1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 60
Текст из файла (страница 60)
55.13. а) н в). 55.16. Рассмотреть элемент [тр)з. 55.17. а), в), д), е). 55.18. Для коммутативных групп. 55.19. Будет. 55.20. [ь,пУ.,1ТТз[У)), [0. Тррз[1))), 1м, 1УТз[Щ,С, ТТТз[С)), 117), [В*), [С*). 55.21. [я] -+ [2"] и [1] э [Зь]. 55.22. Если в группе тождественно т = е, то см, задачу 55.16; в е противном случае найти некоммутирующие элементы я и д, для которых з г =р =1. 55.23.
Других автоморфизмов нет. 55.25. а) Равнобедренный, но не равносторонний треугольник или па- ра точек. б) [КВ] й [ЬС] й [МА], где К, Ь,М вЂ” — середины сторон правильного треугольника АВС. в) Правильный треугольник, г) Параллелограмм или прямоугольник. 55.26. 11з изоморфна группе из задачи 55.5, л), 14я изоморфна группе из задачи 55.6, г). Ответы и указания 397 55.31.
а) аз. б) Е„с. в) Ял. г) Ясь д) В4. е) Бс. 55.33. а) 1с, (123), (132)). б), е) см. задачу 55.2. 55.35. Использовать задачу 55.34. 55.36. Использовать задачи 55.26 и 55.34. 55.38. Эти группы попарно не изоморфны. Рассмотреть центры групп. 56.1. б) Если А С В - подгруппа, х б А сс В, у б В сс А, рассмотреть ху. в) Рассмотреть х б (С с, А) С (С ~ В). 56.2. Для любого элемента а подполугруппы найдутся различные й и 1 такие, что а = а, откуда а а = а = е, так что элемент а с , л-с-1 'л-с обратим в подполугруппе; утверждение неверно для М С К. 56.3. а) 6.
б) 5. в) 12. г) 8. д) 4. е) 8. ж) 2, 56.4. Рассмотреть случай, когда порядок Е 4- рХ является простым числом. 56.5. а) Доказать по индукции, что для любого натурального числа и найдутся такие целые числа т, й, что (3 -> 4с)' = (3-~- 5т) 4- (4; — 59)й б) вытекает из а). 56.6. а) 2. б) 4. в) 20, г) О. 56.7. б) Использовать а). в) Рассмотреть перестановки (123), (12) и (13). 56.8. а) Для взаимно простых чисел р и у существуют и и о такие, что рп 4- дг = 1. б) Следует из а).
в) Рассмотреть (12) и (123). 56.9. Воспользоваться тем, что порядок цикла равен его длине. 56.11. п7НОД(п, 1). 56.13. р — р'" 56.14. а) См. задачу 56.11. б) См. указание к задаче 56.8. в) Рассмотреть наименьшее из натуральных чисел е, для которых а' б Н. г) Использовать в). Если ссл и бз различные делители и, то соответствующие подгруппы имеют различные порядки.
56.15. Если хл = с и х = а, то а" = е, откуда Ы: и и 1: НОД(п, й); элемент ал илшот порядок п(НОД(п, lс), (слс. задачу 56.10) и поэтому удовлетворяет условию при НОДсп, 1) = н))с. 56.18. Пусть и = ~С~, с) = 4(С), т - наилсеньшее общее кратное порядков элементов С. 398 Отееты и указания а) По теореме Лагранжа ф~, откуда ил = 1,так что И, делится на порядок любого элемента группы, т.е. ш)4. б) Пусть 4 = р,' ...р,' . разложение на простые множители; в силу а) ю в С существует элемонт т, порядок которого равен р ч!, где 1 и р~ взаимно просты; тогда т имеет порядок р,', анаюгично получаются элементы хз,..., в„и произведение ям..., х, (см.
задачу 56.8, а)) имеет порядок 4. Утверждения б) и в) неверны для Бз. 56.19. Пр 56.20. б) Неверно: в группе С биекций плоскости на себя композиция симметрий относительно двух параллельных прлмых является параллельным переносом. в) Множество корней всех степеней из 1; множество диагональных матриц с корнялси из 1 на главной диагонали. 56.21. Неверно: в ОЬз(И) элементы порядка 2 не составляют подгруппу (см.
ответ к задаче 56.20, б)). 55.24. Х е (р — простое число). 56.24. а) Выписать явно все подгруппы (сьс задачу 56.14, г)). б) Х„~ (р — простое число); заметить, что группа является объединением своих циклических подгрупп, и если они образуют цепь, то группа циклическая, далее использовать задачу 56.14, г). в) Хр Пр, пусть р наименьший иэ порядков элементов группы; р --.
простое число, так как из р = Ы следует, что в подгруппе (х) имеется элемент порядка ад (х)р наименьшая неединичная подгруппа, содержащаяся во всех других подгруппах, так что порядки всех элементов делятся на р и на самолз деле являются степенями р. 56.25.
Ц ( —,). еж 2йл . 2йя 56.26. соа 4- г яш — > )а). 56.27. а) = б). в) = е). г) = д) = ж). 56.28. Если в группе С нет элементов порядка 2, то С = 4(х,х )(я ~ е)) П1е) и ~С~нечетен. 56.29. Эта группа не является циклической, так как она имеет порядок 8, но порядок каждого элемент не превосходит 4. 56.30. См. задачу 56,24, в). 56.31.
б) Показать, что если конечная абелева группа содержит не более одной подгруппы любого заданного порядка, то она циклическая, и воспользоваться а). 56.32. а) Е, Бз, ЯО)); 8123)). Отееты а указания 399 б) Е, О», ((13)), ((24)), ((12)(34)), ((13)(24)), ((14)(23)), ((1234)), »1». в) Е, Цв, (1), (1), (к). г) Е, А», ((12)(34)), ((13)(24)), ((14)(24)), \в», ((123)), ((124)), ((134)), ((234)). 56.33.
а) (»1) = (1»)(11')(1»). 56.34. а) 1Э». б) Рз(Щ при а ф Ь: БЬ»Щ при а = Ь. в) (д). 56.35. а) 12». б) Б»» как подгруппа Я», состоящая из перестановок с неподвижным злементом 4. в) (е, (12), (34), (12)(34)). г) и». Д) А». 56.40. Использовать задачу 56.39. 57.1. а) Две орбиты; одна состоит только из одного нулевого вектора, другая -- из всех ненулевых векторов. б) Каждая орбита состоит из всех векторов одинаковой длины. в) Каждому подмножеству 1 С (1, 2,..., и) отвечает орбита О», состоящая из тех векторов х, у которых координата х, равна 0 тогда и только тогда, когда» б 1. Всего 2" различных орбит. г) Всего и 4- 1 различных орбит О, О»,..., О„, где О состоит только из нулевого вектора, а О„» > 1, из всех таких векторов х = 2»", х»е», для которых х, ~ 0 и х, = 0 д,ля всех» >»,.
57.2. а) С содержит только тождественный оператор. б) С, состоит из операторов с матрицами А = (а, ) такими, что , а„= 1 для любого» = 1,2,..., и. 57.3. а) Группа ортогональных операторов в плоскости (х)", б) Группа поворотов в плоскости (х) 57.4. а) Орбита С равна Х. б) Сц состоит из всех матриц вида (" :) где А обратимая матрица размера Ь, С обратимая матрица размера и — Й и В матрица размера ах (и — к).
57.5. в) С1 состоит из всех верхнетреугольных матриц в базисе е»,... 57.9. Орбиты: а) (1,5,4,9), (2,8), (3), (6,10,7): б) (1, 7, 2, 4), (3, 6), (5,8,9), (10). 57.10. а) ( ). Отееты и указания 400 б) Рассмотреть, например, отображение ( )нее, ( ) Н (13)124), ( ) ее 112)(34), ( ) ее 114)(23) или установить изоморфизм, занумеровав стороны ромба. в) Две орбиты: 1А, С) и 1Н, Р), 57.11.
В группу входят и различных поворотов и-угольннка вокруг центра и п осевых симметрий,~О„~ = 2п. 57.12. а) 24. б) 12. в) 60. Все вергпины правильного многогранника образуют одну орбиту относительно действия группы врашенил многогранника. При этом порядок стационарной подгруппы равен числу ребер, выходящих из вершины. 57.13. а) Каждому вращению куба сопоставить перестановку- на множестве диагоналей куба. б) Каждому вращению тетраздра сопоставить перестановку на множестве его вершин. в) Каждому движению тетраздра сопоставить перестановку на множестве его вершин; полученное отображение в Я4 инъективно, ибо каждое аффинное преобразование опредееяется однозначно образами четырех точек общего положения; сюръективность вывести из того факта, что в образе, кроме подгруппы А4, есть нечетная подстановка. 57.14.
а) 4. 6) 5. 57.15. а) Орбита С ранна У. 6) С„= 1. 57.17. а) 1ае ~ ~а~ = 1). б) Орбита нуля весь круг. в) 1. 57.19. По условию задачи т = Ьп4е для некоторого 5 Е С. Отсюда дт = д1)4444е) = Сдй)те = 16у)те = 5(уте) = Ыпе = т. 57.20. а) Заметить, что одзН = одеН 4 узН = узН: и для каждого х Е С хН = а)о 'хН).
б) Проверить, что 4з„е = и пе. в) Доказать, что условия уН = ауН и а Е уНд ' равносильны. 57.21. а) Каждый смежный класс 1е), 1х), 1х~), 1х~) состоит из одного элемента, присвоим им соответственно номера 1, 2, 3, 4, тогда о, = 11234), а,з = 113) (24), п,е = 11432), пе тождественная перестановка.
Отеетм и указания 401 б) Пусть х данная симметрия, а у поворот квадрата на 90'. Тогда О = НСуНСу НУу Н, и, зануморовав смежные классы в указанном порядз 3 ке, имеем: аз -- тождественная перестановка, аз — — (1234), а з = (13)(24), азз = (14)(23), аз = (24), а з — — (12)(34), а„з = (13), азз = (14)(23). (Для вычисления воспользоваться соотношением ху = у х.) 57.23. а) Подгруппа, порожденная группой Клейна и циклом (12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
