1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 52
Текст из файла (страница 52)
т) сов( — о)+Гага( — о). 12) ~, 12 /) у) сов ( — — о) -~-7юп ( — — о). 2 2 ф) сов2о+ Гюп2ш х) 2сов — )соя — ч-г,я1п — ). ц) сояГу — гр) -Ь гяшсу — ГЬ). У/ У Уг 2)~ 2 2) 21 2 а) 2яе 6) 27яо в) 2зе г) (2+ у/3)77 д) — 2" 12 — х/3)~.
е) — 2в. ж) 2 "7. з) — 64. 21.3. а) 3-';40 б) 5 — 127. 21.5. Использовать задачу 21.4. 21.6. Равенство получится, если либо ага зг = агбзз, либо хотя бы одно из данных чисел равно нулю; выяснить геометрический смысл чис-ча шгп (~яг~, ~яг0! агбяг — агбяг!. 21.7. Свести задачи к теореме о сумме квадратов длин диагоналей параллелограмма. 21.10. Доказать, что з = соку х гешу. Опгеегггы и указания 21 11. а) 4 сове х вш х — 4 сов х япг х; вычислить Гсов х+ г яп х) г по формулам Муавра и бинома Ньютона. б) сонг х — 6 совз х. япг х + яп х. в) 5 сове х яп х — 10 сове х япз х + еше х.
г) сов т — 10сое тяп х -г д совхепг х. 1 21.13. а) — Гсов 4х — 4 сов 2т+3); если х = сов х+г яп х, то яп х = 8 ' ' 2г хг' -~ х = 2 сов йх. 1 1 б) — Гсов4х -';4сое2х+ 3). в) — Гяпбх — 5япЗх+ 10япх). 8 16 1 г) — (сов 5х -Е 5 сов Зх + 10 сое х). 16 21.14. а) Применить указание к задаче 21.13.
22.6. Певерно: зги множества состоят из разного числа злементов. (4й + Цгг (45 -Г Цгг Р2 + Р2 б) 2 [сов + геш ] (0 < Й (~ 9). (67г — Цгг . (65 — Цгг) 30 30 в) К2 [сов -егв1п ] (0(й(7). Г (85 — Ц г .. (81 — Цгг) Гь/3 1. 3 ж) — -е — г, — — -~ —,г, -г)~ з) (1 х г, — 1 х г). 2 2' 2 2' и) 2г/Т. к) (хьг2, хь/2г, х(1-Е г), х(1 — г)1. л) (~гт/3, ~ — Гт/3+ г), ~ — Гъ3 — г)) ~. г/З, 3 2 2 . ) (,ГЗД-г,— 1~гМЗ,— ГЗ вЂ” г,1 — гт/3). н) (3+ ' '3, 3 — Зг, — 3 — г '3, — /3+За). о) 4 - е/4(г - Ц, — (1 —,/3 - г (т/з -е Ц). — (1 + т/з -, Гг/3 - Цф 11., К4 ~/4 и) ~-т/2(~2+ АЗ вЂ” гу 2 — ьгЗ) ьг2(у 2 — г/3 — гу2+ ъ 3),1 — г~.
,г)~~('.~.г '),~( ' 'г))' г/2 г/2 с) (х — х г — ). т) (+2г, — г/3 — г, г/3 — г). 2 2 у) у'2 (сов -'; гяп ), Ф = 0,1,2,3. Отееты и указания 349 22.8. а) — (зХ5 — Ц. 6) — ДО+ 2Я. 22.10. )х1); (1, — х1 — ):, 1х1, х1); . Гз) 2 2)' х1, ж- (1 + 1и 3) х — (1 — гзГЗ) ); 1 1 2 2 ъ'2 . з/2 ж1, хй ж — (1-Ь1), х — (1 — 1)); 2 ' 2 ~й ~-(1+ 1кХЗ) ~ -(~ 3 + 1), ~-(кХЗ вЂ” г) ).
1 1 1 2 2 ' 2 22.11. ( — 1)"; все сомножители, отличные от 1 и — 1, разбить на пары взаимно обратных. 22.13. Наибольший общий делитель чисел г и е может быть представлен в виде ги Е- еи. в) Если о б 11„ХЗ 6 Е и то (оХ4)" = 1, т.е. о,З б 11„и ТХ,ХХ,, С 11,,; если о~ ф оэ — элементы с),., ~3~ ф,дз — элементы Ем то о~Д ф озфз, в противном случае озо., ' = ДЗ., ~ б 11, П11„хотл озо., ' ф 1, 11, 011, = 11) (сьь б)); поэтому ~11,11,( = ге = ~1У„,~, так что 11,, = 11 11,.
22.15. си е имеют одинаковые порядки. 22.16. См. задачу 22.12. 22.17. а) — п(1 — л) ', если х ~ 1, и п)п -Ь 1)/2, если х = 1. б) 2(1 — х) в) Число з является корнем 6-й степени из 1, и пара (н, т) совпадает с одной из пар (2 -~- 6Д", 1 -~ 6М), (1 -~- 6ЛХ,2 -Ь бзя'), (5 -Ь 6Х1',4-~- 6ЛХ), (4+ 6М, 5 + 6ЛХ), (2 + 6Хя',4 + 6ЛХ), (4+ 6М, 2 + бдг), (1 + 6Хя',5 + 6ЛХ), (зс -~ 6М, 1 -~ 61У), где 1У, ЛХ любые неотрицательные целые числа. 22.18. а) См.
задачу 22.14. 6) См, задачу 22.16. 22.19. См. задачу 22.16. 22.20. б) Каждый корень является первообразным ровно для одной степени, и поэтому данная сумма есть сумма всех корней степени п. в), г) следуот нз б). д) См. задачу 22.16. е) рассмотреть разложение н на простые множители. 22.22. Представить в тригонометрической форме. 22.23. а) х — 1. 6) х+1.
в) хз+х+1. г) хе+1. д) хз — х+1. е) х' — хе 4-1. ж) х" '-~-х" "+...-~1. з) (х" — 1)Дх" — 1). 22.24. а) См. указание к задаче 22.20, 6). б) См. задачу 22.19, а), б); - первообразный корень степени и тогда н только тогда, когда — е первообразный корень степени 2п (и печатно). в) Вытекает нз а) и формулы обращения 6.5, б).
ОП2ЕЕ77232 И Укезеиня 350 г) Если (8,) все первообразные корни степени 41 из 1, и (8,1. ! 1 ( я < (71) все значения корней стопени72 из е„то (3,3 ) 2 = 1,... гф(Й); )7 = 1,... ...,21) --первообразные корни степени и. д) См. задачу 22.19; для любого делителя 11числа 7в = п77р имеем р 6) = р ( р) = и ( —,) р(р) = -д ( — „) и все делители и получаются, если ко всем делителям 7п добавить их про- изведения на р; поэтому ' (х) = П(.'-')""" = П("" -')"а"'П(х" -')сд "' = 4) 3) 3/ Г(( .3 ц — я( У О П'( .7 1 ца7 РО 4""(х ) Ф,(х) 22.25. а) Фю(х) = Фа( — х) = х — х + х1 — х+ 1.
б) Ф14(х) = х — хе -~- х4 — хз-~- х1 — х -~- 1. в) Ф13(х) = =,, =х — х -~-х — х -~-х — х-~-1. 3(х ) * +х + 8 7 а 4 3 Фз(х) хз Ф х -~- 1 г) Фзо(х) = Ф13( — х) = х + х — х* — х — х — х+ 1. 8 7 3, 4 3 д) Фза(х) = Фа(х ) = х' — х + 1. )Ф ( ) р ( 1О) 4О ЗО+,ОО 1О+1 ж) Ф7ы(х) = Фа(хзе) = хг — хза + 1. 3) Ф188(х) = Фе(х ) = х — х + 1. 1оо) 4оо зоо + зоо 1оо + 1 22.26.
а), б) Следует ич задачи 22.24, в); в Ф,(0) есть произведение всех первообразных корней степени и на — 1. 22.24. Ф1(Ц = О, Ф„а(Ц =р, р простое число, Ф„(Ц = 1 для остальных и; по задаче 22.24, г),д) Ф 2, (Ц=Ф (Ц= "' 'ю =1. 133 .8 (Ц далее см. задачу 22.23, з). 23.1. а) 2 7 сое —. Вычислить (1+ 2) по формуле бинома Ньютона 7277 4 и по формуле Муавра. б) 2373 8|п —.
,1 в) — (2 -~-2" соя — ):, использовать а) и равенства 2 ", (") = 2; 1 „, „73 пз 2 4 Е,".,(-Ц'(я) = 0 г) — (2" ' Ф 2'73 сбп — ). 2 Отееты и указания 351 и п(п+ Ц д) — — при е т= 1; при в = 1. При в ~ 1 умножить данную 1 — в 2 сумму на 1 — в. 23.2. Левая и правая части равенств а) и б) равны вещественной и "— 1 мнимой '\затя|| с1'ммы з —,"... —;. з = з , где з = сов х+1в|пх.
з — 1 ' в), г) Аналогично а) и б). е) рааюжить левую часть в произведение (х — с|)... 1х — вз„) и объединить множители х — в, и т — в —, = х — в,. з) Равенства в задачах е), ж) сократить соответственно на х| — 1 и на х — 1 и в полученных равенствах положить х = 1. (23+ Ця — 2Вз) | (2к+ Ц | — 2уз — 2по1 23.3. хя = — вш 1 |в1ц 2п 2и 1,..., п — 1. Коли з = сов |а+ | в1пх, 1 = сов||+ |сйпаз то 2 сов 1з = з+ з 2совОз -~-до) = з1я 4 х '1 |, и поэтому 111-~- лх)" 4-1 '(1-В х 'х)" = О. 23.4.
г) Использовать задачу 4.12. „х и->2 23.3. а) 2 сов" — сов х. 2 2 „х и-~-2 б) 2" сов" — сйп т. 2 2 и сбп 4их в) —— 2 4сйп2х г) (п -~- Ц вших — псов(и+ Цх — 1 4 в|и (х/2) д) (и з- Ц сйпих — ивш(т -~- Цх 4 сйпз (х/2) в|п шх |и — 1 23.7. Как в задачах 4.12 и 23.4, г) -- многочлен степени сйп х 2 от вш х со старшим коэффициентом 1 — 4)| ', корнями которого являл| — 1 ются в|п (2яЯш), где з = 1, 2,..., 2 1 1, 1 .х/3 24.2.
а) х — х г|. б) — 1, — х | —. 2 2 ' 2 2 в) 4 -г гл/3, 3 т 2||/3, 1 4 21|/3, |у 3, 1, 3. 24.3. Расстояние между точками, соответствующее данным числам. 24.4. а) Вершины правильного треугольника с центром О. б) Вершины ромба с центром О. 24.6. а) Окружность радиуса 1 с центром в начые координат. б) Луч, выходящий из начала координат и образующий угол т/3 с положительной вещественной полуосью. в) Круг радиуса 2 с центром в начые координат, включая границу. г) Внутренность круга радиуса 1 с центром в точке 1 + |.
352 Ото е ты и указан ал д) Круг радиуса 5 с центом в точке — 3 — 4<,включая границу. е) Внутренность кольца, заключенного между окружностями радиусов 2 и 3 и с центром в начале координат. ж) Кольцо, заключенное между окружностями радиусов 1 и 2 с центром в точке 2>,причем окружность радиуса 1 включается, а радиуса 2 не включается. з) Внутренность угла, содержащего положительную вещественную полуось и образованного лучами, выходящими из начала координат под углами — я<>6 и л/6 к этой полуоси. и) Полоса, заключенная л<ежду прямыми я = х1, включая эти прямые.
к) Внутренность полосы, заключенной между у = 1 и вещественной осью. л) Две прямых у = ж1. м) Внутренность полосы, заключенной между прямыми я + у = х1. ,1з 4> н)Э..с а+ '=1. 9 5 4го 4у о) Гипербола — — — = 1. 9 7 п) Парабола у = 8г. р) Внутренность угла с вершиной о, стороны которого образуя>т с положительным направлением вещественной оси углы о и >3.
24.7. Сумма квадратов диагоналей пара.олелограмма равна сумме квадратов его сторон. Положить з> = я> + у><, лэ = яо + уз> или истолковать квадрат модуля комплексного числа как скалярный квадрат вектора, соответствующего этому числу. 24.8. щ = з> — ло 4- з. л '; в> .л <о 2 2 2лк .. 2лйЛ 24.10. лл = с+(ло — с) (лсоз — + >аш — ~ (й = 0,1,2,...,и — 1), где н п 1 1. н с = — (ло + л>) х — > с18 — (л> — ло) центр многоугольника. 2 2 и 24.11. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат, исключал точку л = — 1; положить 1 = 18(д><2), — я < у> < я.
24.12. а) При доказательстве необходимости убедиться, что векторы лз — л и лз — ло коллиноарны; для доказательства достаточности из данного равенства вычесть равенство (Л> -~- Ло + Лз)л> = О. 6) Использовать предыдущую задачу. ш+Ллз 24.13. При Л ф 1 - - окружность с концами диаметра в точках 1+ л< — Ллл и; при Л = 1 — — прямая, проходящая через середину отрезка с 1 — Л Отееты и указания концами зы зз и перпендикулярная этому отрезку.
24 14 луГЗ вЂ” 1. 24.15. 1 -~- Злуб. 24.16. Искомая кривая состоит из точек, для каждой из которых произведение расстояний этой точки от точек з = х1 равно Л. Эти кривые называются лемнискалпами, При Л = 1 получим лемнискалву Бернулли, имею|цчю в полярных координатах уравнение г = 2 сов 2уг при Л < 1 показать, з что кривая не имеет точек на мнимой оси.
24.24, 24.25. Картон А. Элементарная теорил аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. --- М.: ИЛ, 1961. Гл. Лл1, ~ 3, п. 5 и б. 24.26. а = О. Рассмотриге образ (7 при отображении з — л 1 Ч- ал. 25.1. а) 2тз -~-Зх-~-11, 25х — 5. 5) (Зт — 7)/9, — (2бх -~-2))9. 25.2. а) х+1. б) хз — х+1. в) хо+хо+2. г) 1. д) хо+1. е) тз -~-1. ж) хз — 2х+ 2. з) х+ 3. и) хо +х+ 1. к) хз — 2л/2х — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
