1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 58
Текст из файла (страница 58)
в) сЗпг(Рг 0 Рг) = 4, плоскости Рг и Рг скрещиваются. 49.18. Гиперплоскостеч параллельнал Рг и Рг и проходящая через одну из точек указанного вида. 49.20. а)хг = 31, хг = — 1 + 31,хз = 3 — 1,хе = 1 — 5 б) хг = 1 Е- 21,хг = — 3 Ч- 61.,хз = †2 -Ь 21, х4 = 2 -Ь 41, хз = Зб в) Не существует.
49.22. 1 — тг —... — тео хг,..., х . 25 Л.И. Кострикии Отееты и указания 49.23. При ~К~ > 3 прямая содержит не менее трех точек: при ~ЕХ~ = 2 утверждение неверно. 49.24. Для любой точки а существует такой вектор с, что Х(а + е) = = а -Ь е. 49.28. Если сЬаг К ( и, то неподвижной будет точка -(а, -1- Х(а) -1- Х (а) 4-... 4- Х" (а)), где а произвольная точка. 49.29.
См. решение задачи 49.28. 49.31. а) а 4- (ем ег), где а = ( — 1, О, — Ц, ег = (1, 2, 3), ег = (1, 1, Ц. б) а+ Лип а+ (ег), а = а+ Ля~ + (ег), а+ (емег), а+ Лег + (ег,ег), где а, = (3 3 4), ег = (1,2 2), ег = ( — 1. — 2, — Ц, ез = (1, 1, 0), Л произвольно. в) а, а+ (Лег+рея), а+ (ег, ег), а = а+ (ег, ег-~-Лез), где а = (О, — 1, .— 4), ег = (1, 4, 3), ег = (1,0, 0), ез = (3, О, Ц, Л, р произвольны. г) а-ЬЛег 4-(ег,ег), ач-(ем ег), ач-Лег 4(ег 4ег, ез), где а = (7(2, 15/2,7), ег = (2, 1, 0), ег = ( — 1,0, Ц. ез = (3. 5, 6), Л произвольно.
49.33. а) Да. б) Нет. в) Да. 49.34. а) Да. 6) Нет. 49.36. Рг, Рц П, Л Р, (г = 1,2), где П, гиперплоскость, содержащая Р, и параллельная Х-; (Х Р г); всевозможные гиперплоскости, параллельные одновременно Рг и Рг. 49.30. Воспользоваться задачей 49.23. 49.37. 6) Используя задачу 49.36, показать, что Х сохраняет параллельность прямых: определить отображение РХ: Р -г 1г по формуле РХ(иЬ) = = Х(а) Х(Ь) и показать, что Х(х -1- у) = Х(х) -Ь Х(у); из угювия Р)(он) = = а(а)РХ(гг), где е — некоторый вектор из 1', определить отображение а: К вЂ” г К, показать, что оно не зависит от е н является автоморфизыом поля К. 60.3.
Если ЛХ' ф кг, то гиперплоскость Н = (х ~ 2 ',ез Х (х) = О) является опорной гиперплоскостью многогранника ЛХ и ЛХ О Н = ЛХ . Обратно, пусть Г --грань многогранника ЛХ,являющегося его пересечением с опорной гиперплоскостью Н. Пусть а -- внутренняя точка грани Г и ,1 = (г ~ Х,(и) = 0). Тогда ЛХз . грань многогранника ЛХ, содержащая Г и а ее внутренняя точка. Отсюда следует, что ЛХз С Н, и, значит, ЛХ = Г. 60.4. Рассмотреть систему барицентрических координат, связанных с точками ае, аг,..., а„. 607. Вершиныд=(1,1,Ц,В=(1,1,— 2),С=(1,— 2,Ц,Р=( — 2,1,Ц и Е = (-1/2, -1/2, -1/2). Многогранник представляет собой объединение треугольных пирамид с общим основанием ВСР.
Ответы и указания 387 50.8. а) Тетраздр с вершинами (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0, О, Ц. Октаздр с вертикален (1, 1,0, 0), (1,0,0, 1, 0), (1, 0,0, Ц, (О, 1.,1., 0), (0,1,0,0, Ц, (0,0,1, Ц. в) Треугольная призма, вершины одного основания которой (1,0, О, 0), (О, 1, О, 0), (О, О, 1, 0), другого .. (1, О, О, Ц, (О, 1, О, Ц, (О, О, О, 1, Ц. г) Параллелограмм с вершинами (1,0, 1, 0), (1,0,0, Ц, (О, 1, 1, 0)., (О, 1, О, Ц. 50.15. С помощью задачи 50.14 свести доказательство к случаю, когда л = ЛХ 0 1а), где М -- и-мерный симплекс и а р ЛХ.
В этом случае воспользоваться задачей 50.14 и заметить, что любой отрезок аб, где 5 й ЛХ, пересекает некоторую (гл — Ц-мерную грань Г симплекса ЛХ, не содержащую точки Ь, и, следовательно, содержится в обьодинении симплексов ЛХ, и солю(Г 0 1а)). 50.16. Воспользоваться задачей 50.15.
50.17. Лучи с началом в точке а,пересекающие Ме, заметают угол, величина которого не превосходит я. 50.18. Провести доказательство индукпией по п. Рассмотреть произвольную гипорплоскость Н, проходящую чорез а. Доказать, что если какая-либо окрестность точки а в Н содержится в М, то М лежит по одну сторону от Н. В противном случае в пространстве Н по предположонию индукции существует такая гиперплоскость а4-Ие (где И' — (и — 2)-мерное надпространство векторного пространства 1', соответствующего А), что множество М П Н лежит по одну сторону от нее. Пусть ХХ двумерное надпространство пространства И, дополнительное к И'.
Рассмотреть проекцию Ж множества М на двумерную плоскость Р = а + ХХ параллельно 1И, (задача 49.38). Доказать, что а ф Х", и воспользоваться задачами 50.17 и 50.12. 50.20. Выбрать любую точку 6 б ЛХ и для всякой точки а ф ЛХ провести опорную гиперплоскость через точку отрезка аб, ближайшую к а.
50.21. Показать, что всякая опорная гиперплоскость замкнутого выпуклого конуса проходит через нуль. 50.22. Совокупность ЛХ всех неотрицательных линейных комбинаций функций хм, Хы есть замкнутый выпуклый конус в векторном пространстве Х всех аффинных линейных функций на А. Если ЛХ не содержит положительных констант, то из задачи 50.21 следует, что существует такая линейная функция уе на пространстве Хо что ф~Ц = 1 и р(Д) ( 0 при Х" б ЛХ. Показать, что всякая линейная функция 1а на пространстве Ь, удовлетворяющая условию ~д(Ц = 1, имеет вид рЩ = Х'Ла), где а — некоторая точка. пространства .4 (не зависящая от Х).
50.23. б) С помощью задачи 50.20 доказать, что для всякой точки а ф ЛХ найдется такая линейная функция Х б ЛХ,что ХЛа) > 1. Ошесшм и указания 50.24. Применить индукцию по размерности пространства. Вначале доказать, что всякая не крайняя точка принадлежит отрезку, соединяющему граничные точки. Затем нз предположенил индукции вывести, что всякал граничная точка принадлежит выпуклой оболочке множества крайних точек, лежащих в опорной гиперплоскости, проходящей чере:3 эту- точку. 50.27.
Вытекает из задач 50.24 и 50.2б. 50.28. Достаточно рассмотреть случай, когда аффиннал оболочка данных точек совпадает со всем пространством. В этом случае отождествить аффинное пространство с векторным, приняв за нуль какую-либо внутреннюю точку выпуклой оболочки М данных точек, и доказать, что выпуклое множество ЛГ, определенное как в задаче 50.23, является выпуклым многогранником.
Затем воспользоваться задачами 50.27 и 50.23, б). 50.29. а) хз > О, хз > О, хз > О, хз > О, хз -Ехе ( 1, хз -1-хз ( 1, хз -~-тз ( 1, хз + хз ~( 1, хз 4- хз < 1; трехмерными гранями лвляются четыре четырехугольные пирамиды Оабсй, Одсуа, Ос)е)Ь, ОаЬсе с вершинами д,е,а,Ь соответственно и четыре тетраэдра асау, асеу, Ьсег, Ьсеу. б) хз >х О, хз ~ )О, хз ~ )О, хз ~ )О, хз + хм < 1, хз + хз ~ (1: хз + хз ~ (1; трехмерными гранями являются параллелепипед Оабсс)еуд и шесть четырехугольных пирамид с общей вершиной Ь, основаниями которых являются двумерные грани указанного параллштепипеда.
50.31. Рассмотреть выпуклое множество Х вЂ” Лу в пространстве 1г, состоящее из векторов, соединяющих точки из ЛХ с точками из Х. Доказать, что оно замкнуто, и из задачи 50.20 вывести существование такой линейной функции х на пространстве И, что данту) > 1 при всех х Е Л1, у Е Х. В качество 1 вэягь подходящую аффинную функцию, линейная часть которой совпадает с ез.
50.32. В пространстве Л рассмотреть замкнутый выпуклый конус К, состоящий из всех аффинных линейных функций, неотрицательных на ЛХ. Предположить, что К П Х = О, и из задачи 50.31 вывести существование линейной функции на пространстве Л, неотрицательной на К, отрицательной на Х и удовлетворяющеи условию д11) = 1. Показать, что фу) = 11а), где а Е ЛХ, и прийти к противоречию с условием задачи. 50.33. Очевидно, что шах зп)пГ1х, у) ( шшшахГ1х, у).
*ем зев нем ем Пусть шах, слс шшисл Гех, у) = с. Тогда для всякой точки х Е ЛХ найдется такая точка у Е Х, что Г1х,у) ( с. Используя задачу 50.32, доказать существованио такой точки уе Е Х, что Г1х, уе) < с при всех х Е ЛХ. Вывести отсюда, что шш ел шах ем Г1х, у) = с. Диалогично доказать существование такой точки хе Е ЛХ, что Г1хе, у) > с при всех у Е Х.
50.34. Доказывать все утверждения индукцией по п -Е т. 50.35. а) Да. б), в) Нет. г), д), е) Да. Отзстм и указания 389 50.36. а) (0,0,3,0,2), (0,1,3,0,0), (0,0,19/5,2/о,О), (3/2,0,0,0,5/2), (17/8, О, О, 5/8, 0), (3/2, 5/4, О, О, 0). б) (6,4, 0), (О, 12,2). в) (0,0, 9,20), (О, 3,0, 14), (4,0, 13, 0). б) з = 4, 3 з = 116 7. в) Нет максимума и нет минимума, 35 4 51.1. Если аз, ам ..,, а искомые точки, то можно выразить ска- лярные произведения векторов аеаы..., аеа через расстояния между дан- ными точками; составленная из них матрица Грана должна быть положи- тельно определенной (в случае а)) или неотрицательно определенной (в слу- чае б)) (см задачу 43 11) 51.2.
а) 4. 6) 3. в) 2. г) Не существует. 51.6. а) (5, — 4, 4, 0) 4- ((3, — 4, 3, — 1)). б) (5,0,2, 11) -> ((3, -1,2, з)). 51.7. а) 5. 6) 6. в) б. г) з/581/27. 51.8. ~с — 2',", а,б,(/ч/~,"', ао 51.9. 2'е'? / „~2п и4- 1(з"). Использовать ортогональный базис, состав- ленный из многочленов Лежандра (см. задачу 43.44). 51.10. к/2": использовать представление соз5 ы х в виде тригономет- рического многочлена.
51.11. Р П ?) состоит из одной точки. 51.12. а) — х~ + Зхз+ 2хз+ хз = 6, х~ + 2хз+ Зхз — хз = 4. б) (3, -2, 1, 4) + ((2, 3, -1, -2),(З, 2, -5, 1)). 51.14. а) 22/3. б) 5. в) 7, г) 6. 51.15. д 2(й 4- 1)(н — 1) 51.17. Пары (Рм Рз) и Ям Яз) метрически конгруэнтны между со- бой, но не конгрузнтны паре (Нм Нг).
Все расстояния равны 36; косинусы углов для первых пар — 3/5 и 4/з, для третьей — 1/х/5 и 2/х/з. 51.18. а) (2, — 3, — 4,1,0) 4-((18,0, — 13, — 1,5)). б) (5,2,2, — 5, — б) 4- ((О, 3, — 2, — 2, 1), (1,0, 1, — 1,0)). Использовать зада- чу 51.13, г). 51.20. Использовать задачу 46.4. 51.22. Доказать, что существует ортогоназьный оператор, переводя- щий единичные векторы, ортогональные граням первого тетраздра, в еди- ничные векторы, ортогональные соответствуюпщм граням второго тет- Раздра Отееты и указания 390 51.23. а) Поворот на — т/2 вокруг точки (1,3): б) поворот на л74 вокруг точки ( — 1/тГ2,1 + 17'т72).
в) Поворот на л/3 вокруг оси с направляющим вектором а = (-2, — 2, 1), проходящеи через точку (1, 2, О). г) Композиция поворота на я/2 вокруг оси с направляющим векторолс а = ( — 2, — 2, Ц, проходящей через точку (2, — 1, 2) и параллельного переноса на вектор 2а. д) Композиция поворота на я — агсз1п(5/14) вокруг оси с направляющим вектором а = (1, 1, Ц, проходящей через точку ( — 1,2, Ц и параллельного переноса на вектор а. 51.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
