1611141238-6396ff23c223c826d4cecfd1bf746fb1 (824982), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Пусть 2Ь Э а ф О. Илшем 21а З Вал .з ..., откуда 21ал = Валт' при некотором Ьс Отсюда а = Ьа 'т, 1 = Ьа. я ьел 64.18. Положить Ь~(а) = щ(пнекУ1е> Ел(ах). 64.19. а) Рассмотреть норму д(х + 1у) = хз -~- уз. б) В этом кольце элементы 2 и 1 к нг3 простые, и 4 = 2 . 2 = (1 -~ 1к'3) х х(1 — гн'3) - два неассоциированных разложения на простые множители.
в) Рассмотреть норму Б(х -> 1у) = хл Ч- у'. 64.22. См. задачу 8.19. 64.24. Пусть й С А С Я и 1 -- идеал в .4. Доказать, что 1 = (~е), где го порождает идеал кольца, состоящий из числителей всех элементов из Е 64.25. Пусть Я(х) кольцо главных идеалов. Для 0 ф а б В рассматриваем идеал 1 = (х, а) кольца Л(х). Так как а б В, то 1 = (ге), где уо--- констан~а, т.е, 1 = 2Ь(х).
Отсюда 1 = и(х)х-~-и(х)а, а н(0) = 1, так что В поле; заметить, что Р(х, у) сл Р[хЦу]. 64.26. (х"), и, ) О. 64.28. а) Представит единицу в виде 1 = ал + аз, где а| б 1П аз б 1з. б) По индукции свести к случаю и = 2. Для каждого 1 ) 2 можно найти элементы а, б Д и Ь, б 1, такие, что 1 = а, з- Ь,. Тогда = П(а, + Ь,) б П+ П1ю Следовательно, П + П," .
1, = А и согласно задаче а) можно найти ул = 1 (шос( 1л) и ул = 0 (щос( П," . Д), Аналогично найдутся уз,, ун б А такие, что у,:— 1 (шоб Т ) и у, = 0 (щоб 1 ) при 1~ 11 Тогда элемент х = хлу1-~... ...-~хнун удовлетворяет требованиям задачи. 422 0«песты и указания 64.29. а) Нет. 6) Да. 64.31. а) Использовать задачу 63Л 1, в). 64.37. а) и — «О. 6) и — «и; гл — «О.
в) и — «О. г) Любой гомоморфизм имеет вид и — «ие„где е, —. идемпотент кольца матриц; всего восемь гомоморфиэмов, соответствующих идемпотснтам О, Е, Е««, Егг, Е««+ Ещ, Ег« -«Егг, Е«« -«Ег«, Е«г -«Егг. 64.38. а) и — «иа, где а произвольный фиксированный элемент из О. б) и †« О, и †« и. 64.39. Доказать, что ядро гомоморфизма или равно нулю или совпадает с полем. 64.41. Рассмотреть гомоморфизмы: а) 1[х) — «1[««); б) 1[х) — «1П); в) 1[х) — «1 ~ 1 — 1 -~- гл«3 1 64.42. Поле получается при 1«[х) = хг + х + 1, изоморфные факторкольпа при 1«[х) = х и 1г[х) = хг+ 1. Рассмотреть таблицы умножения для указанных факторколец.
64.43. Нет: в первом факторкольце есть ненулевой элемент, куб которого равен нулю, а во втором факторкольце элемента с такилг свойством нет. 64.44. Нет. 64.45. При умножении на элемент х — а 6 Е[х] .любой элемент первого модуля обращается в О, а во втором модуле это не так; оба факторкольца изолгорфны Г. 64.46. Пусть [[х — а)(х — Ь)) = 1п [[х — с)[х — с))) = 1г. Записать произвольный элемент из Г[х]«1«в виде о[х — а) + Д[х — Ь) + 1«и поставить ему а †в соответствие элемент Ьо[х — г) + Ь))[х — 6) + 1г 6 Е[х]/1г, где Ь = —. с — «г 64.47.
Аг и Аз, Аг и Ал. 64.48. а) Да. 6) Нет. 64.49. а) Да. 6) Нет. 64.50. Искать обратный элемент к 1' методом неопределенных коэффициентов. 64.52. Аналогично задаче 63.17. 64.53. См. задачу 64.15, 64.54. Использовать вложение колец без делителей нуля в поле. 64.55. а) Найти делители нуля. б) Доказать, что каждый ненулевой элемент имеет обратный. в) Доказать, что данное кольцо не содержит делителей нуля, если и простое число,не равное сумме двух квадратов,и что конечное ненулевое коммутативное кольцо без делителей нуля является полем.
Ответы и указания 423 64.57. Рассмотреть отображение аохь+... + ал — л аехл +... + 5л, где а, =а,-~(и) (1=0,...,Ь), 64.58. р". 64.59. а) Ввести структуру кольца на прямой сумме э = Л лР Х. б) Если В алгебра над полем К, то превратить в алгебру над Л прямую сумму Я = Л Э К. в) Сопоставить каждому элементу а в данной алгебры А линейный оператор ул,„на векторном пространстве А над К,при котором ул,(х) = ах. г) Использовать б), 64.60. Доказать, что 1л -~- Глиал1, = А для всякого й = 1,, э; вывести отсюда сюръективность отображения 7.
64.61. Использовать гомоморфизм 1(х) — л (1(1) 1( 1)). 64.63. Показать, что 1ПХ ф О и 1 содержит нетривиальный по модулю 1 П Х многочлен. 64.64 — 64.66. Воспользоваться теоремой о гомоморфизмах. 64.67. в) Условие с)ес(ао) ~ О вытекает из сюръективностн композиции Л(И) — -л Л(1') — л Л(1г)/1ю где 1э --. идеал, порожденный Ла(1'). Для доказательства того, что д — автоморфизлл, необходимо показать, что Зт(е ) Л Зз(е,) т Зз(е,) Л ул(е,) = О для всех л,у, а также сюръектнаность Зэ.
Последнее достаточно показать для отображения сэ с единичной матрицей (а, ). Доказательство проводится убывающей нндукцией по Ь, начиная с включения Л И С 1ш ус 64.68. б) Лннулятор порождается идемпотентом 1 — е, где е -- порождающий элемент данного идеала. 64.69. Если идеалы 1л,...,1„ порождаются попарно ортогональными идемпотентами ел,...,е„,то 1~ + ... + 1„ нарождается идомпотентом ел+, .-Ее„.
64.70. г) Например, Ел = ~( ) ~ ОЗ (( ) ~, где а,Ь любые ((: '))=(::) ((' '))=(' ) 64.73. Мз(К) = 1Ы 64.75. Рассмотреть ядро гомоморфизма Х вЂ” л Х ОЗХ, при котором 1+ тиХ вЂ” л (1+ тХ,1+ пХ). 64.76. При и, не делящихся на квадрат простого числа; использовать задачу 64.75. 64.77. Доказать, что идеал, состоящий из всех матриц вида аЕлсо лежит в ненулевом идеале этой алгебры. 64.78. Если 11 = 1~ ОЗ... 19 1„- - разложение кольца 17 в прямую сумму простых колец и е идемпотент в Й, то е = ел +...
-г е„, где е, б Д Отеетм и указания идемпотенты. Доказать, что в 1, число идемпотентов конечно гиспользовать задачу 64.16). Затем использовать задачу 64.15. 64.79. Если А = 1г С11 СО 1 вполне приводимая алгебра г1л простые алгебры), то 1г с1г... Ог 1г, г сгг 1лтг СО... Ог 1„- ее максимальный идеал гй = 1, 2,..., и). 64.80. Использовать задачу 64.15. 64.81. Конечные циклические группы, порядки которых не делятся на квадрат. Циклическая группа не содержит собственных подгрупп тогда и только тогда, когда ее порядок .
простое чис.щ; использовать разложение цикличеСкой группы в прямую сумму примарных цикличееких групп. 64.82. Пусть В =1г СО ..СО1„разложение кольца Л в прямую сумму минимальных левых идеалов. Если 1 С В, то существует 1л, ~ 1, и тогда 1л, сз 1 = О. Если 1с, 61 1 ~ В, то существует 1л, ~ 1с, Ог 1, и 1л, О г1лг Сг 1) = О. В конце концов получаем 1л, Ог... гх 1с, с9 1 = Л спрн некотором е < п). 64.83.
а) Если В = 1~ ср...081„разложение кольца в пряыую сумму минимальных левых идеалов и 1 левый идеал в В, то Л = 1г Оз... сэ 1г сзгг1 при соответствующей нумерации слагаемых 1слг. указание к задаче 64.82) н 1 ВД11 СО...Ог) 1лх111З .. ОЗ 1 . б) Л, = 1СО 1 1см.
задачу 64.82), 1 = ег + ее, где ег б 1, ег б 1; доказать, что ег,ег идомпотенты и что 1 = Лег. 64.84. Рассмотреть циклическую группу простого порядка с нулевым умножением. См. указание к задачам 64.82, б) и 64.16. 64.85. См. задачу 64.82. 64.88. См. задачу 64.75. 64.89. Линейные оболочки наборов векторов е„,...., е... где 1 ( гг <... ... ( г, ( п. Доказать, что если подмодуль А содсржит вектор оиг е„+... 64.90. й -з йее, где ке -- фиксированный, я — произвольный элемент из Л, дает изоморфизм В-модуля Л с левым идеалом 1 = Лйе. Обратно: наличие изоморфизма В-модуля В с левым идеалом 1 С В означает, что 1 = Вйе, где 1о образ 1 при атолл изоморфизме.
64.91. Г~х) = Г)х)о16гГ~х) охбг...ОГ)х) охл', причсьг Г~х) ох' Г)х) гизолгорфизм Г)х)-лсодулей). 65.1. Пусть 1 -- идеал в А[х). Легко видеть, что множество коэффициентов а, многочленов ао + агх+... + а,х* из 1 является идеалом 1 в А. Последовательность идеалов 1о С 1г С 1г С... стабилизируется, скажем, на 1,4 пусть асг Сг = О,..., г, 1 = 1,..., и) образующие для 1о и пусть для каждого из указанных г,1 выбран многочлен уо из 1 степени г со старшим коэффициентом а,м Тогда 1 го) множество образующих 1. Для каждого 1 6,1 индукцией по степени можно показать, что 7 лежит в идеале, порожденном 1„. 65.2. Воспользоваться предыдущей задачей. 426 О те еплы и указания 65.7. а) Достаточно рассмотреть случай непринодимого многочлена у над !я'. Тогда К = ЯХ)7(!(Х)) конечное расширение степени и над 1б пусть х - - класс Х (шоб 1(Х)).
Тогда отображение К вЂ” л К, определенное формулой а л ха, является линейнылл отображением и-мерного векторного пространства К над !е в себя, причем его минимальный многочлен совпадаот с минимальным многочленом элемента х. 65.8. Нет. 65.9. ПУсть 1 = ((л,..., 1"„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
