1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Найти кратность каждого неприводимого представления группы Н в разложении представления Ф в сумму неприводимых: а) С=(6)в, а=Ьг; б) С=Из, а=(1,2,3). 70.1. Пусть А и В два перестановочных оператора на конечномерном векторном пространстве 1: над С и Ап' = Н" = Е для некоторых натуральных чисел т и и. Доказать, что пространство 1с распадается в прямую сумму одномерных инвариантных относительно А и В подпространств. у 70.
Пуедехпаеления навеянных групп 309 70.6. Найти все неизоморфные одномерные вещественные представления группы (о) „. 70.7. Доказать, что неприводимое вещественное представление циклической группы имеет размерность не более двух. 70.8. Пусть рь: (а)„-+ 61г(К) представление, для которого Доказать,что: а) представление ру неприводимо, если й ф п)2; б) представления рь и рь эквивалентны тогда и только тогда, когда Й = й' или й + й' = и; в) любое двумерное вещественное неприводимое представление группы (а)п эквивалентно представлению ре для некоторого Й. 70.9.
Найти чисю неэквивалентных неприводимых вещественных представлений: а) группы Х„; б) всех абелевых групп порлдка 8. 70.10. Найти число неэквивалентных двумерных комплексных представлений групп: а) Х, б) Хл, в) Хя ер Хэ. 70.11. Пусть С абелева группа порядка п. Доказать, что число неэквивалентных й-мерных комплексных представлений группы С равно коэффициенту при еь ряда (1 — ~) '.
Найти этот коэффипиент. 70.12. Доказать, что ядро одномерного представления группы С содержит коммутант этой группы. 70.13. Пусть р .- представление группы С в пространстве н' и в 1г существует базис, в котором все операторы р(д) (д б С) диагональны. Доказать, что Нег р З С'. 70.14. Доказать, что все неприводимые комплексные представления конечной группы одномерны тогда и только тогда, когда она коммутативна.
70.15. Найти все неизоморфные одномерные комплексные представления групп Яз и Ал. Гл. ХК Элементы теории предетиолений 310 70.16. Найти все одномерные комплексные представления групп Япи1 и. 70.17. Построить нсприводимос двумерное комплексное представлонио группы Нз. 70.18. Используя гомоморфизм группы 84 на группу Яз, построить нсприводимос двумерное комплексное представление группы 84. 70.19. Используя изоморфизм групп перестановок и соответствующих групп двиоксний куба и тетраэдра ~см. 57.13), построить: а) два неприводимых трехмерных матричных комплексных представления группы 84; б) нсприводимос трехмерное представление группы А4.
70.20. Доказать,что если ††ко степени и из 1,то отображение продолжается до представления р, группы Р„. Является ли оно не- приводимым при е ф т17 70.21. Пусть р, и д, . - неприводимые двумерные комплексные группы представления Рп из задачи 70.20. Доказать, что р. и р, изон4орфны тогда и только тогда, когда е' = е~'. 70.22. Пусть р . — неприводимое комплексное представление гру ппы Р„. Доказать, что р изоморфно р, для некоторого е.
70.23. Пусть р — естественное двумерное вещественное представлоние Р„в виде преобразований, составляющих правильный и-угольник. Найти такое е, что р изоморфно р,. 70.24. Используя реализапию кватернионов в виде комплексных матрип порядка 2 (сь4. задачу 58.11, в)), построить двумерное комплексное представление группы (~ю 70.25. Пусть группа С имост точнов приводимое двумерное представление. Доказать, что; а) коммутант группы С' абслева группа; б) если С конечна и основное поле имеет характеристику О,то С коммутативна. 70.26. Доказать,что точное двумерное комплексное прсдставлсние конечной нскоммутативной группы неприводимо.
у 70. Предехпаеления конечных групп 70.27. Пусть С консчнал группа, р ее консчномернос комплексное представление и в некотором базисе матрицы всех операторов р(д) (д 6 С) верхнетреугольные. Докаэатхч что Кег(р) З С'. 70.28. Доказать, что если в задачах 69.22, 69.23 основное поле является полем комплексных чисел и группа С конечна, то представление р эквивалентно прямой сумме представлений ры,,., рп,. 70.29.
Доказать, что если в задаче 69.22 основное поле является полем комплексных чисел и группа С конечна, то существует такая невырожденная матрица С, что для всех д Е С С-'р(д)с = 70.30. Пусть С - конечная группа порядка и, р — ее регулярное представление. Доказать, что 70.31. Доказать.,что для любого неединичного эяемента конечной группы существует неприводимое комплексное представление, переводящее его в неединичный оператор. 70.32. Пусть А, В - линейные операторы в конечномерном векторном пространстве )г над полем Е характеристики 0 и А = Вэ = Е, 1В В ~2 Доказать, что для всякого подпространства Г, инвариантного относительно А и В, существует подпространство И', инвариантное относительно А, В и такое,что Г = Г чр И'. 70.33.
Найти все неэквивалентные двумерные комплексные предстааяения групп: а) Ал; б) Яз. 70.34. Найти число и размерности неприводимых комплексных представлений групп: а) Яз, .б) Ал, в) Ял, г) С4е, .д) Рп; е) Ае. 70.35. Сколько прямых слагаемых в разложении на неприводимыс компоненты регулярного представления следующих групп: а) Ез', б) Яз, 'в) це; г) А47 312 Гл. ХК Элементы теории иредетаиления 70.36. С помощью теории представлений доказать, что группа порядка 24 не ъюжет совпадать со своим коммутантом. 70.37.
Могут ли неприводимые комплексные представления конечной группы исчерпываться: а) тремя одномерными и четырьмя двумерными; б) двумя одномерными и двумя пятимерными: в) пятью одномерными и одним пятимерным? 70.38. Доказать, что в группе С1з(С) нет подгруппы, изоморфной Ял. 70.39. Дошивать существование двумерного инвариантного подпространства в любом восьмимерном комплексном представлении гриппы 84. 70.40. Доказать существование одномерного инвариантного подпространства в любом пятимерном представлении группы Ал. 70.41. Доказать, что число неприводимых представлений группы С строго больше числа неприводимых представлений ля~бой ее факторгруппы по нетривиальной нормальной подгруппе.
70.42. Для каких конечных групп регулярное представление над полем С содержит лишь конечное число подпредставленийу 70.43. Доказать, что любое неприводимое представление конечной р-группы над полем характеристики р единично. 70.44. Пусть С вЂ” конечн'и р-группа и р ее представление в конечномерном пространстве 1г над полем характеристики р. Доказать, что в 1л существует такой базис, что для любого д Е С матрица оператора р(д) верхняя у.нитреугольная. 70.45.
Пусть Н нормальная подгруппа в конечной группе С. Доказать, что размерность любого неприводимого представления группы С над полем К не превосходит [С: Н)ш, где ш наибольшая размерность неприводимого представления группы Н над полем Е. 70.46. Доказать, что в С1 и(С) существует лишь конечное число попарно несопряженных подгрупп фиксированного конечного порядка. 70.47. Пусть р: С вЂ” ~ С1 е(К) — неприводимое трехмерное вещественное представление конечной группы С и представление р: С вЂ” ~ С1 з(С) получается как композиция отображения р со стандартным вложением С1з(Ь) -+ С1з(С). Доказать, что представле- у 71.
Групповые влеебры и модули нвд ними ние р неприводимо. 70.48. Доказать, что всякое неприводимое неодномерное комплексное представление группы порядка рз является точным. 70.49. Найти число неприводимых комплексных представлений некоммутативной группы порядка рз и их размерности. 70.50. Вещественное представление Ф пиклической группы (а) порядка 4,при котором Ф(а) = 0 1 0 разложить в прямую сумму неприводимых. 70.51. Рассмотрим вещественное трехмерное представление группы С = (а)я х (Ь)з, где 5 — 4 О Ф(а) = 6 — 5 О, Ф(Ь) = — Е.
О О 1 Разложить Ф в прямую сумму неприводимых представлений. 70.52. Рассмотрим двумерное комплексное представление Ф группы С = (о)я х (Ь)ю где 1 0 ' — 1 О Разложить Ф в прямую сумму неприводимых представлений. 9 71. Групповые алгебры и модули над ними 71.1. Является ли аягебра кватернионов вещественной групповой алгеброй: а) группы кватернионов; б) какой-либо группы? 71.2. Пусть 1' -" векторное пространство над полем Е с базисом (ем ее,ез), уо: Г[Бв) -в Енса 1' — гомоморфизм, где уо(<т)(е ) = е ~0 для всех и Е Яв (1 = 1,2,3).
Найти размерность ядра и размерность образа гомоморфизма зо. Гл. ХК Элементы теории представлений 71.3. Найти базис ядра гомоморфизма д: С[[а)„) — > С, при котором За[а) = е, где е корень степени и из 1. 71.4. Пусть группа Н изоморфна факторгруппе группы С. Доказать, что Л[Н] изоморфна факторалгебре алгебры Е[С]. 71.5. Пусть С = С, х Сз. Доказать, что в К[С] = Е[С1] з К[С ].
71.6. Пусть С конечная группа, Л множество отображений из С в поле Е. Определим на Л операции, полагая для ~м [з б Л [оЛ + Я )[д) = Ю[д) +1Б[д) [л1ля)[д) ~ У1 [ЦУ2[й д) зеп Доказать, что Л --. алгебра над полем Е и отображение У ~ ~Х[д)д из Л в К[С] изоморфизм алгебр. 71.7. Доказать, что если группа С содержит элементы конечного порядка, то групповая алгебра Г[С] имеет делители нуля. 71.8. Доказать, что всякий неприводимый К[С]-модуль изоморфен фактормодулю регулярного г'[С]-модуля. 71.9. Найти все коммутативные двусторонние идеалы групповой алгебры С[С] для: а) С=Из; б) С=С3з' в) С=В». 71.10. Найти все элементы х групповой алгебры К[С], удовлетворяющие условию хд = х при любом д Е С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
