1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 64
Текст из файла (страница 64)
60.67. Использовать задачу 60.16. 60.68. Использовать задачу 60.67. 60.69. Воспользоваться задачей 60.67. 61.1. а) 1'ассмотреть элементы, сопряженные с транспозицией (12) при помощи степеней данного цикла. б) Элементы из А произведения четного числа транспозиций, и (гг)(гй) = (гуй), (гг)(Ь() = (аду)(г(г(). (См. задачи 3.15 и 3.16). 61.2. Использовать приведение матриц элементарными преобразова- нилми строк к ступенчатому виду. 61.3.
Невырожденная матрица приводится к диагональному виду эле- ментарными преобразованиями над строками, т.е. умножением слева на соответствующую элементарную матрицу. 61.3. Сме Оогвиевеги Р. Гшйе 8гопрв. Натрет зпс1 Вогг, 1968. 1э 44 61.7. а) (1,а), (Ь,а), (2,3), (4,3), где и — . любой элемент из Ев. б) Две различные транспозиции или транспозипия и тройной цикл. в) Любые два не взаимно обратные элементы порядка 4. г) Поворот и квадрата на угол хягг2 и любая осевая симметрия г, а также т и га. 414 Отее!пм и указания д) (а,Ь), (а,а+ Ь), (Ь,а+5). 61.10. Если д!,..., д, конечная система порождающих, у! ! уз,... другая система порождающих, то элементы д!!...,д выражаются через вторую систему. В каждом таком выражении участвует лишь конечное число элементов второй системы, скажем, у!,..., У .
Тогда у!,..., у„, порождают всю группу. 61.11. Нормальноо замыкание эломента А порождается как подгруп- !1 2' ~ па элементами В'АВ ' = ( ( (г 6 К), и поэтому изоморфно группе рациональных чисел вида т(2" относительно сложения. Эта подгруппа не конечно порождена. 61.12. а) Использовать индукцию по числу возможных сокращений. б) Операция определена корректно в силу а). Ассоциативность очевидна. Единицей служит пустое слово.
Оловом, обратным к в — г,'... я,", ! служит х, " ... я, '. 61.13. Гомоморфизм !р определяется так: если и = я'„!... х,'", то С!(и) = = д," ... д,'". Это единственно возможное определение. ! 61.14. Всякое несократимое слово можно записать в виде и = еши где ю имеет в начале и в конце не взаимно простые буквы. Тогда и" = = еш" с ', где длина ш" в п раз больше длины ш н вообще !1(и") = с)(и) -~- + (и — 1)!1(ю), поэтому и" ~ 1 (пустому слову). 61.15.
Будем считать, что коммутирующие элементы и, е носократимы. Пусть !!(и) ( !!(с). Ц Если в ш! сокращается больше половины слова и, то переходим к словам и, ие (второе более короткое, чем с, и эти слова коммутируют, как нксг). 2) Если в си сокращаются больше половины слова и, то, аналогично, переходим к рассмотрению и , пи. 3) Если в слове си ' сокращается больша половины второго сомножителя, переходим к рассмотрению и ,и с.
4) Если в еи ' сокращается больше половины первого сомножителя, переходим к иеи 5) В остаешсъшя случае будет и = и!из, где с)(и!) = 6(и ), г = и) 'е', где между сомножителями нет сокращений. Из равенства ие = еи получаем — ! ! и!ь = и! с и!и!. Так как в с и!иг сокращы:тон но более,чем и!,получаем — 1 и!=и! ни=1. 6) Д!шая каждый раз замены типа (1) — (4), мы в конце концов придем к случаю (5). Рассматривая предыдущий шаг, найдем порождающий элемент, через который выражаются и и г.
61.16. В любом коммутаторе и в произведении коммутаторов сумма показателей по каждому вхождению я, равна 0 при любом !. Пусть в слове Ответы и указания 415 и сумма показателей при некотором х, равна 1 ф О. Согласно задаче 61.13 построим гомоморфизм свободной группы в Х такой,что х, г 1, хг -у О О ~ г). Тогда и перейдет в й ф О, и следовательно, не лежит в коммутанте.
61.17. Слова, имеющие несократимую запись ггшги ', где ич - - циклическая перестановка иг. 61.18. Пусть Š— — свободная группа со свободными порождающими хм..., х„, А -. свободная абелева с базисом аг,..., а„. Если гомоморфизм à — г А продолжает отображения х, з аг,..., х„— г а„(см. задачу 61.13), то его ядром является коммутант. 61.19. Воспользоваться задачей 61.16.
61.20. Подгруппа индекса 2 нормальна в любой группе. Задача сводитсл к описанию различных сюръективных гомоморфизмов свободной группы иа группу 1а)з. Если хг, хг свободные порозвдающие свободной группы, то согласно 61.13 нужно по-разному выбрать образы хм хг. Ответ: 1вг (хг) = а, уг (хг) = 1, дз(хг) = а, 1вггсхз) = а, уз(хг) = 1, угз(хз) = а, т.е.
имеются три подгруппы индекса 2. 61.22. Очевидно, при любом гомоморфизме группы Р = 1хг,хг) в Хв х Х переходят в единицу коммутант., а также х,, хг. Факторгруппа по подгруппе гг', порожденной коммутантом и элементами х,", х,", изоморфна Х„х Х„. Поэтому г1г будет ядром любого сюръективного гомоморфизма Š— г Х„х Х„. 61.23. а) 16. 6) 36: воспользоваться задачей 61.13. 61.25. Согласно задаче 61.13 построим гомоморфизм Е свободной группы Е со свободными порождающими хг,..., х в Н такой, что Ях,) = = 5,, г = 1, 2,..., и. При этом гомоморфизме наименьшая нормальная подгруппа В, содержащая слова Л.1хг,..., х ), г 6 Е перейдет в единицу. Если ггг = Кег~р, то 1швг Ггг1г ЩН)(ПУ7(Н). 61.27. Доказать, что каждый элемент выражается в виде а'Ь', О ( г < <2,0(1<7.
61.28. Вывести из опредсшюших соотношений, что порядок группы ( 8, затем воспользоваться задачей 61.25. 61.29. Вывести из определяющих соотношений, что порядок группы < 2п, затем воспользоваться задачей 61.25. 61.30. Вывести из определяющих соотношений, что порядок группы ( 8, затем воспользоваться задачей 61.25. 61.31. Согласно задаче 61325 рассмотреть гомоморфизм этой группы на группу указанных матриц, при котором (квадрат второй матрипы равен Е); воспользоваться тем, что подгруппа, порожденная хгхг, нормальна. Отеегиы и указания 416 61.32. См.
указание к задаче 61.31. 61.34. Сми Мнянер Дхс. Введение в алгебраическую К-теорию. Мир, 1974. ~ 5. 31и й й хз — ь [ „( (см. задачу 61.26). 61.37. Наименьшая нормальная подгруппа, порожденная х, изоморфна аддитивной группе чисел вида т)) 2, и), й б Е. Рассмотреть гомоморфизм в )'2 01 /1 1) группу матриц второго порядка, при котором х) — ) [ ), хэ — ) ~ (сравнить с задачой 61.11).
6ХК )( ), )( ), )( 62.2. а) д[а,Ь]д ' = [дад ',дуд ']. б) [аС',ЬС] = [азЬ]С' = С'. в) Если [аМ, ЬХ] = ))), то [а, Ь]Х = Ж и [а, Ь] б ))). 62.3. у)([а, Ь]) = [у)(а), у)(Ь)]. 62.4. Ес хи е: С вЂ” ) С,) С' -- естественный гомоморфизм. ум С))С' -э А-- гомоморфизм в абелеву. группу А, то у)е ) С э А также гомоморфизм. Биективность этого соответствия следствия следует из задачи 62.2, в) и того, что е сюръсктинен. 62.5. По теореме об определителе произведения АВА 'В ' = 1. 62.6. Вытекает из того, что [(а),Ь)'),(аз,бз)] = ([а).,аз],[Ь),Ьз]). 62.7.
а) Аз, 2. 6) (е, (12)(34), (13)(24). (14)(23)), 3. в) Ат 2. г) (х1), 4. 61.35. Ка)кдый смежный класс по Н имеет вид д'Н, 1 б ь, поэтому любой элемент группы имеет вид д'Ь, й б Н. 61.36. Пусть (Ь) бесконечная циклическая подгруппа, порожденная Ь) факторгруппа С))Н бесконечная циклическая, порожденная дН. По предыдущей задаче С = (д)(Ь). Так как Н нормальна, дбд ' 6 Н и отображение х э дхд ' (х б Н) . автоморфизм группы Н. Поэтому дйд ', как и Ь, порождающий элемент группы Н. Значит, дйд равен Ь или Ь Поэтому в группе выполнено одно из двух соотношений: дйд = 10 дйд = Ь '.
В первом случае группа свободная абелева, так как она порождается элементами х), х и задается определяющим соотношением х)хзх, = хэ. Рассмотрим группу с порождающими х), хе и определяющим соотношением х)хзх) = х, . В этой группе циклическая подгруппа, порожденная хз, нормальна (видно из определяющего соотношения), факторгруппа по ней бесконечная циклическая (рассмотреть гомоморфнзм в У такои) что х) — > 1, хз -э 0). Элемент хз также имеет бесконечный порядок, для этого 7И1 п1 рассмотрим гомоморфизм на)пей группы в группу матрип вида Ответы и указания 417 62.8. а) А„: коммутатор четная перестановка и согласно задаче 62.1 в коммутант содержит все тройные циклы; А„порождается тройными циклами (сш задачу 61.1).
б) Если элемент а 6 Р есть поворот на угол 2я/н, то Р'„= (а), если п нечетно, и ьэ„= (а~), если и четно. 62.10. а) Индукпия с применением предыдущей задачи. б) Индукпия с применением задачи 62.2. 62.11. а) Следует из того, что коммутант подгруппы содержится в коммутантв группы. б) Следует из задачи 62.3. в) Индукция с пригленениелв задачи 62.6. г) Так как В~~~ = Я, то С~И С А и СШ+б = (е), где АИ~ = (е).
62.12. См. задачи 62.7 и 62.8. 62.14. Следует из задачи 62.13, в), так как коммутант этой группы содержится в 17Т„(К). 62.15. Если ряд, указанный в задаче, имеется, то Ср~ = (е) в силу задачи 62.2, в). Если группа разрешима, то факторы ее ряда коммутантов Сц~/СИ+И абелевы, поэтому между Сб~ и СИ+И можно вставить несколько подгрупп так, что получается ряд с нужными свойствами.
62.16. Согласно задаче о8.21 центр конечной р-группы С нетривиален. Пусть А - подгруппа порядка р, лежащая в центре. Тогда А нормальна в С. Завершается доказательство индукцией с переходом к С/А (тоже р-группа)и использованием задачи 62.12. 62.17. Если 4 > р, то сиповская д-подгруппа нормальна в группе (см. указание к задаче 59.20). 62.18. а) Сиповская 5-подгруппа нормальна, так как индекс ее нормалпзатора . - делитель числа 4 и сравним с 1 по модулю 5. б) Если в группе порядка 12 сиповская 3-подгруппа не нормальна, то таких подгрупп по крайней мере 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
