1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 53
Текст из файла (страница 53)
л) 1. 25.3. а) Н = тз — 2 = — (х -л Ц~ -У (х -~- 2)д. б) 4= 1=х~ — (Зх +х — Цд. 25.4. а) Переходя от 7 и д к Я и дд, люжно считать, что д = 1. Пусть 1 = ую -~- дЬ, в качестве и взять остаток от деления ю на д. б) Сравнить стопени ди и 4 — зи. в) Использовать взаимную простоту и и и. 25.5. а) и(х) = ( — 1бхз+ 37х+ 26)/3, и(х) = (1бхз — 53хз — 37х+ 23) 13.
б) и(х) = 4 — Зх, о(х) = 1+ 2х+ Зх . в) и(х) = 35 — 84х + 70хз — 20хз, о(х) = 1 + 4х + 10хз + 20хз. 25.6. Пусть Рл(т) =1+ — х+ ( )хз-~-...+ ( ) '''( ' )х'. 1! 2( Тогда и(х) = Р,„ „ л(1 — х), о(х) = Ро „, л(х). 25.7. а) хо+ х+1 = (х -> Цу" 4 ход. б) х-> 1 = ху"-> (хз 4- Цд. в) 1 = (х Ч- Цу' Ч- хзд. г) 1 = (хз -> х)7 -> (хл т т -> Цд. 25.8.
а) (х — Цз(хе-3)~(х — 3) б) (х — 2)(х — 2х-)-2)з. в) (х-УЦл(а — 4). г) (х -~ Ц (х — 2) . д) (хз — хз — х — 2)з. е) (,з+Цз( Цз ) ( 4+ з+2 з+х ~цз 26.1. а) 7"(х) = (х — Ц(хз — хз Ч-Зх — 3) Ч-5, 7"(хо) = 5. б) з (х) = (х + 3) (2хл — бхз + 13ха — 39х + 109) — 327, 7(хо) = — 327.
в) Д(х) = (х — 2) (Зх + 7х + 14х + 9х + 5), )'(хо) = О. г) ((х) = (х + 2)(х — 5хз + 2) + 1, ~(хо) = 1, Д(хо) = 1. д) у(х) = (х — цл + 5(х — ц" -~- 10(х — ц + 10(х — цз + 5(х — ц + 1 Д(хо) = 1. 23 Л.И. Кострикин Отиетм и указания 355 б) (хз -Е 2х 4- 1 4- у'2 -Е 2(х + 1ф ) х у 24-11 х (хи+ 2х+ 1+ т/2 — 2(х+ Ц~( ъ'2+ 1 1 2 в) (хз — хоп + 2 -Е Ц(хз + х~/а + 2 4- Ц. г) П" (х — 2х сок Ц Зп 3 з з 2к з 4я д) (х — 2х соз — + Ц(з: + 2х соз — + Ц(х + 2х соз — + Ц. 9 9 9 е) (ха+ хъ12+ Ц(хз — хЯ+ Ц(хи + х~(2+ чГ2+ Цх х (хз — хь/2+,Г2+ Ц(хз + х~ 2 — зу2+ Ц(хз — х~2 — ъ 2 + Ц. 27.3.
а) (х — Цз(х — 2)(х — 3)(х — 1 — 1). б) (х — 1) (х -Е 1 -Е 1). 27.4. а) (т — Цз(х — 2)(х — Знх' — 2х -~- 2). б) (х + Ц'(х -~- 2х + 2). 27.5. Корни многочлена хи+ х+1, т.е. корни из 1 степени 3, отличные зеез от 1, являются корнями многочлена х -Ь х "~' -Ь х "~ . 27.6. Числа т, п, р должны иметь одинаковую четкость.
27.7. При т = бк -Ь 1; записать условие того, чтобы корни много- члена хз + х + 1 были не менее чем двукратными корнями многочлена (х -'; Ц'" — х"' — 1. 27.8. а) (х — Ца(х + 2). б) (х + Ц (х + Ц . в) хт'зб — 1. г) х~"ь" ~ 4-1, если ™ и нечетные числа, и 1 в противном (т, и) (т, .и) случае. 27.9. Доказать, что 1(Ц = О. 27.10. Индукция по степени 1"(х).
Рассмотреть — 1"(х"). ах 27.11. Разделить 11(хз) и уз(х') с остатком на х + х+1. 27.12. Заметить, что 1(х) =д(х)зЬ(х), где 6(х) не имеет вещественных корней. Показать, что (и(х)и+о(х)з)(ха+ух+д) сумма квадратов, если х + рх + д ие имеет вещественных корней. з 27.13, 27.14. См. 5апд о.,у' Вп11. Ащег. МахЗь Бос. 1990. 1'. 23, Лл 1. — С. 38 39, 28.1. в) Сделав замену х = у — т, свести к утверждению б). 28.2. а) 2.
б) — 3. в) — 3, Ц'2. г) 5/2, — 3/4. д) 1/2, — 2/3, 3/4. с) Раниональных корней нет. ж) -1/2 кратности два. з) 1/2. 28.3. Пусть т целый корень 1"(х). Тогда 1(х) = (х — т)д(х). Отсюда 7(0) = — гпд(0), т.е. т вечетно. Аналогично г(Ц = (1 — гп)д(Ц, т.е. 1 — т печатно,что неверно. Отееты н указания 356 28.4. Если многочлен 1 6 (е[х)неприводим над СС то (7,1") = 1. 28.7. Заметим,что многочлен Д(х) примитивен. Если 7'(х) имеет рациональный корень т, то по задаче 28.6 в К[х) получаем 1(х) = (а:о — Ь)д(х),. где а,Ь 6 У, (а,6) = 1, т = а '6, и д(х) 6 У[х).
По условию ихс — Ь, ахо — Ь= Ь1 и а(хс — хз) = х2. Следовательно, либо а = х2, хс — хз = х1 либо а = ж1, хс — хз = х2. Во всех случях х, — а 'Ь = ха 28.8. Предположив, что коэффициенты произведения делятся на простое число р, сделать редукцию по модулю р. 28.9. а), б) Воспользоваться задачей 28.8. в) Пусть х'ое — 9 = 7"(х)д(х), где 1"(х),д(х) 6 Ях) и а = "Ос9; тогда 1'(х) = (х — оса)... (х — оса) (а, = 1), [1(0)[ = а [ос...ос[ = а 6 сз: при Ь ( и получаем противоречие. г) Сделать замену у = х — 1.
д) Если 7" = дЬ, где д, Ь 6 У,[х], то при любом с = 1,..., п имеем д(а,)Ь(а,) = — 1; отсюда д(а,,) -~- Ь(а,) = О, и если степени многочленов д и Ь меньше и, то д -Ь Ь = О, так что 1 = — дз. е) Пусть 7(х) = д(х)Ь(х), где д(х),Ь(х) 6 У[х). Можно считать, что д(х), Ь(х) принимают положительные значения. Тогда д(а,) = Ь(а,) = 1 для всех с. Поэтому можно предполагать, что степени д(х) и Ь(х) равны п, т.е. д(х) = 1 + 6(х — ас)...(х — а„), Ь(х) = 1 + с(х — ас)...(х — а„), где 6 = с = х1.По тогда д(х)Ь(х) ф 1(х). 28.10, 28.11. Сми Бейпет Е.8.,1сс ЫаСЬ.
Ясапс1. 1956. Ъ'. 4. Р. 287 302. 28.12. Смз ТоетЬетд Н. 11 МасЬ. Бсапс1. 1960.. Ч. 8.. Р. 121 126. 28.13. Сми Ьзнпддтеп Ит.,1С Ма1Ь. Бсапс1. - 1960. — Е. 8. Р. 65 70. 28.14. Если множество таких чисел р конечно, то ао ф О, и пусть с число, делящееся на все эти простые числа. Тогда 7"(асс) = аот, где т с— в 1 (спос1 с) и (при надлежащелс выборе с) с ф х1; поэтому 7(х) имеет корень в поле вычетов по людулю любого простого делителя т, что противоречит выбору с.
28.15. Заметить,что все элементы поля Е являются корнями многочлена хо — х. 28.16. Рассмотреть сначюса случай отображения )со принимающего значения 1 в одной точке из Г", а в остальных точках значение О. 28.17. См. статьи из задач 28.12 и 28.13. 28.18 — 28.20. Сч. статью из задачи 28.10. 28.21.
Смз Рестоп 0.5. ссС,). тете апдеи МасЬ..- 1907. --. Ч. 132.. Р. 288 †3. Отееты и указания 357 28.22. а) х, х+1, хз+х+1, хе+хе+1, хз+х+1, хе+хе+1, х~+х+1, 443Ь2441 б) ха + 1, хе+ х+ 2, хе + 2х+ 2. Многочлен степени 4 неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в данном поле и не является произведением двух неприводимых многочленов второй степени, в) 6. г) 8 и 18. 28.23. и д 3 28.24. Группа Ер является циклической порядка р — 1. Поэтому в Ер имеется подгруппа порядка д.
Все образующие этой группы являются корнями Фе(х). 28.25. Пусть 1(х) = 1(х+ 1с) для некоторого 1 ( к ( р — 1. Тогда 1"(х) = Д(х+ к)) для всех 1 6 Е, Но элементы я1 пробегают все поле Ер. 28.26. ПУсть Н(х) = х" — х — а = 1(х)д(х), гДе 1(х) 6 Ер(х) непРиеодим. Заметим, что Н(х) = Н(з. + 1с) для всех к 6 Е . Поэтому 1(х)д(х) = = 1(х+к)д(х-'ре:).
Воспользоваться задачей 28,25 и факториальностью кольца Ер(х). 28.27. Смс Лене С. Алгебра. - - Мс Мир, 1965. - С. 245. 28.28. х = 5(а — Ц 28.29, 28.30. Смя Лиде Р., Нидеррабтер Г. Конечные поля. Т. 1. Мя Мир, 1988. Гл. 3. 3 5. 28.31. а = 0 и 36. Разложить по степеням х — а. 28.32 — 28.34. Сме Бераекэми Э.
Алгебраическая теория кодирования. Мя Мир, 1971, Гл. 3, п. 3. 29.1. а) 12(х — Ц 3(х Ф 2) 4(х+3) 1 — 1 — 1 -~- 1 — 1 -~- 1 б) — + + + 16~,х — 1 — 1 х — 1-р1 х-~-1 — 1 х-р1-р1) 1 1 в) 4(х — Цэ 4(х + Цэ 3 4 1 1 2 1 г) ) (х — Цз (х — Цэ х — 1 (х-РЦэ х+1 х — 2 + 1 1 1 1 д) 6(х — Ц 2(х — 2) 2(х — 3) 6(х — 4) 2 — 2+1 2+е е)— (х — Ц 2(х — 1) 2(х -р 1) 1 1 1 1 ж) 4(х — Ц 4(х + Ц 4(х — 1) 4(х + 1) + 1 ( 1 е е ') 1 1у'3 з) -(- 3 ~, (х — Ц х — е х — ез/' 2 2 358 Отеетм и указания о-Ц" '1ь) к) 1 1 41х + Ц 41х — Ц 41х — Ца 41х + Цо + р + 1 ч е 2лй .
2л1о л) — у, еь = сов — + е яп —. и х — еь' и п о=о 1 1 1 29.2. а) 81х — 2) 81х -Ь 2) 21хо -Ь 4) 1( хо;2 х — 2 б)— 8 ~, ха-с2хо;2 хо — 2хЧ-2) 1 х — 1 х -~ 1 в) 41х -'; Ц 41хо 4- Ц 21хо -Ь Ца 3 1 3 1 1 г) 161х — Цо 161х — Ц 161х Ч- Цо 161х Ч- Ц 41хв + Ц 41хо + Цо +, + + . + 25 — 1 яп и цо — 1 2пх и 25 — 1 о=1 х — сов л 2и 1 е) ~~, 1хы...,х„--- коРни 71х)).
1 х+2 3(х — Ц 3(хо Ч- х + Ц ' 1( 1 1 2 з) (. 18 1,хо+ Зх+3 хо — Зх+3 хо+3) 1 7 3 бх+2 Зх+2 и) — — + — + х х+1 Ох+ Цв ха+х+1 Охо+х+Цо 1 3 3 1 1 1 16(х Ч- Цо к) 161х — Цо 161х — Ц 161х Ч- Ц 41хо Ч- Ц 41хо Ч- Цз 125 — Цтл 12к — 1Н2т Ч- Ц сов — т сов л л) — ч и = 125 — Ц ь — о хо — 2т сов л + 1 2п р — 1 29.3. -~ =о 29.5. Использовать задачу 29.4. 30.1. а) — х~ о; 4хз — х — 7т 4- 5.
6) х — 9ха о; 21х — 8. 30.5. 7" 10) = — оу1 +... + у„). 30.6. Путево замены переменной свести задачу к случаю, когда хм... ., х, корни степени и из 1, а хо = 0; затем воспользоваться задачей 30.5. Отееты и указания 359 30.7. а) Свести к задаче 30.5 для многочлена х'ег. б) Свести к задаче 30.5 для многочлена, х" — /(х). 2х 2х(2х — 2) 2х(2х — 2)... (2х — 4п+ 2) 30.8. /(х) = 1 — — + 1 12 ч-...+ (2п)! 30.9. /сх) = хи 30.11, 30.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
