1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 51
Текст из файла (страница 51)
16.8. Разложить по по!медной строке. 16.9. Сначала доказать, что ам з-г .. ас„та ам, ас„ тх~ ~А,, а!+к .. а„„+х а! ... а„„ "! затем в левой части равенства и в первом слагаемом правой части вычесть первую строку из всех остальных и положить г = 1. 16.11. Выпотнить над каждой нз !с групп по и строк определители Р преобразования, приводящие определитель А к треугольному виду, и разложить полученный определитель по строкам с номерами и, 2и,..., Ьи по теореме Лапласа.
16.12. а) Сумма всевозможных произведений ас,..., а„, одно из которых содержит все элементы, а другие получаются из него выбрасыванием одной или нескольких сомножителей с соседними номерами (если выброшены все сомножители, считаем член равным 1); использовать рекуррентное соотношение (а!... а„) = а„(а!... а„! ) + (а!... а„— з).
б) (а!аз... а„) = = (а!аз... ал)(асс!алле... а„) + (аса!... аь-!)(аль!алле .. а„). в) Применить метод математической индукции. 16.13. В случае линейной зависимости строк матрицы (С~В) элементарными преобразованиями строк перевести ее к матрице с нулевой строкой и эти же элементарные преобразования применить к столбцам мат- Отееты и указания 341 1 х 1 заметить,что Ьс = -- и что — 1 + -х четная функция. 2 е" — 1 2 16.18. Каждый из определителей возвести в квадрат.
16.19. а), б) Рн = Я„= 1; показать, что Я„= Р~. 16.20. Пользуясь формулой Гаусса и = 2 е „.р1с)), показать, что сс = ~ра ре,р1к), гДе Ро = 1, если с Делит 7', и Ро = О. если 1 не Делит 7'; Разложить опРеДе- литель на сумму п' слагаемых. 16.21. Проверить, что А =с1ее ( ) П <1 хиб) 1 1 — х,уз является целочисленным многочленом от хм..., х„, ум..., у„, кососиммет- ричиым по хм..., х„и по уы..., .у „Позтому А = ЬЬ(хм..., х„)Л(ум..., у„), где Ь вЂ” многочлен от хм..., у„. Сравнивая степень А и с11хм..., х„) с11ум..., у„), показать, что Ь = 1. 17.1. 1 0 11 и+т) / соя1сс+су) — ейс(о+6) ) ( 10 1 7 1 яп(о +Щ соз(о + 6) ) 0 0 — 2 2 ' 0 0 0 7 7 4 5 11 17.2.
а) 2 9 — 7 . 6) 6 4 — 1 6 13 — 9 15 0 0 1 О 17.3. а) 0 9 0 . 6) 0 0 0 1 0 0 0 0 Отеегвы и указания О О 4 О ' О О О О соепо е1ппо 1 17.4. а) ( . ' ), применить метод математической ~,— е1п по соз по) ' индукции. (л" л"-') Гзп+ 1 в) ( ; заметить, что первая и третья матрицы взаимно 9п — Зп + 12' обратные,и записать степени п виде и сомножителей О . 6) 18 18 18 Е О ) , где Е . единичная матрица размера и, — 1с, ес- ли й < и — 1, н Н" = О при 1.
> и. 17.8. Представить 11х) в виде ~ю Л ,Т( ) =~ ~ ~~ )( -л)' у=а и 1 в виде 1 = ЛЕ+ Н. где Н 17.10. а) ( ). 17.11. а) ( ). — 1/4 ... 1 — Ц" Дп — 1) 1Р ( — Ц "Дп — 2) -1/2 ... ( — Ц" Дп — 3) О 1 -1/2 1/3 О О 1 -1/2 О О О 1 б) О О ... 1 О О .. О О О О О О О 17.14. 2, о еЕ,ы 17.16. ~ ь омЕег 17.16, 17.1Т. Воспользоваться задачами 17.14 и 17.15.
17.18. Показать, что перестановочность матрицы А с Е+ Е,, 1 ~ ай эквивалентна перестановочностн А с Ео. Воспользоватыя задачей 17.16. 17.19. А = О; после умножения А на матричную единицу Е„получится матрица, у которой на главной диагонали стоит элемент оо, а остальные /1 4 17.5. а) О 1 1 4 17.7. Н" = (О из задачи 17.7. Воспользоваться задачей 17.7. б) О 1 6 Отееты и указания 343 О 0 0 0 0 0 0 0 0 0 бл 0 0 0 61 ч-62 0 0 0 6л -~- бз -б бз 0 0 0 0 0 0 0 0 где бя = (и — 26-б 1)/2 18.1.
а) Х = (, ), У = ( ). /О -11 6) У = 2Х+ ( ), где Х . произвольная матрипа порядка 2. в) ( ) (а,б6ЬС). г) З. д) ( ). 2 . зк) 4 5 6 . з) /6 4 е) 2 1 3 3 и) — 4 л) — 0 элементы --нули. 17.21. Использовать задачу 17.20, 17.22.
При Л = 0; использовать задачу 17.20. 17.24. бе[А,В) = О. Вычислить квадрат матрицы с нулевым следом. )'АА,-еВС, АВ,+ВР,', ),САе -~- РСл СВл -~- РРл/' 17.26. Найти элементы главной диагонали матриц АлА и А.4. 17.27. Пусть В = (Ь„), где Ь„= 0 при 1 > уб По условию Ьп — — 0 при 1 > у, Ьа ф 0 для всех 1 и Ьпби е- .. + Ь,.Ьо = 0 при у > л е- 6. Ин- дукпией по л показать, что Ь, = О. 17.28. Заметить, что Ео — — (Ем, Езз) при г ф у, а матрица Олафом...
...,а„) с нУлевым слеДом Равна 3," за,(Еь — Еы) = Х, за )Ель Еь). 17.29. А = Олаб(йм...,6 ), Оп~ееть~ и указания н) — 7 — 5 1 . о) 4 — 2 4 Воспользоваться теоремой Кронекера -Капекчи. Элементарныыи преобразованиями строк расширеннои матри- привести А к ступенчатому виду. Указать матрицу В, считая А ступенчатой. 18.4. 18.5. цы (А)В) 18.6. 1 /2 О О 1 8 9 ) О О О 1 б ) О О О 1 ) О О 1 / 2 О О О 1 О 1 — 1 О ...
О О О О О 1/3 О 1/2 ΠΠ— 1 О О О О О О ... О 1 1 О О О .. ΠΠΠ— 1 1 О О 1 — 1 1 Π— 1 1 — 1 1 О О О О О О О О О о) 1 ΠΠ— 1 1 О 1 — 1 1 — 1 1 41 — 34 — 29 24/ 2 — 1/3 1 — 1 — 1/3 1 1 1 ж) — 38 27 / -7/3 и) 5/3 — 2 Отееты и указания 345 — 6 — 26 17 5 20 -13 0 2 — 1 — 1 — 5 3 (С)В41С1)'б)(О < — 3 2 0 0 2 — 1 0 0 8 -9/2 1 -3/2 -1 1/2 0 1/2 18.10. а) 18.11. а) 18.13.
а), б) ж1. 18.14. ж1. матрицу А. 0 1 — 1 21 — 21 — 21 1 з-1/ 18.15. Использовать присоединенную 1 — 1+1 18.20. Использовать связь между умножением на злементарные матрицы и зломентарными преобразованиями. 18.22. Пусть А = (а„), В = (Ьо) матрицы порядка п с коэффициентами — многочленами от 2пз неизвестных и,, Ь,, 1 < г, з < п. 'Гогда А~ = (с(ее А)А '. Воспользоватьсл задачей 18.21 для доказательства первого равенства. Вместо неизвестных ио, Ьо можно подставить любые значения. Аналогично доказывать остальные равенства. 18.23. Воспользоваться задачей 11.10, е). 18.24. Пусть В, строка длины п — 1, получающаяся из В выбрасыванием 1-координаты.
Доказать, что С, В, ф — 1 для некоторого 1. Пользуясь задачей 18.22 указать минор порядка и — 1, отличной от нуля. 19.2. а) ( ) ( ) ( ). б) (Š— Езз)(Е -~- Езз)(Š— 2Езз)(Е-~- Езг)(Е+ Езз)(Е з; Езз) (Š— ЗЕзз) х х (Е -~- Езз)(Е-~ 2Езз): использовать задачу 17.13.
1 4 9 16 1 2 3 4 1 6 15 28 2 6 10 14 1 4 12 32 ' 3 6 12 24 1 2 3 4 4 4 4 4 18.16. 6) Заметить, что если бее А = О, то система уравнений ~,", аот, = 0 имеет ненулевое решение. 18.17. Положив С = (Е+АВ), доказать, что (Š— ВСЛ)(Е+ВА) = Е.
18.18. Сравнить ранги матриц АВ и ВЛ с рангами матриц .4 и В. 18.19. Использовать 18.4. Отеетм и указания -10 3 5 7 1 2 3 4 2 5 8 11 3 6 10 16 — 2 — 5 — 8 11 = с1ег, ~ ) = с1ег ~ ) = с1ег(А — ВС) с1ег(СВ). с'АВ НС'г с'А — ВС ВС'г В связи с этой задачей смс Т.Н.
7ейоуап гсг Соппппп. А18еЬга. - 1981. 1г. 9, № 3. — Р. 267 269. 20.1. а) 1-1-18г. б) 4г. в) 7 417г. г) 10 — 11г. д) 14 — 5г. 13 1. 11 27 е) 5+ г. лс) — — -г. з) — — — г. 2 2 5 5 и) 4. к) 52г1 л) 2. м) 1. н) — 1. 20.2. г" = 1 прн и = 4Е г." = г при и = 41г + 1, г = — 1 при и = 41+ 2, г" = — г при и = 41с+ 3, где 1г -- целое число: ггг = г; гег = — 1, г '" = — г. 20.4. а) ег = г, гг = 1+ 6 б) хг = 2, ег = 1 — г.
в) О. (2-~ г)лг — г г) лг = . д) х=З вЂ” 11г,9=-3 — 9г, я=1 — 7г. 2 205. а)х=2,9= — 3. 6)х=3,9= — 5. 1 .лсЗ 20.8. а) О, 1, — — х г —. 6) О., х1, згг1 2 2 20.9. Применить индукцию по числу операций. 19.6. Воспользоваться задачей 19.4. 19.8. Если лгатрицы перестановочны. 19.9. Для построения матрицы У использовать лгатрицы В, )с такие, что ГХ1' = Егг -Л... 4- Е,' 19.12. Верно при гг ) 3. 19.14. (оЕг — г ~ о 6 Л).
19.15. Воспользоваться формулой бинома из задачи17.6; неверно. 19.17. Если А" = О, то с1егА = 0; далее использовать задгггу 18.2. 19.19. Воспользоваться формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии. 19.20. Использовать задачу 19.19. 19.22. См. задачи 19.17 и 19.19. 19.23. Неверно. 19.27. Использовать вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. 19.28.
Если бег(СР) ~ О, то Ответы и указания 347 20.10. Применить предыдущую задачу 20.1 1. а) и†71 -ь 7). 6) х72 — 7). в) хГЗ вЂ” 27). х/2 2 г) яг = 1 в 27, зз = 37. д) зг = 5 — 27, зз = 27'. е) зг = 5 — 37, яз = 2-~-75 21.1. а) 51совб 4-7юпб). 6) соя — 4-7 юп —. 2 2 в) 2ссовх+Гюпх). г) 3 (соя ( — — ) + гюв ( — — )). 2 2 д) у/2 (соя — -1-7яш — ). е) ъ 2 (соя ( — — ) -~-7юп ( — — )).
7Г, 7ГН / 27 2х7 ж) 2 (соя — 4-гюп — ). з) 2 ~соя — -~-7'юп — ~. 3 3) 3 ' 3)' и) 2 (соя ( — — ) + 7юп (- 3 )). к) 2 (соя ( — 3) + 7юп (- 3)). 7Г .. 7ГХ / 5х . 57г7 л) 2(соя — +гюп — ). м) 2(соь — +гяш — ). 6 6) 1, 6 б) н) 2 (соч ( — — ) Ч-гюв ( — — )). о) 2 (соя ( — — ) -Ь Гюп ( — — )).
2 / х .. х; П) — ) СОЯ вЂ” + 7 ВГП вЂ” ) 7/3 б б/ 7Г . 7Г Х Г х .. хХ р) 2х/2 24- ъ73 х (соя — -~- 7 вгп — ) или (х/6 -ь х/2) )сов — 4- 7 юп — ); 12 12) 12 12)' для полученнл второго выражения длл модуля применить формулу а+ 7/аз — Ь а — агав — Ь )/ 7- а х ъ/Ь = 2 2 / бх'7 .. / Ья'7'7 с) 2(Ь72+ 7/З)х (соя ~ — — ) +гып ~ — — )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
