1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ДлЯ любой точки б С опРеделим неотрицательное целое число п(х) = шш, 7,(7,), где 7,(7",) обозначает порядок нуля функции у, в точке х (если 1",(з) ~ О, то у„.(~,) = О. Пусть (хл) последовательность всех точек в С, для которых п(хл) ф О. Построить целую функцию 1, имеющую последовательность (хл), последовательностью нулей с кратностями п(хл) н показать, что! = (7).
65.10. а) Р = 0; рассмотреть х = у = 1. б) 7(х)Р, где у(х) б У[х), Р . обычное дифференцирование. в) 2 ),Р„где ), 6 У,[хь, .., х„), Р, частные дифференциронания по переменным. 65.12. Смз Херстебн. Некоммутативные кольца. — Мз Мир, 1972. —— С. 99. 65.13. Смз Днксмье. лУннверсаеьные обертывающие алгебры. Мз Мир, 1978. С.
170, 171. 65.15, 65.16. Сми Барее1лч З.И., Буафареенч И.Р. Теория чисел. 5!з Наука. 1985. 66.2. а) Если л/и ф Я. б) Если п < О. в) и = 2 при р = 3; и = 2, 3 при р = б и = 3, 5, 6 при р = 7. 66.5. Мультиплнкативная группа поля из четырех элементов имеет порядок З,и для построения такого поля достаточно иметь матрицу порядка 2 над полем Ез, для чего достаточно, чтобы она удовлетворяла урав- 70 1! нению А' + А + Е = О, т.е. Сг А = с)ес А = 1. Талая матрица ~ ), и поле 0 )' состоит из элементов О, Е,А, А+ Е; при и, = 6 рассмотреть порядки элементов в адднтивной группе.
66.6. (йе [ й 6 У); адднтнвная группа собственного подполя имеет порядок р и содержит указанное подполе. 66.7. Для поля л) доказать сначала неподвижность целых чисел при любом автоморфизме; для поля Н заметить, ч го ноотрицатольные числа являются квадратами, и поэтому их образы неотрицательны: из х > у следует, что ел(х) = Р(х — у)-~фу) > |р(у); далее воспользоваться рациональными приближениями. 66.8. х -е хи х -л 76 рассмотреть образ й 66.9.
х + уха -е х — ул72 -- единственный такой автоморфизм; рассмотреть образ лл2. Ответы и указания 427 66.10. При рп = 1 заметить, что биномиальные коэффициенты /р'1 1 и) делятся на р; далее применить индукцию. б) Ненулевой гомоморфизм поля в себя является автоморфизмом. 66.12. При т)п = гз (г Е Я ( (О)). 66.14. Аддитивная группа поля К из четырех элементов не может быть циклической, и поэтому все ее отличные от О элементы имеют порядок 2., К = (О, 1, а., а + 1); при этом умножение определяется однозначно, в частности, а(о, -'; 1) = 1. 66.15.
Например, поле рациональных функций, с комплексными коэффицивнтами. 66.17. Существует, например, Рр(Х). 66.18. а) ( — 1, — 3-~- 2у'2). б) й1; 13 но является квадратом в Щ42) в) Я. г) Я. 66.19. а) О. б) (2, 3, 2). 66.23. Все. 66.25.
Мультипликативная группа поля из п элементов имеет порядок и — 1, 66.26. х = а. 66 28. а) 3 и 5. б) 2, 3, 8 и 9. 66.29. Показать, что если а ф О, то (Ьа ')з = 1 и 3 делит 2 — 1, что неверно. 66.30. Пусть Р* = (х). Доказать, что х алгебраично над простым подполем. Простое подполе отлично от 41, так как вх не является циклической группой. 66.31.
а) (+Ц, б) ю. 66.32. а) Так как при р > 2 в Ер нет элементов порядка 2, то Ь -в Ь б ц и ~.еь ,'Ь ' =; " ',и. б) Аналогично а); 8~(рз — 1). 66.35, 66.36. Смз Платонов В.П., Рипинчук А.С. Алгебраические группы и теория чисел. М: Наука, 1991. Гл. 1, 4 1.1. 66.37, 66.38.
Решение аналогично решениям задач 66.35 и 66.36. 66.42 — 66.45. Смл Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел Мл Мир, 1985. 66.46. Использовать задачу 66.45. 66.47. Использовать нормирование полей р-алических чисел. 67.1. Индукцией по в свести к случаю в = 1; в этом случае построить базис А над К, исходя из базисов А над Кз и К1 над К. 67.6. Применить задачу 67.4. 428 Отеетм и указания 67.7. Индукцией по е снести к случаю е = 2; в этом случае применить задачи 67.1, 67.4, 67.5.
67.8. Если многочлен р[х) неприводим, то он имеет корень в К[хЯр[х)). 67.9. а) Применить индукцию по степени 7[х), используя задачу 67.8. б) Применить а) к многочлену ~~ [х)... ~~ [х). 67.10. Рассгеотреть степени расширений в башне полей К С К[о) С С К[у, и), где 0 — корень многочлена К[х) — о в некотором расширении поля А,и воспользоваться задачами 67.1, 67.2. 67.11. а), б) Сравнить разложение многочлена х"-а на линейные множители в его поле разложения с возможным разложением этого миогочлена над полем К. в) Например, многочлен х~ + 1 над полем вещественных чисел.
1[х) — П,ер [х — хе — л), где Ур поле из р элементов, содержюциеся в К. Доказать, что если в некотором расширении К поля К многочлен 7[х) имеет корень, то 7[х) разлагается над Ь в произведение линейных множителей, и вывести отсюда, что над К все неприводимые множители многочлена 1 [к) имеют одинаковую степень. 67.13. а) 1. б) 2. в) 2. г) б. д) 8. е) р — 1.
ж) ф[рл). з) р[р — 1). и) 2', где г ранг матрицы [к, ), л' = 1,...,е, з = 0,...,1, над полем вычетов по модулю 2 и 1ли класс вычетов по модулю 2 показателя йи в разложении а, = [ — Ц " . П,, р *' числа а, в произведение степеней различных простых чисел рм...,р~ (допускается, что некоторые я, = О). ж) Показать, что если с первообразный корень и-й степени из 1 и рс [х) - - его минимальный ллногочлен над О, то для всякого простого р[и, ср также является корнем рг[х); в противном случае., если х" — 1 = рг[х)6(х), С лвллется корнем многочлена 8[хр); привести последнее в противоречие с тем, что х" — 1 не имеет кратных множителей над полем вычетов по модулю р.
з) Воспользоваться задачей 67.11. и) Если К вЂ вЂ иск поле, рассмотреть [К )з О ~7 и применить индукцию по и. 67.14. Е[Х, У)/Е[ХР, У"), где Е . — поле характеристики р. Если поле К конечно, воспользоваться задачей 56.38. Пусть К бесконечно и 7 = = К[ам..., а,). Индукцией по е вопрос о существовании примитивного элемента сводится к случаю е = 2:, в этом случае показать, что при некотором Л к К элемент ал + Леа не содержится в собственном проыежуточном поле. Обратно: если Ь = К(а), то показать, что всякое промехсуточное поле порождается над К коэффициентами некоторого делителя из Цх) минимального многочлена р„[х) элемента а над К. Ответы и указания 429 67.15.
Выбрать базис Цл) над К(т), состоящий из элементов В. 67.17. Индукцией по»(О <» < т) доказать, что при надлежащей нумерации элементов Ь»,..., Ь„система а» ....., а„Ь,+»,..., Ь„является максимальной системой ачгебраически независимых над К элементов н В. 67.18. а) Показать, что число максимальных идеалов не превосходит (А: К). Далее показать, что если элемент а б А не является нильпотентным, то идеал, максимальный во множестве идеааов, не пересекающихся с (а, а,..., ), является максимальным идеалом в А.
б) Использовать а). Для получения единственности в д) показать, что во всяком представлении А"в = П,', 1» полл 1» изоморфны факторалгебрам по всевозможным максимальным идеалам в А. 67.20. Применить индукцию по и. Записав соотно»пение линейной зависимости для у„получить противоречие, исходя из того, что у', гомоморфизм алгебры. 67.23. а) Всякий К-гол»оморфизл» А -л В единственным образом продолжается до В-гомоморфизл»а А», — л В.
б) Использовать а). 67.24. Взять в качестве Е любую компоненту алгебры Гь. 67.25. Длл доказательства б) †а) заметить, что если В, любая компононта Аь и а»,...,а, образы а»,...,а, в бо то Л, = Ца»,...,а.); для получения имплнкацин а)л в) применить к поджтгебре К)а) задачи 67.22, а), 67.19 и 67.18, е). 67.26. Применить задачу 67.25.
67.27. 6) Заметить, что каждое из полей уа, В» является расщепляющиъ» для другого; получить от»:юда К-вложения Л» — л Л и бз — л б». 67.28. Использовать задачи 67.27, в) н 67.22. 67.29. а) Выбрать расщопляющее поле для А, содержащее поло Л, и применить задачу 67.22. б) Прилюнить а) и задачу 67.23, 6). 67.30. Воспользоваться задачами 67.25 и 67.29, 6).
67.31. 6) Необязательно: например, ле С 1»»л»2) С»ау ч»2). 67.32. Для получения двух последних соотношений общий случай свести к двум частным, когда а б К и В = К»а). В первом случае использовать любой базис в ЦЕ, связанный с башней полей, а во втором в ЦК использовать базис из степеней а. Для получения первого соотношения заметить, что уь~»с(а, х) = 1л1ь»Ю»к»*»(а — х).
67.33. Использовать задачу 67.32. 67.34. Если Сгь»к»а) ~ 0 для некоторого а б б,то (х,ах ') — л ьг»цк(а) ~ О для всякого х ~ О из П 430 Ошеегвы н указания 67.36. Каждое из условий а). в) равносильно тому, что Аь ПЛ для расщесшяющего поля Ь. Невырождснность формы следа на А и Аь означает одно и то же. Нильпотентные элементы всегда содержатся в ядре формы следа. 67.37. Использовать задачи 67.22 и 67.12.
67.38. Воспользоваться тем, что 1гл~к(а) = Фгл ~ь(а),и аналогично в других случаях. 67.39. а) Воспользоваться задачами 67.14, 67.22. б) б примитивный элемент, а примитивным элементом не является. 67АО. Использовать задачу 67.22, в). 67.41. Воспользоваться задачами 67.34 и 67.35, г), 67.42. Многочлен я" — 1 над полем рациональных функций К11), где К произвольное поле характеристики р ~ О. 67.43. Использовать задачу 67.19. 67.44. Для доказательства обратного утверждения воспользоваться задачей 67.41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
