1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пусть Ф "-- гомоморфизм группы С в С1 „(С). Доказать, что: а) отображение Ф'. д ~-~ (Ф(д '))' также является представлением группы С; 1 7е. Характеры представлений б) Л,р(д) = т ф.(д) для всякого д б С; в) продставления Ф и Ф" эквивалентны тогда и только тогда, когда значения характера т вещественны. 72.19. Пусть Ф неприводимое комплексное представление группы Яа и Ф'(и) = Ф(п) вяп п (и Е Ян). Доказать, что Ф' -- представление группы Ян и следующие утверждения эквивалентны: а)Ф Ф', б) ограничение представления Ф на А„приводимо; в) Се(сс) = 0 для любой нечетной подстановки и Е Яа.
72.20. В задаче 58.11 задана группа матриц из Мэ(С)., изоморфная группе кватернионов Цв. Доказать неприводимость этого двумерного представления группы С)в и найти его характер. 72.21. 11айти характер представления группы Ян в пространстве с базисом (еы,,.,ен), задаваемого формулой Ф(п)е; = е <0 для и Е Ян. 72.22. Найти характер двумерного представления группы Р„, определяющегося изоморфизмом группы 1л„с группой симметрий фиксированного правильного п-угольника. 72.23. Найти характер трехмерного представления группы Я», определяющегося изоморфизъюм группы Ял с группой симметрий фиксированного правильного тетраэдра. 72.24. Найти характер предстаааения группы Ял, определяющегося изоморфизмом группы Бл с группой вращений куба.
72.25. Составить таблицу неприводимых характеров групп: а) (а)ьб б) (а)з; в) (а)л, г) (а)з х (Ь)з:, д) (а)з х (б)з х (с)г. 72.26. Составить таблицу характеров одномерных представаений и вычислить группу одномерных характеров (задача 72.14) для групп: а) Бз,. 21 Л.И. Кострикин Гл.
ХК Элементы теории представлений 72.27. Найти модуль определителя матрицы, строки которой совпадая>т со строками таблицы неприводимых характеров абслевой группы порядка и,. 72.28. Составить таблицу. неприводимых характеров групп: а) Бз, б) 84; в) Яв, г) 114, д) 1лв:, е) Ал 72.29. Может ли характер представления некоторой группы порядка 8 принимать значения (1, — 1, 2, О, О, — 2, О, 0)? 72.30. Разложить центральную функцию (1, -1,г, -4, 1, — д, й, -й) е-~ (5, -3, О, О, -1, -1, О, 0) на ййв по базису неприводимых характеров.
Является ли она харак- тером какого-либо представления? 72.31. Определить, какая из центральных функций на 8з (е, (12), (13), (23), (123), (132)) е+ (6, — 4, — 4, — 4, О, 0), ут: (с, (12), (13), (23), (123), (132)) ~ (6, — 4, — 4, — 4, 3, 3) является характером,и указать это представление. 72.32.
Пусть А - — аддитивнвя группа конечномерного векторного пространства 1' над полем Ро и Ф нетривиальный нсприводимый (комплексный) характер аддитивной группы поля Рр. а) Доказать, что всякий неприводимый характер Х группы А имеет вид Х(а) = Ф(1(а)) для нскоторой линейной функции / Е 1с'. б) Установить изоморфизм двойственной группы А (см, задачу 72.14) и аддитивной группы пространства 1'*. в) Построить изоморфизм А и .4. 72.33. Пусть в условиях предыдущей задачи 1 - — комплекснозначная функция на А.
Определим функции> 1 на А, полагая для Х б А 1(Х) = А ~ Х(а)Х(а) = (1:Х) . в Е.л д" 7в. Харангаеры предееаавленнй 323 а) Доказать, что д' = ~ У(Х) Х. хеА б) Доказать, что й(Х) = ~ У( )Р(~ -' Х) теА в) Сравнить функции у на А и у на А, используя изоморфизм из задачи 72.32, в). 72.34. Пусть А аддитивная группа поля Рр. Рассмотрим функцию д на А, полагал О, если а =О, д(а) = 1, если и = та для некоторого и Е Р„', — 1, в остальных случаях Доказать, что если Х неприводимый комплексный характер группы А, то ~(д", Х)л~ = р 72.35. Пусть С вЂ” конечная группа, Н ее подгруппа. Доказать, что центральная функция на Н, получающаяся ограничением на Н характера группы С, является характером группы Н. 72.36. Пусть Ф матричное и-мерное представление группы С.
Построим представление Ф группы С на пространстве квадратных матриц порядка и, полагая для А Е Мв(К) Фд( 4): ФдА Фд ВыРазить Хд чеРез Хв. 72.37. Найти неприводимые слагаемые представления Ф задачи 72.3б и их кратности, если; а) Ф двумерное неприводимое представление группы Яз,. б) Ф --. представление из задачи 72.23; в) Ф вЂ” двумерное представление группы С1в из задачи 72.20. 72.38, Пусть Ф . - матричное п-мерное представление группы С.
Построим представление Ф группы С на пространстве квадратных матриц Мн(К), полагая Фд(А): Ф ' А Гл. ХК Элементы теории представлений ВыРазить Хч чеРез Хф. 72.39. Пусть р: С вЂ” ~ С1 (1') регулярное комплексное представление группы (а) и. Найти кратность единичного представления группы л и в разложении представления рот (см. задачу 69.19) на неприводимые представления. 72.40. Пусть р двумерное неприводимос комплексное представление группы Яз. Разложить на неприводимые представления р Р 72.41. Пусть р; (а)„~-~ СЬ(Ъ') комплексное регулярное представление группы (а)„. Найти кратность единичного представления группы в разложении на неприводимые компоненты представления, возникающего на пространстве кососимметрических т;контравариантных тензоров на и' (см.
задачу 69.19). 72.42. Пусть Х характер группы С, у центральная функция на С, У'Ь) = —,,(Х(9)Я - Х(ри)) Доказать, что у -- характер группы С. 72.43. Пусть Ф представлонис группы С = Яз в пространстве С(С) всех комплекснозначных функций на С: (Ф„()(л) = у(п 'я), ( е С(С), я е С, о е С, уа Е С(С) и 1'а линейная оболочка множества элементов вида Ф ув, где и Е С. Найти характер ограничения Ф на 1са для: а ) (а(се) = ядпо-, 1, если и Е (е,(12)), 0 в противном случае; ( 1, если и 6 (е,(123),(132)), ) ь(-) =' ( 0 в противном случае; 1, есяи и Е (е,(13),(23)), — 1, если и Е ((12), (123), (132)). ~ у 7Х Предеьпавленнл непрерььвнвее ерупп 72.44.
Пусть Ф вЂ” комплексное представление конечной группы С на пространстве И, Ф представление группы С на пространстве Иь. Обозначим через Т(Ф, Ф) пространство таких линейных отображений Я из 1 в И~, что 5 а Фу — — Фу и Я для всех д Е С. Доказатен что 4'т 7'(Ф, Ф) = (Хф Хч)с. '3 73. Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп Если не указывается противное, то все рассматриваемые в этом параграфе представления предполагаются конечномерными.
73.1. Пусть Г есть поле % или С. Доказать, что: а) для любой матрицы А 6 Мп(Р) отображение Рл. .т « е'ь (У 6 Г) является дифференцируемым матричным предс:тавлением аддитивной группы поля Р; б) всякое дифференцируемое матричное представление Р аддитивной группы поля Р имеет вид Рл, где А = Р'(0): в) представления Рл и Рп эквивалентны тогда и только тогда, когда матрицы А и В подобны. 73.2. Доказать, что Р является матричным представлением аддитивной группы поля и, и найти такую матрицу А, что Р = Рл, если: 73.3.
Какие из матричных представлений группы й из задачи 73.2 эквивалентны? ( сов1 — яп яп 1 сов в) Р(~) = ) ~<~) = б) Р(Х) = г) РЯ = е) ~М= Гл. Х'>'. Элементы теории представлений 73.4. В каком случае представления Рл и Р л эквивалентны для Е = С? 73.5.
Найти все дифференцируемые комплексные матричные представления групп: а) Н"; б) К',. в) С*; г) Ю (предполагается дифференцируемость представления по аргументу комплексного числа е). 73.6. Всякое ли комплексное линейное представиение группы л~ получается ограничением на л некоторого представления группы С? 73.7. Найти в пространстве Си все подпространства, инвариантные относительно матричного представления Рл (см. задачу 73.1) в случае, когда характеристический многочлен матрицы .4 не имеет кратных корней. 73.8.
Доказать, что матричное представление Рл, (см. задачу 73.1) вполне приводимо тогда и только тогда, когда матрица А диагонализируема. 73.9. Пусть Ли — пространство однородных многочленов степени п от х, у с комплексными козффициентами. Для А= еЯ (С) и 1 Е Л>, положим (Фи (А) ~) (х, у) = Д(ах + ср, бх + и>у) . Доказать, что ограничение представления Фи на подгруппу 811з(С) неприводимо. 73.10.
Пусть С = СЬз(С). Комплексную функцию на С назовем пол>сномиалиной, если она есть многочлен от матричных злементов. а) Пусть |(А) = Хг А, >1(А) = >4ет А. Доказать, что 1 и с? центральные полиномиальные функции на С. б) Доказать, что лк>бая центральная полиномиальная функция на С является многочленом от 1 и и>.
1 77. Представления непрерььвных ерупп 327 в) Пусть А = (аь ) 6 С и Л = С[и, у]. Обозначим через Ф(.4) гомоморфизм Л вЂ” » Л, для которого Ф(А): и «-» аььл+аьзу, Ф(А) у " » а21т + 1122У Доказать, что Ф представление группы С в пространстве Л и подпространства однородных многочленов степени и инвариантны относительно представления Ф. г) Доказать, что для А Е ЯЬ2(С) ограничение Ф(А) на подпространство Лп совпадает с оператором Фн(А) из задачи 73.9. д) Пусть Хп - характер ограничения Ф~я„.
Доказать, что Хп — «Х«ь — 1 Ь«Хн — 2. 73.11. Пусть Я вЂ” пространство комплексных матриц вида х=( со структурой четырехмерного евклидова пространства (Х,Х) = = «1е1 Х и Яе = (Х 6 Н! 11 Х = О). Доказать, что; а) отображение Р: 8112 — » СЬ(Не), определенное формулой Р(.4); Х» АХА ', является (вещественным) линейным представлением группы 8112, Кег Р = хЕ, а 11п Р состоит из всех собственных ортогональных преобразований пространства Нв: б) отображение Л; 5152 х 8112 †» СЬ(Е), определенное формулой Л(А, В); Х «-» АХ В ', является (вещественным) линейным представлением группы 8112 х 8112, Кег Л = ((Е, Е), ( — Е, — Е)), а 11п Л состоит из всех собственных ортогональных преобразований пространства Бе' в) комплексификация линейного представления Р изоморфна ограничению представления Ф2 группы 812 из задачи 73.9 на подгруппу 5112.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
