1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Гл. ХК Элементы теории нредетаолений 73.12. Пусть С топологическая связная разрешимая группа и р непрерывный гомоморфизм С в группу невырожденных линейных операторов в конечномерном комплексном пространстве 1'. Доказать, что: а) в и' существует ненулевой вектор, являющийся собственным для всех операторов р(д), д Е С:, б) в 1' существует такой базис еы..., е„, что все матрицы р(д), д Е С, в атом базисе верхнетреугольные. 73.13. Пусть г" --- алгебраически замкнутое поле и С -- - разрешимая группа невырожденных линейных операторов в конечномерном векторном пространстве 1е над Г. Доказать, что существуют такие базис ем..., еа в 1е и нормальная подгруппа о' в С конечного индекса (зависящего только от и), что де состоит из верхнетреугольных матриц. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1.3.
Использовать индукпню для () А, ~. =-1 1 4. Провести индукцию по и. 2 1.5. 2 . Пусть Хм..., Х данные подмножества и Л; обозначает Х, или Л,. Тогда всякое образованное из (Х,) подмножество может быть записано в виде '() (Х ПХ ЯП.у. ПХ„="), ( о -де* где е -.. некоторое подмножество во множестве всех последовательностей (ем..., ея). Во множестве Х всех подмножеств из и элементов построить и подмножеств Х, таких, что любой элемент из Х можно записать в виде Х,"' П... П Х„'". 2.2.
Представить Х в виде (1' 0 А) 0 (Х ) (У 0 А)), где А счетно и .4 П У = о, Х 1У в виде А 0 (Л 1 (У 0 А)) и использовать существование биекции У 0 А -~ А. 2.4. 2". 2.5. а) (У~( = и . б) и(и — 1)... (и — тп+ Ц. в)и(прит=и, Оприи1фи. г) и — и(и — Ц +...
+( — 1)' (и — г)"'+... + ( — 1)Я ~г/ ( и — 1/ Использовать задачу 1.3. 2.6. и(и — 1)... (и — т + 1)/тй 2.7. 2 2.9. иЯси~!...тя!). 2.11. з), и), к) Индукция по п. 2.12. Индукпия по т.. Опгеегггы и указания 330 го+к — 11 2.13.. Установить биекцию между множеством указана †ных разбиений и множеством подмножеств из й — 1 элементов во множестве из п+ й — 1 элементов. Использовать задачу 1.3. (5 4 3 1 2) (4 1 6 5 3 2)' 3.2. а) 1153И247). 6) 11362) (47). в) (1362745).
г) 11472365). д) (12И34)...12п — 1,2гг). е) (1 и+1И2 и+ 2)...1п 2п). (3 4 6 7 5 1 2) (6 3 7 2 4 5 2) .( - ) 1 2 3 4 ... 2п — 1 2п1 3 4 5 6 ... 1 2/' 3.4. а) Г1642573). 6) Г26537). 3.5. а) 5. 6) 8. в) 13. г) 14, д) . е) 2 ж) (п — й+ 1Н1г — Ц. з) (й — Ц(п — Й) -Ь (й — ЦГк — 2) 2 3.6. а) Нечетная.
б) с1етная. в) с1етная. г) Ночетная. ) г ЦИ-т-рэ1 ) ~ Цб-~-гр6 ) г Ц~.Гэ1 ) ( Ц~ /276 З-гмэ~ 3.7. а)., б) Четная при й нечетном. в) Четная. г) Четная при й четном. д) Четная при р+ г7+ г+ э чётном. 3.8. ( ) — я. 3.9. а) ( 71 2 ... п\ б) й — 1. в) п — я. — 1/ 3.10. Если пара чисел отлична от пар гг7,9+ Ц и гд+ 1,о), то она образует инверсию в обоих последовательностях одновременно. 3.11. Воспользоваться задачей 3.10.
3.12. Показать,что ести о = гй,...,ёэ),то лСх = ГлГгг),..., хГгэ)). 3.13. Если г, у входят в разные циклы, то зти циклы сливаютсл в один; если г, 1 входят в один цикл, то он распадается на два цикла, остальные циклы не изменяются; декремент увеличивается нли уменьшается на 1. Отееты и указания 331 3.17. Если у - другой многочлен того же типа 1при другом выборе ДвУчленов),то пу/ад — — 1/д; затем использовать П,> 1тд — т,). 3.18. а) Если граф связный, то в виде указанных произведений представляются транспозиции 112),..., 11п), а если несвязный, то только циклы, которые содержатся в одной из компонент связности.
б) Воспользоваться утверждением а). 3.19. Рассмотрим ряд последовательностей, начинающийся с 1,2,... ...,п, полученный следующим образом: сначала 1 переводим последовательно на 1-е, 2-е,..., и-е место; затем 2 переводим последовательно на все места до 1п — 1)-го и т.д. На каждом шаге число инверсий увеличивается на 1 и достигает числа в пос.ледней последовательности и, и — 1,..., 1. (2/ дй Ы 3.20. †' ( ).
Воспользоваться задачей 3.8. 2 12)' 3.21. а) вдп У = 1вбп и)" 1вдлл т) . Лексикографически упорядочить Х х У и подсчитать число инверсий. б) Длины циклов равны НОК11„1 ), каждый входит НОДл)д„1 ) раз 11 = 1,..., е; у' = 1,...,1); рассмотреть сначала случай, когда сами и, т являются циклами. Заметить, что в этом случае четность С совпадает с четностью ~Х~ +!Ц. 3.22. в) Воспользоваться задачей 3.12. 3.23. Разложить а в произведенио независимых циклов.Интерпретируя каждый цикл длины не меньше трех как поворот правильного и-угольника, представить поворот как произведение двух симметрий. 4.2.
а) илп) = 3 2" — 5. б) п1п) = 1 — Ц"12дл — 1). 4.3. Индукция по п. 4" т' — 1 4.4. а) — п — 1. б) — тР + 1. в) 2""~ди — 2) + б. 3 б 1 (1-ьЛ) 1 (1 — Л) 4.6 — 4.10. Индукция по п. 4.11. а) — д) Индукция по п. е) Вытекает нз д). ж) Вытекает из д), е) и алгоритма Евклида. 4.12. Индукция по и. 4.13. Если т - такое целое число, что тт б Е, то Ут12совтн) = О по 4.12, б). По 4.12, б) и 28.1 число 2 сов гл целое. Так как ~ сов тк~ ( 1, то 2 сов тт = О, х1, х2.
п(п"; Ц 4.14. -Ь 1. з[обавление и-й прямой увеличивает число областей на и. Опгееттгы и указания 5.1. а) п(в+1)(2п+ 1)/б; рассмотреть сумму (О+ 1) + (1+ 1) +... + ((и — Ц+ Ц'. б) и (п-~-1) /4. 5.2. См. указание к 5.1. 5.3. Пусть Т многкество, состоящее из пар (а, г), где о б Я а(г) = г; тогда гЛг(а)"~ = ~ 7ит(а)з = ) ) (гт'(а -~- 1)'. сз„ ря гет =г 'ез 5.4. Использовать задачу 2.7 и 2.12, а). 5.5. Использовать задачу 5.4,предварительно представив ввиде суммы выражение одной функции через другую.
5.6. Использовать задачу 5.5. 6.1. (1,4, -7,7). 6.2. а) (0,1,2,-2). б) (1,2,3,4). 6.3. а) Да. б) Нет. в) Да. г) Нет. д) Нет. е) Да. 6.7. а) Нет. б) Нет. в) Нет. г) Нет. д) Да при четном к. е) Да. 6.8. Нет. 6.9. а) Л = 15. б) Л вЂ” любое число. в) Л -- любое число. г) Л ~ 12. д) Такого Л не существует. 6.10. а) (аг,аг), (аз,ао) б) (аг,аз), (аг,ае), (аг,а4), (аз,аз). в) Любые два вектора образуют базис. г) (аг, аг, ае), (аз, аз, ае).
д) (апаг,аз), (апаг,ае)., (аг,аз,ае), (аг,аз,ае). 6.11. Если система линейно независима или получается из линеино независимой добавлением нулевых нектаров. 6.12. а) (аг,аг,ае,ае), аз = аг — аг. б) (аг,аг, аз), аг = 17аг й 12аг — 26аг. в) (аг, аг, аз),ае = 5аг + 2аг — 2аз, ае = -ог + аг + аз. г) (аг,аз), аз = аг + Заз, ае = 2аг — аг. д) (аг,аг,оз). е) (ам аз), аз = 2а| — аз. ж) (аг,аг), аз = — аг ~- аг, ал = — 5аг т 4аг. з) (аг, аз, аз), а4 = аг т аг — аз. и) (абаз,а4), аз = 2а~ — аг.
к) (ам аз), аз = Заг — аз, ае = аг — аз. л) (аг, аг, аз), а4 = аг — аз — аз. Отееты и указания ЗЗЗ 6.13. Любые й — 1 различных векторов образуют базис. 6.18. а), б) р = 3. 7.1. а) 2, б), в), д) 3, г), е), к) 4. ж), з), и) 5. л) п при нечетном и; и — 1 при четном п. Т2. а) 1приЛ=1,2приЛ= — 1иЗприЛ~х1. б) 2 при Л = 1, 3 при Л = 2 и Л = 3, 4 в остальных случаях.
в) 2ггриЛ=О,ЗприЛфО. г) 2приЛ=З,3приЛ~З, д) 3 при Л = х1 или х2, 4 при Л ф х1 или х2. е) 3, если Л = О, — 2, — 4 и 4 в остальных слу-чзях. ж) п при Л = 1, 2,...., п, и гг -1- 1 при остальных значениях Л. з) п пРи Л = 1/2 и п -Ь 1 пРи Л ф 1гг2. 7.4. Система строк произведения матриц линейно выражается через Систему строк второй матрицы. 7.6.
Система строк суммы матриц линейно выражается через объеди- нение систем строк этих матриц. 7.7. Если, например, система строк матрицы ранга 2 есть (а,Ь, оа+ ДЬ, за+ ЬЬ), то А есть сумма матриц со строками (а, О, оа, ча) и (О, Ь, О, гЗЬ, ЬЬ); далее использовать 7.6. 7.9. 0 при г < п — 2; 1 при г = п — 1; п при г = п. 7.10. Воспользоваться элементарными преобразованиями.
7.15. Использовать приведение к ступенчатому виду с поггогцью;эле- ментарных преобразований П типа со строками. 7.16. Индукция по числу столбцов. Т.19. Индукция по числу строк. Для доказательства единственности рассмотреть базис системы столбцов с наименьшими возможными номе- рами. 81. а) хз = (хг — 9хз — 2)/11, хг = ( — 5хг + хи+ 10)г11; (О, 1., — 1,0). 11 2 1 1 г 1 б) хз = — — хг, хг = -хг+ — хг — —: ) — —,0,0,0).
8 ' 3 24 3' г 3' в) Система несовместна. г) хз = 1 — 4хг — Зхэ, хг = 1, (1, — 1,0, 1). д) хз = б 4-10хг — 15хг; хг = — 7 — 12тг 4-18хз, (1,1, 1, — 1). е) хг = 3, хэ = О, хз = — 5, хг = 11. ж)хг =3,из=2,хз=1 з) хз = 13, хе = — 34, хг = 19 — Зхг — 2х г. 8.2. а) При Л = 0 система несовместна; при Л ф 0 1 9Л вЂ” 16 8 4 — Л 3 .хз хгг хг — хз. Л' 5Л 5 ' 5Л 5 Отееты и указания б) При Л ф 0 система несовместна: при Л = 0 1 1 хз = — -(7+ 19хз+ 7х4), хз = — -(3+ 13х1+ 5х4).
2 ' ' 2 в) При Л = 1 система несовместна, при Л ~ 1 43 — 8Л 9 8 — 8Л 8 5 хз 5 4 — 4Л 4' Л вЂ” 1 г) При Л = 8 хз = 4+2х1 — 2х4, хз = 3 — 2х4; при Л~ 8 решение хе = 4 — 2х4, хз = 3 — 2хз. 3 д) При Л= 8 хз = — 1, х4 =2 — хз — — хз, при Лф8 х = 4 — 2/Зхы хз = — 1, 2 хе=0. е) При Л ф 1, — 2 хз = х = хз = 1/(Л+ 2); при Л = 1 хз = 1 — хз — хз; при Л = — 2 система несовместна, ж) При ЛМ1,— Зх| =хе =хз =хе =1ДЛ+3); приЛ=1хз =1 — хз— — хз — х4:, при Л = — 3 система несовместна.
з) ПриЛфО,— 3 2Л вЂ” 1 Лз~-ЗЛ вЂ” Л вЂ” 1 Л(Л 4- 3)' ' Л(Л -~- 3) 2 — Л Л(Л -~- 3) ' 4В ответах символ 4и обозначает вектор-столбец, полученный трансповврованием строки и. при Л = 0 и Л = — 3 система несовместна. и) При Л ф О, — 3 х~ = 2 — Л, хз = 2Л вЂ” 1, хз = Л + 2Лз — Л вЂ” 1: при Л = 0 хз = -хз -хз; при Л = -3 хз = хз = хз. 8.3. а) '12, 3, Ц'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
