в(он-)З). г) (,4' д) х1 = 3, хз = 2, хз = 1. е) х1 = 3, хз = — 2, хз = 2. 8.7. х' + Зх -> 4. 8.8. хе+ Зх + 4х+ 5.
8.9. — х — т, -~- 1. 8.10. а) '(2,4,2). б) '(15,2,4). 8.11. Получить формулы Крамера еЗх„= е1, и обе части уъеножить на число и такое, что Ьи + тс = 1. 8.12. Если 6 = ао и а,,е = дд -> г (О < г < Щ, то элементарным преобразованием можно перейти к матрипе с элементом г < Ц; поэтому все элементы строки 1 и столбца у делятся на 4, и матрицу можно привести к виду В, где Ьм = а, Ье, = Ьаз — — 0; если Ьз = е(у + е (О < е < )4)), то, вычтя из первой строки вторую, а затем прибавив ко второму. столбцу первый, умноженный на 95 получим матрицу с элементом — е, т.е.
е = О. 8.13. Использовать задачу 8.12 и ее решение. 8.14. Использовать теорему Крамера. Обратное утверждение неверно: система из одного уравнения 2х = 2 является определенной над кольцом целых чисел и неопределенной по модулю 2. 8.15. Неверно: система из одного уравнения 4х = 2 не имеет целых решений, но совместна по модулю любого простого числа р. 8 16. а) Единственное решение по модулю р ~ 3; хз = — 1+ ха+хе при р=3.
б) Единственное решение по модулю р ~ 3; по модулю 3 система несовместна. 336 Отеетм и указания в) Единственное решение по модулю р ф 2;по модулю р = 2 система несовместна. 8.19. Использовать результат предыдущей задачи. 8.23. Воспользоваться результатами задач 8.20.8.22. 8.24. а) ('(1 — Зй — 2й 2йД) ! йД 6 У,). б) (~(й 0 11(2й 1) 8(2й 1)) ! й 6 К).
8.25. Использовать задачу 8.19. 8.26. Для столбца Л через ОХЬ обозначим максимум модулей координат. Доказать, что для любых натуральных чисел тц т справедливо неравенство ЬՄ— Х 0 < 90Х„1 — Х,„1'0 где 0 < д < 1. Отсюда следует сходимость последовательности Х„к решению уравнения АХ = Ь. 9.1. а) — 16. б) О. в) 1. г) яп(о — м). д) О ) О ж),е+Ь ассе 4 9.2. а) — 8. 6) — 50.
в) 16. г) О. д) ЗиЬс — а — Ьз — сз. е) О. ж) я1п(ф — у) + яп(у — о) +яп(о — )1). з) -2, и) О. к) ЗгтУЗ. 10.1. а) Входит со знаком плюс. 6) Входит со знаком минус. в) Не входит. 10.2. 1 = 2, у = 3, й = 2. 10.3. 2х4 — бхз +... 10.4. а) амане, ..анн. б) ( — 1) т 'а~а~„,ааь 1,.аяв в) абсд. г) абеб. д) О.
10.6. 1. 11.1. Умножится на ( — Ц". б) Не изменится. в) Не изменится; преобразование можно заменить двумя симметриями относительно горизонтальной и вертикальной средних линий и симметрией относительно главной диагонали. г) Не изменится. д) Умножится на ( — Цт" 11.2. а) Умножится на ( — 1)" . б) Умножится на ( — 1) Ц" 11.3. а), б) Не изменится, в) Обратится в нуль. г) Определитель четного порядка обратится в 0;нечетного порядка удвоится. 11.4.
Транспонировать определитель и из каждой строки вынести — 1 за знак определителя. 11.5. Использовать, что, например, 20604 = 2 10 + 6 10з + 4. 11.6. О,так как одна строка равна полусумме двух других. 11.2. О. Отееты и указания 337 11.10. а) а|аг...а„ + (агиг...а„-г + аг...а га„ + ... + огас...а„)х; разложить определите-гь на сумму двух слагаемых, пользуясь последней строкой. б) х" -Ь (аг -Ь... -~- а ) х х в) Р„= 0 при и > 2, Рг = 1+ хгуг, Рг = (хг — хгИу1 — уг).
г) 0 при и > 1; разложить на сумму определителей, используя каждый из столбцов. д) 1-~-г „" г(а,-~-Ь,)-~- 2 г«ь<„(а, — аг) х (Ьг — Ь );представить ввиде суммы двух определителей, пользуясь первой строкой; е) 1 + х1уг + ... + х„у„.
12.1. 8а + 15Ь + 12с — 190. 12.2. 2и — 8Ь+ с+ Ы. 12.3. а) х" + ( — Ц" ' ~у"; разлогкнть по первому столбцу. б) аохг хгхг .. х„+ацуг хгхз... х„+ азуг угхг .. х„-'г... +ааугугуг у; разложить по первой строке н использовать теорему об определителе с углом нулей или разложить по последнему столбцу и составить рекуррентное соотношение. в) аох" + агх" '+... + а„; рашожить по первому столбцу. г) и!(аох" -~- агх" -Ь...
-~- а ). д) х"~ — 1 а -Ь 1 цг их" х" — 1 е) х — 1 (х — Цг ж) агаг...а„— агаг...а г-Ьагаг...а„г —...~-( — Ц 'аг-'г( — Ц', разложить по первому столбцу или разложить по последнему столбцу, в первом слагаемом перенести последнюю строку на первое место и составить рекуррентное соотношение. з) П,",(а;аг„аг, — Ь,Ьгаег,).
1 1 1 1 аг аг а„г 12.4. Доказать, что Р„= Р„, -г Р„-г. 13.1. а) 301. 6) — 153. в) 1932. г) — 336. д) — 7497; получить утоп нз нулей. е) 10. ж) — 18016. 28 з) 1, и) -2639, к) †. л) 1. м)-21. н) 60. 81 о) 78. п) -924. р) 800. с) 301. 13.2.
а) и!. 6) ( — Ц" 'и!; последнюю строчку (или последний столбец) вычесть из всех остальных. в) (-Ц"о -'»'Ьгбг...Ь.. 22 Л.И. Кострнкнн Опге еты и указания г) хг(хг огг) ' (хг — егз)... (х„— е,„ь„); из каждой ст1)оки, начиная с последней, вычесть предыдущую. д) ( — Ц "~" О2гц из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть предыдущий. е) П„",(1 — иых). ж) ( — 1)ир'+~Уз(п+ 1)и '; прибавить все столбцы к первому.
з) ((о 4- (и — 1)6](о — Ь)" и)ьг...ь . (и — Ц 13.3. ( — пЬ)" [и Ч- Ь]; из каждой строки от 1-и до (и. — 1)-й 2 вычесть следующую и полученные и — 1 строки сложить. 14.1. а) и+ 1. б) 2" ~' — 1. в) 9 — 2" "'. г) 5. 2" ' — 4 3" '.
д) 2"т' — 1. ег () .~-1 е) при а ~ (4; и (гг+ 1)а" при а = )4; а — Д ж), з) П,, Ь.'. н) П„»,,>,(х, — хи). к) П,«,и<„е,(а,бь — аеЬ,). л) (2 х,х, ... х„„, П„»,„>,(х, — хе), где сумма берется по всем сочетаниям и — е чисел аы, а„, из чисел 1, 2, ., и; приписать строку 1, г, г,...., -' ', г', лмю ....., г и столбец '(г', х(,..., х,',), полученный определитель вычислить двумл способами: разложением по приписанной строке и как определитель Вандермонда и сравнить коэффициенты при г'. м) ]2хгхг ..х„— (хг — 1Ихг — 1)... (х„— 1) П„»,ь>,(х, — хг); приписать первую строку 1,0, О,...,О и первый столбец из единиц, первый столбец вычесть из остальных, единицу в левом верхнем углу представить в виде 2 — 1 и представить определитель в виде разности двух определителей, пользулсь первой строкой.
н) (-1) " ' (п — 1) х" о) х(а, — у)" — у(а — х)" х — у 15.1. (иг + Ьг + с + дг)~; умножить данную матрицу на транспонированную. Найти коэффициент при а в развернутом выражении данного определителя. 15.2. а) О, если и > 2, згл(аг — аг) в1п()1г — Дг) при и = 2. б) П »,, >,(а, — ии)(Ь, — Ье). в) Й)(г) („) П »,ь>е(аи — о,,ИЬ, — Ьи). ) П.„„„(*,-х,)г 15.3. Умножить на определитель Вандермонда.
15 4. а) (а + Ь + с + е1)(и — Ь -~- с — 4)(а + Ьг — с — бг) (и — Ьг' — с г- е1г) = = а — Ь~ -6 с — е1~ — 2огсг 4- 26~с1г — 4агЬВ 4- 4Ьгос — 4сгбе1 4- 4дгас; см. зада- Отеетм и указания 339 чу 15.3. б) (1 — о")" '; см. задачу 15.3 и равенство (1-ое) (1 — слез)...
(1 — ое„) = = 1 — о". 16.1. а) 2; показать, что все три члена определителя, входящие в развернутое выражение со знаком плюс, не могут равняться 1, и рассмотреть определитель с нулем на главной диагонали и остальными единицами. б) 4; в развернутом выражении определитыя рассмотреть произведение членов со знаком плюс и членов со знаком минус и вычислить определитель с элементами главной диагонали — 1 и остальными единицами. 16.2.
Воспользоваться развернутым выражением. 16.4. Применить теорему об умножении определителей к произведс нию .4А. 16.5. Разложить !се!С в сумму и определителей, пользуясь столбцами. В каждом слагаемом из улго столбца вынести Ьзл, Показать, что !се!С = ~ ! л„,,бсл, Ь л,.4л,...! Заметить, что при т > и среди лл,,л,=! чисел Ьс,...,й всегда есть равные и Ал, ! „= О. Второй способ: при т > и матрицы А и В дополнить до квадратных при помощи т — и столбцов, состоящих из О, и прилюнить тоореллу об умножении определителей. 16.6, 16.7. Использовать задачу 16.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
