1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Использовать собственные ортонормированные базисы операторов А и Б. 44.21. Использовать собственный ортонормированный базис. 44.22. Использовать собственный ортонормированный базис и интерполяционный полипом. 44.23. Воспользоваться задачей 44.1, в), г), д). 44.24. а), б) Воспользоваться задачей 44.23 для подпространства Кег 7(А).
в) Сугпествуют такие многочлены а(х), с(х), *гто а(ХД~(х) -~ с(х)уз(х) = 1; отсюда вывести Кег)'(А) = Когуг(А) Ы Кегуз(А); если х б Кег б(А), у 6 Кег 7" (А), то по задачам 44.23 и 44.24, а), б) имеем (х, р) = (с(А)(з(А)х, р) = (х, с(А*)~г(А )р) = О. г) По задачам 44.7, 44.23 и 44.21, а) в) имеем Кету(А)~ = 1гпу(А ) С Кету(А*)" ' = Кег 7(А)" отсюда 1г = Кету(А) т Кету(А) ', т.е.
7(х)" ' аннулирует А при и ) 2. 44.25. Использовать задачу 44.23. 44.26. Использовать задачу 44.25. 44.27. а) Использовать задачу 44.26. б) Вытекает из задачи 44.6. 44.29. Индукция по размерности с помощью задач 44.27 и 44.28. 45.4. ) ( ), ( (1, Ц, (1,Ц). б) О 18 О , ~ - (2, 2, Ц, †, (2, -1, -2), †(1, -2, 2)) . '(,3 '' '3 ' ':3 в) О 9 О, ~ — (1,1,0), — (1,.-1,-4),. — (2, -1, Ц). 27 ч2 ' Л8 ' ' '3 Отееты и указания 379 г) 0 б О, ~ — (1,-2,Ц,— (-1,0,Ц,— (1,1,Ц).
~0 О 3) ъ'б 7'1 о о) д) 0 1 о, ~ — (1,.0,Ц,(0,1,0),— (1,0,-Ц). ~ О О -1) 'хъ" ъ72 1 0 0 0 е), ( — (1,0, О, Ц, — (0,1,1,0), 0 1 0 0 7 1 1 0 0 0 — 1 — (1,о,о,-ц, — (о,1,-1,о)). ъ'2 чГ2 2 0 0 0 , ( — (1, 1, О, О), -(1, — 1, 1, Ц, 0 2 0 0 / 1 1 0 0 0 — 2 45.9. 11ерестановочные операторы имеют общий собственный вектор л; рассмотреть ортогональное дополнение к (х).
45.10. в) Воспользоваться формулами Виета и теоремой Декарта. 45.11. Воспользоваться задачей 44.1, д). 45.13. Использовать диагональность матрицы А в некотором ортогональном базисе и задачу 45.10. 45.14. 2 4 2 45.15. В силу задачи 45.13 А = А~ы Б = Б1, где Ам В1 неотрица- тельные самосопряженные операторы; если А положителен, то АВ = А1[А1В1)(А16с) )А~ воспользоваться задачей 45.11. 45.18. Доказать, что ранг А — ЛЕ не меньше и — 1 для любого Л. 45.19. Указаны функции в главных осях и матрицы перехода А ('к = = А'9). 45.7. а) ( (' ') . (О 3) — (О,О,1,-Ц,-(1,-1,-1,-Ц).
хГ2 ' ' 2 5 О (1 ~, ь73 ь7б ),( — (1-> й Ц, — (1-~- й -2)). ( 1 1 — (1, — ~), — (1,1)). х72 ъ'2 1, 1 — (2 — й — Ц, — (1, 2 + 1)) . ъ'б ч'б Отееты и указания 380 2 — 1 2 (' а) Зу;+буз+9уе, — 2 2 — 1 — 1 2 2 / 2 2 -1 ) б) 9у~ + 18уа — 9уз, 1 2 2 ,з з з 1( з~ 2 — 1 2 / т/2 1 /3 ~ в) Зу, -~- бузе — 2уе~, — — т/2 — 1 т/3 т/2 — 2 О 1' ъ/2 1 ъ'3 1 г) Зу, — уз — уз, — т/2 1 — т/3 т/2 — 2 О /4 т/2 Зт/2 1 д) ЗУ1 — 6Уз, — 2 — 4т/2 0 4 з/2 — Зя/2 1 1 1 1 а 3 2 з 1 1 1 1 1 е) 2у) + 4уз — 2уз — 4уя, 2 — 1 — 1 1 1 1 — 1 1 — 1 2 1 0 0 з г з 1 1 — 2 0 0 ,/о 0 0 2 1 0 0 — 1 2 1 0 1 0 1 1 0 — 1 0 т/2 О 1 О 1 0 1 0 — 1 3 0 0 0 1 0 1 2 2 и) 9у1 + 9у, + 9уз, 0 2 — 2 1 /РОО 0 0 0 0 0 0 0 0 т/2 0 2т/2 0 — 2ъ/2 0 я/2 0 0 1 О 3 0 3 Π— 1 к) 491 + 4уз -~ 4уе~ — буя~ — бу2> Ло 46.4.
Использовать задачу 46.3 и процесс ортогоиализации. 46.5. 6) Положить 1е = х — — у. Ь1~ ' Отееты и указания 381 46.6. а) 0 1 О, ~ — (1,1,Ц, — (1,0,-Ц,— (1, — 2,Ц) 1)' ~з73 ' ' 'Л ' ' 'Л б) 0 0 1, ~ — (1,1,0),(О,О,Ц,— (1,— 1,0)) 1010)'~Л''''''а 1 0 0 Π— — — 7' 1 /з 1 1 в) 2 2 — (1 1Ц (2 1 Ц (01 Ц) 1, ъ'3 Л ~/2 0 2 2 1 0 0 ,Гз г) 2 2, ( — (1, 1, 0), — (1, -1, 0), (О., О, Ц) . ~, ~/2 к/2 ъГЗ 1 0 2 2 1 0 0 2ъ'2 — 1 1/774-4~12 я) 4 4 ъ'7-> 4у'2 2~)2 — 1 4 4 (1 — ъ/2, 1, -Ц, — (О, 1, Ц; (-2, 1, -к/2 — Ц ъ'5 — 2к/2 Л 1/10 — 4кГ2 О О 1 О (- -(1,1,1,-Ц, -(1,1, -1, Ц,-(1, -1,1, Ц, -(-1,1,1,1, Ц), 1 1 1 1 2 ' ' ' '2 ' ' ' '2 ' ' ' '2 Ж) 1 — 2(1, 1, О, 0), — (О, 0„ 1, — Ц, — (1, — 1, О, 0), †(О, О, 1, Ц) .
1 1 1 Л ''' 'Л ''' 'Л ' '' 'Л 1 0 0 1 ГЗ з) 2 2, ( — (1,1,Ц,— (2,— 1,— Ц,— (2,— 1,— 1). ъ'3 к/6 з/2 Гз 0 2 2 Отее228е8 и указание и) ΠΠ— 1, ~ -( — 1,222), — 12,2, — 1)2 — 1-2,1, -2)). 1 О О 4уОЗ х) " 7 7, ~ — (1 1 1),— (1,— 1 0), (3 5,— 8) 4еГЗ 1 ' ОГЗ ОГ2 322 ГО 7 7 Π— 82~28 2 12 1 — 1 — 2+ 7еГ2) 12 -3 Г22 Г2), — 16 Г2,-2 — еГ2,2 — Г2)2 ' 84 — ОО, 82 — 28 2, 82 28 22) .
84 1 О 1 а) 12 Π— 1 — 2+ 7уГ2) Π— ЛО 2822 12 с ( — 2 — и22, — 4 Ф 2 28 2 1 О О О --Гз 2 2 46.7. а) ( „,), ( — 11,2), — 11, — 2)). у23 ( О 1 — ОъГ2) ' ( 11, -211 — 8/2)), Я1 — иГ2), -1)) . в) О 8' О, ~ -12, — 22,2), -12,2', — 22), -1 — 2,2,2)).
'Г:" —;-~ ( — ' — — — '— (4, (уГЗ вЂ” 2) 2) 2 ((ОГЗ вЂ” 2)2, 4)) . у2223 — 42ГЗ уГ23 — 4ъ'3 ( -)(.' " ') Ответы и указания 383 46.8. Такая матрица подобна диагональной ~, (, которая в е' е' Г соео — е1по свою очередь подобна матрице ~ '. ' ' ( по задаче 46.7, а). е|п и соз о 7' 46.11. 6) Использовать диагональный вид матриц унитарного и эрмитова оператора. 46.12. Любой ортонормированный базис в Ъ', одинаково ориентированный с (еме,ез), можно оператором вида АнбеА перенести в (еы ем ез).
46.13. а) Если емеюез базис из И, то операторы поворота в плоскостях (ем ее) и (ез, ее) имеют требуемое представление; воспользоваться задачей 46.7, а). 46.14. Поворот в двумерной плоскости является произведением двух отражений; для доказательства второго утверждения заметить, что если А = А1 ... А, то Кег(А — В) З П,, Кег(А, — 6). 46.15. Использовать собственный ортонормированный базис. в) — 2 17 2 — 2 2 — 1 46.17.
Доказать, что Бз = АА . 46.18. Пусть е' ',..., с'"" все различные собственные значенил оператора А, найти такой многочлен 7ф степени и, чтобы 74е' е ) = ецм7Я при всех 1 ( у ( п. Проверить, что ~(А)е = А. 46.19. Использовать диагонализируемость оператора. 46.20. Представить А в виде квадрата положительного самосопряженного оператора С. Показать, что оператор С ~АВС самосопряжен. 46.21. Использовать задачу 46.20 и представить А и В в виде квадратов положительных (неотрицательных) самосопряженных операторов.
46.23. Использовать задачу 46722. 46.28. Использовать полярное разложение А. 46.29. а) Использовать задачи 46.24 — 46.26. б) Вытекает из а). в) Использовать определитель Вандермонда И'(1, е, е'",..., е" '), где 2н , 2п е = сое — -> г е1п —. и и 46.30. Использовать задачи 46.4, 46.5. 46.31. Использовать задачу 46.30. Оте еты и указания 47.1.
а), г). 47.2. 21. 47.3. а) В(оз,от аз) = О, — В ЗА(емез + ез,ез -О ее,ез,ез) = 1, (АЗ В вЂ” В ЗА)(о,,озэаз,омое) = 1. б) А(ез Ч-ез,ез Ч-ез) = 2, В(ез -Ь ем ее,ез) = 2, А(ез>ез) = О, В(е1 + ез, ее + ез, ез + ез) = 8, (А З В вЂ” В З А)(оп оз, 'оз, от оз) = 4. 47.4. О. 47.5. О. 47 6. (АЗ В)(ем еюез,ез,ез) = О, (В ЗА)(ем ее,ез,ез,ез) = 1. 47.7. а) 4. б) — 9. в) 3. 47.9. а) Т(о,у) = 1(Ао), где О О О 0 А = = (!гвА) = (е ); О О 1 О поэтому (у 6 Ъ'" ) Т(о, 1) = О для любого о 6 1').
б) (ее). 47.10. рз(4р — 3). 47.11. а) 2, б) 1. в) 2. 47.13. а) 5. б) 1. в) 3. 47.14. а) ез б) 5ез ~-бео 47.15. а) (2е' — ез) З (2ез + 2ез). 5) 2е' З ез. 47.16. а) (ез — ез) Зее — (е~ — 2ез) Зем е З (ее +е ) + ее З (ее+ 2е ). б) ез З (ез + е4) — (ез — ег -> 2ез — е4) З ез, (е' + ез) З (2е + Зе ) — (е' + ез) З (ез + е~). в) е1 З (ез + ез) т 2 ез З ( †т е4), 2",(е' Ч- ез) З е' -О (3е' -О 2е ч- 2ез Ч- Зе~) З е~.
г) ез З (ез — ез) + 2ез З (-е| + 2ез) + Зез З (2ез — ез) 4- 4ее З (-ез + ез), (2е' -~ ез) З е' -~- 2(е' -~- ез) З ез -~- 3(ез ~- ез') З ез -~ 4(е э; 2е~) З е . 47.17. Рассмотреть базис из собственных векторов. 47.18. б) (С~А)з. в) аз 47.19. а) Три клетки размера 2 с 1,2,3 по главной диагонали. б) Одна клетка размера 1 и одна клетка размера 3 с 2 по главной диа- гонали. в) Две клетки размера 3 с О по главной диагонали. 48.2. 2п(п + 1)(п, — 1)/3, где и = с1пп Г.
48.5. Подсчитать размерности. Отееты и указания 385 48.7. Доказать, что след оператора А'А совпадает с точностью до знака с у-м коэффипиентом характеристического многочлена. 48.8. а) Две жордановы клетки порядков 5 и 1 с 1 на диагонали.
б) 2Корданова клетка порядка 3 с 6 на диагонали и три клетки порядка 1 с числами 4, б и 9. в) Две жордановы клетки порядка 2 с 2 на диагонали, клетка порядка 2 с — 2 на диагонали и четыре клетки порядка 1 с числами 1., 4, — 4 и — 4. 48.9. Использовать указания к задаче 48.7. 48.14. Использовать задачу 48.12. 48.15. Рассмотреть базис, содержащий элемент х. 49.9. 'х = Вх' Е- 'а, т.' = В 'х — В па. хг — 2хг — хз 4-х4 = — 2, 49.10. а) 2хг -~-7хг -~-Зхз Е-хя = 6, хг = 1г Е-Згг, гг = — 1г +1г, хз = 2 + 21г — Згг, хя = — 1г — 41г.
б) Зхг — 2хг — хз — хе = 1, бхз+ бх4 = 1, г:г = 1г -~ 21г, хг = 1г -~ 31г, хз = 6 — 510 хз = — 7+ 61ь 49.11. Равенство имеет место справа, если (аг,..., а,) содержит начало координат, равенство слева в противном случае. 49.14. Если Р, =а, Е-В, (г = 1,...,з), (Р1 0... 0 Р ) = аг + (Вг +... + А, + (аз аз,..., а|а )). 49.16. а) а5гп(Р, 0 Рг) = 3, с5гп Рг 71 Рг = 1. 6) с5т(Рг 0 Рг) = 4, Рг й Рг = йг степень параллельности равна 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
