1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Лиде Р., Нидерройтер Г. Конечные поля. Т. 2 М.: Мир, 1988. Гл. 7, 5 3. 31.1. а) х~ -~- 4хз — 7хз — 22т -1- 24. б) хе + (3 — г)хз + (3 — Зг)хз + (1 — Зг)х — з. в) х~ — Зх + 2хз + 2х — 4. г) хс — 19хз — бх -Ь 72. 31.2. а) 2/3 и — 2/3. 6) о и ( — Ц Ь. 31.3. а) О.
6) — 1. 314. о,=Оприг(иио,„=( — 1)ит'. 31.5. Л = хб. 31.6. Л = — 3. уз 4 1гу+ у = О 31.8. Вычислить по формуле Виета произведение корней многочлена т" ' — 1 над полем вычетов по модулю р. 31.9. а) агаз — Зсгз б) аг~ — 4сгза -~-8агсгз. в) аг аз + аз — 4азам г) аг — 4аг оз + 8аз. з г з д) ос аз — оз т о, т сгз + 2ог '; 1. е) оз -'г о, оз — 2озсгз -г аз — 2огаз + аз. ж) Зсггз — 9огсгз+27ггз з) огозсгз — огас — ггз, и) агаз — 2агаз — Загаз + баг азоз -'г Зазоз — 7агаз. з з, с з з з з к) ог — 4агаз + 8ггз.
л) ос — 2аз. 3 з и) о," — Загаз+ Заз. н) гггсгз — 4ое о) оз — 2агаз + 2ас. п) о,аз — 2озаз — агаз+ 5ав р) огсгз — 2сггоз — озаз -Ь босая — 5оз. з 3 31.10. а) — 35. 6) 16. в) огиз з— 4из — 4оз з-~- 18огозоз — 27озз. г) 25/27. д) 35/27.
е) -1679/625. 31.12. Восоользонаться тем,что ам = аз — х,аз 31.14. — (1пЛг) = 2 = 2 (1 — х,з+ х,з" +...) = ег — зз +... Ж ' 1+хс с1 Лг аг + 2азз +... + па„р' 31.15. — (1пЛг) . Стсюда по чададз Лг 1+ асс+... +сг 1" че 31.14 (1-~- сггз -~-... -~-а„1")(вг — зз1Ч- ..) = сгг -~-2о ЬЧ-,. Ч-па 1и Сравнить коэффициенты при одинаковых степенях 0 Опгеегггы и указания 360 31.16.
Воспользоваться задачей 31.15 31.18, р ( — ), где д = (гп, гг). ггг(п) п д 31.19. зг = — 1, зз =... =,г„= О, 31.20. зг =...=з„г =О, з„=п. 31.21. а) хг = 2, хг = — 1-г- гьгЗ, хз = — 1 — гь'3 с точностью до пере- становки. б) хг = 1,хз = 1,хз = — 2 с точностью до перестановки. 31.24. Представить 1(х) в виде произведения линейных мнолгителей и воспользоваться задачей 31.23. 31.25. хз — Зхг -Ь 2х — 1. 31 26 хг 4тз г.
10хз 31.27. а) Провсунтгь что 7(хг, ., гх„) делится на т,, х для всеь. 1(г( г (и. б) вытекает нз а) 31.28. б) Рассмотреть произведение [~ 6,1'( — 1)"](1+хгг)...(1-~-х 1) >е и использовать а). в) Использовать б), 31.31. Смз Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Хгглла.
Рдз Удир, 1985. Гл. 1, 3 3. 31.32. Там же, гл. 1, з 4. 31.33. Там же, гл. 1, з 5. 32.1. а) — 7. б) 243. в) О. г) — 59. д) 4854. 32.2. а) 3 и — 1. б) хгьг2 н х2гьгЗ. в) 1 и хьг2. 32.3. а) уз — 49" -~ Зуг — 12у+ 12 = О. 5 з 7 44 б 3 2 2 в) хг = 1, х г = 2, хз = О, хг = — 2; уг = 2, уг = 3, уз = — 1, уг = 1. г) хг = О, хз = 3, хз = 2, хг = 2; уг = 1, уз = О, уз = 2, уг = — 1. д) хг = хз = 1, .хз = — 1, хг = 2; уг = уз = — 1, уз = 1, уг = 2. 32.4. Волн 1" = ае(х — хг)...
(х — х„) и дг, дг имеют степени гп и 1, то Л(у,дгдз) = ае дг(хг)дг(хг)...9г(х,)9г(х„) — п(1 дг)К(з,дг). 32.5. Рассмотреть случай п ) 2 и гп не делится на п. Тогда Л(ф . 1) ргг Пег гг если пг = пггд = р . В остальных случаях результат равен 1. Отееты и указания 361 32.6. Б(Ф„„ Ф„) = 0 при т = п; Б(Ф , Ф„) = рэт~ при т = пр~ и Б(Фм, Ф„) = 1 в остальных случаях, если ги > п. 32.7. а) Ьз — 4ас. 6) — 27уз — 4рз. в) — 27аз т 18азазаз — 4а;аз — 4аз т аза',. г) 2777.
д) 725. 32.8. а) х2. 6) (3 3 ( — — хз — ~ (. Р 1 . ГЗЛ) 2 2 в) Лз =О, Лз =-3, Лз =125. 3 7 9, г) Лз = — 1, Лз = — —, Лзд = — ~ -зъ'3. 2' '* 2 2 32.9. Воспользоваться разложением 7' = ао(х — хл)... (х — х„). 32 Ц1 ( Ц( — зд — зрз 32.11. ( — ЦЩ" В~и~~ "э '(П,„р~~'БО м«р п(п — Ц 32.12.
( — Ц 2 (и!) 32.13. Воспользоваться задачей 32,9, 32.14. Воспользоваться задачами 32.1, 32.4 и 31.23, 32.15. Смс Берлекэми. Э. Алгебраическая теория кодирования. Мэ 51ир, 1971. С. 143. 32.16. ( — Ц"'" "~ззз"а" '. 32.17. а) 1 2з Зз ... (и — Ц" и". ) 1 2з 3' в) 2" 'п". 33.1. а) Три вещественных корня в интервалах ( — 2, — Ц, ( — 1, 0), (1, 2). б) Три вещественных корня в интервалах ( — 2, — Ц, ( — 1, 0), (1, 2). в) Три вещественных корня в интервалах ( — 4, -3), (1,3/2), (3/2, 2).
г) Один вещественный корень в интервале ( — 2, — Ц. д) Один вещественный корень в интервале (1, 2). е) Четыре веществонных корня в интервалах ( — 3, — 2), ( — 2, — Ц, ( — 1, 0), (4, 5). ж) Два вещественных корня в интервалах ( — 1,0), (1,2). з) Четыре вещественных корня в интервалах ( — 1, 0), (О, Ц, (1, 2), (2, 3).
и) Два вещественных корня в интервалах ( — 1, 0), (О, Ц. к) Вещественных корнею нет. 33.2. Если аз — Ьз > О, то все корни вещественны. Есзи аз — Ь < О, то полипом имеет один вещественный корень. ЗЗ.З. Если п нечетно и д > О, то имеются три вещественных корня. Ес.ли п нечетно и д < О, то один вещественный корень. Если п четно и 4 > О, Отееты и указания 362 то два вещественных корня. Если и четно и с1 < О, то вещественных корней нет. 33.4. Если и четно, то Е„(х) не имеет вещественных корней. Если п нечетно, то Е„имеет один вещественный корень, 33.5. Проверить, что производная не может иметь корней в интерва- ле (0,1).
33.6. а) Числа ам..., а являются корнями 1"'(х) кратностей Ь~ — 1,... ..., Ь вЂ” 1. Кроме того, в каждом интервале (а„а,ни) производная 7"'(х) имеет корень. б) Вытекает из а). в) Если сз = сеем то х = О является кратным корнем Ь-й производ- ной ~~ь~(х), т.е. по б) х = О является корнем кратности не меньше Ь -~- 1 многочлена 1(х).
33.7. Вытекает из задачи 33.6, в). 33.8. Домножить на х — 1 и воспользоваться задачей 33.7. 33.9. Умножить на х 33.10. Доказать, что 7'(х) > О при х 3 1/и!. 33.12. По одному корню в первом и четвертом квадранте. По два корня во втором и третьем квадрантах. 1 — ах 33.14.
Показать, что корень х удовлетворяет условию х а — х Проверить, что для вещественного числа а ~1 — ах~ = ~а — х~. 1 1 33.15. Показать, что 1 — ~игл ~-... -Ьа„х" ~ > при ф < (Ь -Ь 1)" Ь -ь 1 33.16. По задаче 29.Ь 1'/7' = (х — а~) '+ ... + (х — ан) ', где а, корни 7. Пусть х = а — Ьй где Ь > О. Тогда 1'(а — Ьг)') хэ Ь+1ща, ( )=~ ' О. 1(а — 84) / ~- )а — Ь1 — а, )з Поэтому 1~(а — Ь1) ф О. 33.17. Любая выпуклзл область является пересечением полуплоскостей. Воспользоваться задачей 33.16. 33.18. Воспользоваться теоремой Штурма (Лене С. Алгебра.
-" Мс Мир, 1965. Гл. 1Х, ~ 2). 33.19. Воспользоваться задачей 33.18. 33.20. х -Ьхе — х — 1, х жх — 1, хх1. 34.2. а) Л = х1. 6) Л ф ( — Ц". 34.3. В случаях в), г)> д) продифференцировать два раза и применить индукцию. В случаях е), ж) использовать определитель Вандермонда. 34.4. а), б) Использовать определитель Вандермонда. Отесты и указания 363 < 1 — о а з 0 1 — 2а — оз ... ( — ц" о" Зоэ ... ( — Ц" 'по" 1 0 О О 34.13. а) Поменяются местами две строки.
б) Поменяются местами два столбца. в) Произойдет симметрия матрицы относительно ее центра. 36.1. 6) Если прямая проходит через О. е), ж), з), и), к) При а = О. в) Продифференцировать и использовать определитель Вандермонда. 34.6. Если )'м..., 7"„линейно независимы, то найдется точка а1 такая, что 71(а~) ф О; проверить, что система 7", — ' ум 1 = 2,..., и, линейно 7Да ) 71(а~) независима и завершить доказательство индукпией по и. 34.7. а) Если сйагР ~ 2, то 1+ 1 = 2 -- обратимый элемент в Р. Поэтому для любого векторного пространства А над Р и любого х 6 А существует вектор у б Ь такой, что у = х/2, Тогда у+ у = х. Если же характеристика поля Р равна 2, то х -~- х = 2х = О для любого вектора х, б Ь, яо в аддитивной группе целых чисел 1 + 1 ф О и 2у Р 1 для любого целого числа у.
б) В векторном пространстве на поле характеристики р для любого вектора х справедливо равенство рх = О. в) Для доказательства необходилеости см. указание к задаче 34.7, б); достаточность проверить, положив ~й)а = а,-~- а -Ь ... -~- а, яр г) Для доказательства достаточности для любого рационального чис- ла р/д (р,д б 7) положить (р7д)а = б, где Ь . — резпение уравнения дх = ра, и провЕрить, что решЕния уравнЕний дх = ра и пх = та совпадают, если р/д = т(п. 34.8. д), е) Индукпия по т 34.9. а) Базисом является, например, система всех одноэлементных подмножеств множества йЕ 1'азмерность равна и. б) Использовать индукцию по й.
34.10. а) (1, 2, 3). б) (1, 1, 1). в) (О, 2, 1, 2). 34.11. а) х1 = — 27х~~ — 71хз — 41хз, хз = 9х', + 20х~з + 9х~з, хз = 4хз + 12хз + 8хз, б) х1 = 2х', .~-хз — хя, хз = — Зх', + хз + хя, хз = х', — 2хз -1- 2хз — хя, 1 х4 = х1 хат хз хя 34.12. ао,ам....,ан; ~(о).,~'(о), Опсеесссьс и указания л) Если 1" нулевая последовательность.н), о). 35.2. а) ((1,0,0,...,0,1),(0,1,0,...,0,0),(0,0, 1,...,0,0),...,(0,0,0,... ...,1,0)); и — 1. б) ((1, О, О, О, О,..., 0).,(0, О, 1, О, О,..., 0),.(0, О, О., О, 1,..., 0),...); (и з- 11 в) К векторам из пункта б) добавить воктор (1, 1, 1,..., 1, 1); 1-~- 2 прин) 1.
г) И1 О 1 О 1,...) (О 1 О 1 О, .. )); 2 (при и ) 1). д) Базис — фундаментальная система решении. 35.3. а) (Е„~ с,у' = 1,2>...,п); пз. б) Базис образуют, например, матрицы (Ео + Е;, ~ 1 ( с ( 1 ( и): п(п з- 1) 2 сс(сс — 1) в) Если сйагК ф 2, то (ń— Е„) 1 ( с (1 ( и), 2 ; присйзхК=2 ответ, как и в пункте б). е) (Ем — Е„) с = 2, 3,..., п) сЗ (Ео )й 1 = 1, 2,, пя с ~ 1); пз — 1. ж) (Е„! с = 1,2,..., и), и. 35.4. а) и б) При а = О, в) Если /Я/ = 1: д). 35.5. а), б), г). 35.Т. а) (1"(х)(х — о) ! 1(х) б В(х) с).
б) (.с(х)(х — о)(х — сс) ~ Х(х) е Мх) -,) в) Размерность равна сс, — Ь -~- 1. с'т+ Ь вЂ” 1'с 35.9. а) Размерность ( (; в качестве базиса взять одночлены и использовать задачу 35.1. 1сй+ т1 у б) ( ); положить х, = и свести к а). т )' Ус -сс 35.10. а) д". б), в) (д" — 1)(с1" — у)... (у" — у" '). г) д" — (у" — 1)(с1" — д)... (у" — с1" ). д) „ „ , знаменатель равен числу различных базисов в Ьс-мерном подпространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
