1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 59
Текст из файла (страница 59)
а) Коьпюзиция отрюкения относительно прямой с направляющим вектором а = (1, Ц,проходящей через точку (1/2,0) и параллельного переноса на вектор а/2. б) Отражение относительна прлмой с направляющим вектором (./3, Ц, проходящей через точку (2,0). в) Композиция поворота на л/2 вокруг оси с направляющим вектором (2, 2, — Ц, проходящей через точку Р = (О, 1, — Ц, и отражения относительно ортогональной плоскости, проходящей через точку Р. г) Композиция отражения относительно плоскости х — 29 + х = 3 и паралжльного переноса на вектор (3,2,Ц. 1 д) Композиция поворота на агссое — вокруг оси с направляющим век- 3 тором (1, О, — Ц, проходящей через точку Р = (1, — 1, О), и отражения относительно ортогональной плоскости, проходящей через точку Р.
е) Отражение относительно плоскости Зх — у — 2л -~- 7 = О. 52.2. Перенести начало координат в точку Ь, воспользовавшись формулой из задачи 52.1. 52.3. Использовать задачу 52.2. 52.4. Залсетитгч что если ввести расширенный столбец координат Х= (хы...,х,Ц, то Я(ае -~ х) = 'ХАоХ и Х = ТХ'. 52.5. Воспользоваться разложением Тойлора многочлена 1,)(хм..., х„) (а е) Фх " ".* ) = Фхм ", х.) -Е ~~, — (хм " ", х.)(х* — х, ) -~ е е дЯ е е е дх, (х„...,х„)(х, — х,)(хз — х,). 52.6.
а) Точка — Ц'(и — Ц,..., — 11'(п — Ц). Отееты и указания 391 б) Гиперплоскость х~ +... + х„+ 1 = О. в) Если и четно, то центр есть точка (х~г,..., хе,), где о ( 1)' при четном г, ( — 1) "е Озз при нечетном г. з 1 Есзи и = 4)с + 3, то центр есть прямая (О, -1, О, 1,..., -1, 0) -ь с(1, О, -1, О,..., О, -1): ес.чи п = 4й + 1, то центр пуст. г) Центр пуст. 52.7.
а) 9. б) 17. 52.8. а) Зп — 1. б) и 4- Зп — 1. 52.9. Воспользоваться задачей 52.5. 52.10. Испольэовать задачи 52.5 и 52.1. 52.11. а) хг + 2хз+2хз+ хе = 1. 6) хг 4-2 ~ х, -> х„-> 2 = О. 52.12. Использовать задачи 52.3 и 52.10. 52.13. Использовать задачу 52.3, 52.14. Использовать задачу 52.13. 52.15. а) (1,2,3) и (2,— 1,— 4). б) Прямая целиком лежит на квадрике; в) Прямая касается квадрики в точке ( — 3, 0.0). 52.16. (хг+г/Г2)/2 = хи = — хз и (хг — ь/Г2)/2 =хг = — тг.
Искомую пря- мую можно представить уравнениями (х — а)/2 = у — Ь = — з или х = а — 2з, у = Ь вЂ” г. Подставляя эти значения х и у в уравнение квадрики, мы долж- ны получить толгдество. Иэ условия, что все коэффициенты полученно- го равенства должны быть равны нулю, определяем неизвестные парамет- рыаиЬ. 52.17. Две комплексно сопряженные прямые: 52.18.
а) хгг "; 5хг г4- 4хзг + 4хгхг — 2хзхз — 4хгхз = 1. б) хг 4- 2хг 4-хз — 4хгхг .~- бхгхз — 2хгхз .~- 20хз 4. 12хз -1. 12 = О. 52.19. а) Эллипс. б) Гиггербола. в) Пара пересокаюшихся прямых. г) Пустое множество. 52.20. а) Аффинный тип квадрики дается каноническим уравнением уг + уг + + у„+ 2у, г = О, а метрический тип - уравнением у, + уз +... 3 3 з з 2 ... 4- уг, -Ь (гг -Ь Цу„е- 2гу„тг = О. 392 Отееты и указания б) Аффинный тип квадрики дается уравнением ул — уз — уз —...
— у„= — 1, 2 2 2 3 а метрический тип уравнением )п — Цу~ — уз — уз —... — у„= 1. 2 2, з 2 3 52.21. а) (-1, †,0), однополостной гиперболоид. '2' х~ хз хз — 2 б) Линия центров — =— , эллиптичсский цилиндр. 3 2 1 в) Центра нет, эллиптический параболоид. /14 г) ( †,3, -), однополостной гиперболоид.
з,3' '3)' д) Пара пересекающихся плоскостей 1хл+хз+хз — Ц1хл+хз — хз+Ц = О. / 21з з 16 е) Сфера 1х~ — Ц + (хе+ — ) -'и хз = —. 3) 9 2'1 16 ж) Круговой цилиндр 1хл — Ц 4- (хз 4- — ) 3) 9 э) Круговой конус 1хл — Цз 4- (хз -'и -) — (хз — -) = О.
3) ~ 3) и) Пара параллельных плоскостей 12хл — хз + 6Я2хч — хз — 6) = О. уз 492 9уз к) Эллипсоид — '~ -~- — 'з 4- — з = 1, цонтр 13, — 1, 2), большая, средняя и 49 49 49 ллэлая оси соответственно параллельны осям Охм Охз и Охз. л) Однополостный гиперболоид вращения — ' — — — — '' = — 1, центр 4 16 16 ( — 4,0, — 6), ось вращения параллельна оси Охл. м) КРУговой конУс Ул — — + Уз — — 0;веРшина 13,5, — 2), ось вРащениЯ з уз 3 параллельна оси Охз. н) Параболонд вращения, вершина 110> — 1/2, — 5/2); ось вращения параллельна оси Охь 52.22.
а) Круговой конус — у, + уз -~ уз — — О, направляющий вектор оси 3 з 3 конуса ( —, —, 0) б) Гиперболический параболоид уз — узз = 2уз; вершина 10,0,0), направ- /1 1 лающие векторы канонической системы координат: е~з — — ( —, —, 0), е~з —— л, лУ2 лл'2 ) =( 1 1 — —.,—,0),.', = <О,О,.Ц. ъл2 лУ2 ) в) Параболический цилиндр хзз — — 5хы направляющие векторы канонической системы кооРДинат е'~ — — (т, —,О), ез — — ( — —, -„,0), ез —— 10,0, Ц. г) Круговой конус — 4у1 4- уз 4- уз — — 0; направляющий вектор оси конуз з 2 са — ( —, —,0).
Ответы и указания 393 д) Гиперболический цилиндр уз — 2у, = 1, направляющий вектор оси гиз 3 /1 1 перболы ( —, —, 0); направляющий вектор образующих цилиндра (, з/2 з72 е) Круговой цилиндр у1 -~узз = 4/25; ось цилиндра проходит через точку 2 1 (0,0, — 215) и имеет направляющий вектор ( — —, —.,0). к75' з75' ж) Параболический пилиндр у~ = 5уз; вершина параболы О' = ( — 1, 12 1бз — — „, — — ), направляющие векторы канонической системы координат: 2з' 25)' 3 41 ез — — (О, — -„., — -) (направляющий вектор оси параболы в сторону вогну- 5' 5) 4 3'З тости), ез = (1, О, 0), ез = (О, —., — т) (направляющий вектор образующих цилиндра).
з) Параболический цилиндр уз = 2уз; вершина параболы О' = (0,0, Ц, направляющий вектор оси параболы в сторону вогнутости (О,О,Ц, направ- 1 1 ллющнй вектор образующих цилиндра ( — —, —, 0 з/2 Я ) Зу1 Зуз з 85 и) Однополостной гиперболоид вращения — -> — — Зуз = †, центр 2 2 4' /14 7 14 1 72 1 21 О = ( —, — —, — — ), направляющий вектор оси вращения 1,9 ' 18' 9)' (,3'3' 3)' 2 к) ПаРаболоид вРащениЯ У1 4- Узз = — Уз, веРшина О = (1, О, — Ц, напРав- 3 /2 1 21 лянзший вектор оси вращения (-, —, — — ). (,3'3' 3)' л) ДвУполостный гипеРболоид вРащеннЯ 2У1 + 2Узз — 4Узз = — 1, центР / / 1 1 1 О = ( — —, — —, — -), направляющий вектор оси вращения ( —, —, — ) .
2' 2' 2)' („3',73',зЗ)' з м) Эллипсоид вращения у, -~- уз -~- — = 1., центр О' = (1, 1, Ц, направ- 3 з уз 4 Г1 лающий вектор оси вращения (,уЗ' зуЗ' мЗ)' н) ДвУполостный гипеРболоиД вРащениЯ ОУз + бриз — 2Узз = — 1, центР 1 2 21 /1 О = ( — —, —, — ), направляющий вектор оси вращения ( —, О, — ) . 3' 3' 3)' ( Я з72) /2 2 11 о) Параболический цилиндр узз = -ум О' = (2, 1, — Ц, ез —— ез = (- --,--), сз = (- -- -). Ответы и указания 395 Яе*)Г) Л Г = — Ие*)1Г Л Г) 1 для всех е" б 1'", так что раэложимость П эквивалентна справедливости равенства П Л 11 = О. При и = 4 условие П Л П = О дает одинственное квад- ратичное уравнение.
б) 1х,у) — > ( ', ). б) сх, у) — > (-, -). 53.1. а) 1х,у) — ~ (, ). ( х 1+у1 53.2. а) 1х,у) — ~ ~ —, — (. 11 — у'1 — у /2х+ 1 уз/3 1 53.3. а) 1х,у) -+ ( 1, х-Ь2 'х+2) /1+ 1 — хЛ 53.4. а) 1х,у,х) -+ ~ у у у /х -ь у х — 1:г — уЛ б) 1х, у, х) ч ( —, —,— 1, з Ч- 1 ' з Ч- 1 ' х -Ь 1 ! /х у1Л в) 1х, у, х) з ) -, —, - ) .
53.5. а) шш1)с — 1, и — й). б) ш1п1)с, п — й — 1). 53.10. Рассмотреть дополнения к аффинным картам. 53.11. Ч" + Ч"~' -Ь... -Ь 1. г3 12 ~Ч )г1 Ч)'''(Ч Ч ) 1Ч ~ 1)1Ч + Ч) 1Ч ~ Ч ) 53.13. Ч вЂ” 1 53.17. Рассмотреть вместе с Р11') еше Р1Ъ'"). 53.20. Использовать предыдущую задачу. (и1 + аз)из а1(1 — и1) 53.22. а) из б) аэ= За1 — аз 1+ а1 53.25. Выбрать аффинную карту, в которой прямая будет бесконечно удаленной.
53.26. Выбрать аффинную карту, в которой две пары противоположных сторон шестиугольника будут парами параллельных прямых. 53.34. Зта прямая получается применением корреляции, соответствующей даннои окружности, к заданной точке. определим спаривание Л" 'И* й Л'И -ь И. Пусть образ элемента 0 З П в И будет обозначаться через 110)Г. Тогда И' может быть охарактеризован как образ отображения Л" '1'* — г Г, определенного формулой 0 -ч 110)Г.
Условие И' = И' теперь эквивалентно условию ЯО)11) Л П = О для всех с) Е Л" '1". Это и есть ископал система квадратичных уравнений. В частности, при г = 2 имеем 396 Отееты и указания 54.1. а) Нет. б) Да. в) Нет. г) Нет. д) Да. е) Нет. ж) Да. /1 а'~ 54.2. Все элементы вида е„= ( ) нейтральны слева; нейтральных справа и двусторонних нейтральных нет. Относительно е, обратимы сира/х у'1 ва все элементы при т ~ О; обратимы слева лишь элементы вида ( ) прил~О. 54.3. Любой элемент нейтрален справа; относительно любого нейт- рального т каждый элемент обратим слева и лишь сам т обратим справа при ]М] = 1.
54.4. Да; не существует, если ]М] > 1. 54.5. а) 3. б) Нет. 54.6. Рассмотреть отображение А з А. 55.1. Все множества в а), кроме г1, все множества в в), кроме г1о, г), д), е). ж), з), и) при г = 1 и при е = О, л) при те = 2яя/и [считая, что к <у « "к). 55.2. Группе и) при г = 1. 55.5. б), в), г), д), з), и), к), л). 55.6. а), г), д) при А = 1, е), з), л), м), н), о), п), р), с) при Л < О, т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
